2024年中考数学真题分类汇编：知识点17 二次函数概念、性质和图象、代数方面的应用2024（解析版）

这是一份2024年中考数学真题分类汇编：知识点17 二次函数概念、性质和图象、代数方面的应用2024（解析版），共27页。试卷主要包含了故D选项符合题意，故④错误，故选C等内容，欢迎下载使用。
8．【2024·陕西】已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．当x＞0时，y的值随x值的增大而减小
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴是直线x＝1
【答案】D【解析】由题知，4a−2b+c=−8c=09a+3b+c=−3，解得a=−1b=2c=0，所以二次函数的解析式为y＝−x2+2x．因为a＝−1＜0，所以抛物线的开口向下．故A选项不符合题意．因为y＝−x2+2x＝−（x−1）2+1，所以当x＞1时，y随x的增大而减小．故B选项不符合题意．令y＝0得，−x2+2x＝0，解得x1＝0，x2＝2，所以抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）和（2，0）．又因为抛物线的顶点坐标为（1，1），所以抛物线经过第一、三、四象限．故C选项不符合题意．因为二次函数解析式为y＝−（x−1）2+1，所以抛物线的对称轴为直线x＝1．故D选项符合题意．
故选D．
山东省
11．【2024·泰安】如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①2a+b＝0；②方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在−2和−1之间；③方程ax2+bx+c−32=0一定有两个不相等的实数根；④b−a＜2．其中，正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B【解析】∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴−b2a=1，∴b＝−2a，∴2a+b＝0.故①正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点在2，3之间，∴与x轴的另一个交点在−1，0之间，∴方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在−1和0之间.故②错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y=32有两个交点，∴方程ax2+bx+c−32=0一定有两个不相等的实数根.故③正确；∵抛物线与x轴的另一个交点在−1，0之间，∴a−b+c＜0.∵图象与y轴交点的纵坐标是2，∴c＝2，∴a−b+2＜0，∴b−a＞2．故④错误．故选B．
湖北省
10．【2024·湖北】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的顶点坐标为（−1，−2），与y轴的交点在x轴上方，下列结论正确的是（ ）
A．a＜0B．c＜0C．a−b+c＝−2D．b2−4ac＝0
【答案】C【解析】由题意，∵抛物线顶点为（−1，−2），∴可设抛物线为y＝a（x+1）2−2．∴y＝a（x2+2x+1）−2＝ax2+2ax+a−2．又抛物线为y＝ax2+bx+c，∴b＝2a，c＝a−2．∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＝a−2＞0．
∴a＞2＞0.故A、B均不正确．又抛物线的顶点为（−1，−2），∴当x＝−1时，y＝a−b+c＝−2.故C正确．由b＝2a，c＝a−2，∴b2−4ac＝4a2−4a（a−2）＝8a＞0.故D错误．故选C．
江苏省
1．【2024·连云港】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）的顶点为（1，2）．小烨同学得出以下结论：①abc＜0；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③若ax2+bx+c＝0的一个根为3，则a=−12；④抛物线y＝ax2+2是由抛物线y＝ax2+bx+c向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
【答案】B 【解析】∵顶点为（1，2），∴−b2a=1，∴b＝−2a.∵a＜0，∴b＞0.∵a+b+c＝2，∴c＝2−a−b＝2−a−（−2a）＝2+a，∴c无法判断.故①错误；∵a＜0，∴抛物线开口向下.∵对称轴为直线x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小.故②正确；∵b＝−2a，c＝2+a，∴y＝ax2−2ax+2+a.∵当x＝3时，y＝0，∴0＝9a−6a+2+a，∴a=−12.故③正确；∵y＝ax2+bx+c＝a（x−1）2+2，∴将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到y＝a（x−1+1）2+2−2＝ax2.故④错误；故选B．
四川省
10．【2024·资阳】已知二次函数y=−12x2+bx与y=12x2−bx的图象均过点A（4，0）和坐标原点O，这两个函数在0≤x≤4时形成的封闭图象如图所示，P为线段OA的中点，过点P且与x轴不重合的直线与封闭图象交于B，C两点．给出下列结论：
①b＝2；
②PB＝PC；
③以O，A，B，C为顶点的四边形可以为正方形；
④若点B的横坐标为1，点Q在y轴上（Q，B，C三点不共线），则△BCQ周长的最小值为5+13．
其中，所有正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D【解析】①∵二次函数y=−12x2+bx与y=12x2−bx的图象均过点A（4，0）和坐标原点O，P为线段OA的中点，∴P（2，0），两个函数的对称轴均为直线x＝2，∴x=−b2×(−12)=2，解得b＝2.故①正确；
②如图，过点B作BD⊥x交x轴于点D，过点C作CE⊥x交x轴于点E，
∴∠CEP＝∠BDP＝90°，
由函数的对称性可知PE＝DP，在△CEP和△BDP中，∠CEP=∠BDPEP=DP∠EPC=∠DPB，∴△CEP≌△BDP（ASA），∴PB＝PC.故②正确；
③当点B、C分别在两个函数的顶点上时，BC⊥OA，点B、C的横坐标均为2，
由①可知两个函数的解析式分别为y=−12x2+2x，y=12x2−2x，
∴B（2，2），C（2，−2），∴BC＝2−（−2）＝4.
∵点A（4，0），∴OA＝4，∴BC＝OA.
由∵BC⊥OA，∴此时以O，A，B，C为顶点的四边形为正方形，故③正确；
④作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点Q，此时△BCQ周长的最小，最小值为BQ+CQ+BC＝B′Q+CQ+BC＝B′C+BC，
∵点B的横坐标为1，∴B(1，32)，点C的横坐标为3，∴B′(−1，32)，C(3，−32)，∴BC=(3−1)2+(−32−32)2=13，B′C=(−1−3)2+(32+32)2=5，∴△BCQ周长的最小值为B′C+BC=5+13，故④正确.
故选D．
10．【2024·甘孜州】二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象如图所示，给出下列结论：①c＜0；②−b2a＞0；③当−1＜x＜3时，y＜0．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D【解析】由题意，∵函数图象与y轴交于负半轴，∴当x＝0时，y＝c＜0，故①正确．又根据函数的图象可得，a−b+c＝0，且9a+3b+c＝0，∴8a+4b＝0．∴b＝−2a．∴对称轴是直线x=−b2a=−−2a2a=1＞0，故②正确．由题意，∵x＝−1或x＝3时，y＝0，且抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，∴当−1＜x＜3时，y＜0，故③正确．故选D．
12．【2024·凉山州】抛物线y=23（x−1）2+c经过（−2，y1），（0，y2），（52，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y3＞y1＞y2D．y1＞y3＞y2
【答案】D【解析】∵y=23（x−1）2+c，∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，∵（52，y3）关于直线x＝1的对称点是（−12，y3），∵−2＜−12＜0＜1，∴y1＞y3＞y2，故选D．
9．【2024·乐山】已知二次函数y＝x2−2x（−1≤x≤t−1），当x＝−1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A．0＜t≤2B．0＜t≤4C．2≤t≤4D．t≥2
【答案】C【解析】因为y＝x2−2x＝（x−1）2−1，所以抛物线的对称轴为直线x＝1，且顶点坐标为（1，−1）．因为1−（−1）＝3−1，所以x＝−1和x＝3时的函数值相等．因为−1≤x≤t−1，当x＝−1时，函数取得最大值，所以t−1≤3，又因为当x＝1时，函数取得最小值，所以t−1≥1，所以1≤t−1≤3，解得2≤t≤4．故选C．
12．【2024·眉山】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，对称轴为直线x＝1，下列四个结论：①bc＜0；②3a+2c＜0；③ax2+bx≥a+b；④若−2＜c＜−1，则−83＜a+b+c＜−43，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C【解析】①∵函数图象开口方向向上，∴a＞0.∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴b＜0.∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴bc＞0.故①错误；②∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，对称轴为直线x＝1，∴−b2a=1.∵b＝−2a，∴x＝−1时，y＝0，∴a−b+c＝0，∴3a+c＝0，∴3a+2c＜0.故②正确；③∵对称轴为直线x＝1，a＞0，∴y＝a+b+c最小值，ax2+bx≥a+b.故③正确；④∵−2＜c＜−1，x1x2＝（−1）×3＝−3=ca，∴c＝−3a，∴−2＜−3a＜−1，∴13＜a＜23.∵b＝−2a，∴a+b+c＝a−2a−3a＝−4a，∴−83＜a+b+c＜−43.故④正确.综上所述，正确的有②③④，故选C．
10．【2024·广元】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c过点C（0，−2）与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且−1＜x1＜0，2≤x2＜3，则下列结论：①a−b+c＜0；②方程ax2+bx+c+2＝0有两个不相等的实数根；③a+b＞0；④a＞23；⑤b2−4ac＞4a2.其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C【解析】①∵抛物线开口向上，−1＜x1＜0，2＜x2＜3，∴当x＝−1时，y＝a−b+c＞0，故①不符合题意；②∵抛物线y＝ax2+bx+c过点C（0，−2），∴函数的最小值y＜−2，∴ax2+bx+c＝−2有两个不相等的实数根；∴方程ax2+bx+c+2＝0有两个不相等的实数根；故②符合题意；③∴−1＜x1＜0，2＜x2＜3，∴抛物线的对称轴为直线x=−b2a，且12＜−b2a＜32，且1＜−ba＜3，而a＞0，∴−3a＜b＜−a，∴a+b＜0，故③不符合题意；④∵抛物线y＝ax2+bx+c过点C（0，−2），∴c＝−2，∵x＝1时，y＝a−b+c＞0，即3a−3b+3c＞0，当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，∴12a+4c＞0，∴12a＞8，∴a＞23，故④符合题意；⑤：−1＜x1＜0，2＜x2＜3，∴x2−x1＞2，由根与系数的关系可得：x1+x2=−ba，x1x2=ca，∴b2−4ac4a2=14×(−ba)2−ca=14(x1+x2)2−x1x2=14[(x1+x2)2−4x1x2]=14(x1−x2)2＞14×4=1，∴b2−4ac4a2＞1，∴b2−4ac＞4a2，故⑤符合题意；综上，②④⑤正确，符合题意，正确个数有三个．故选C．
9．【2024·自贡】一次函数y＝x−2n+4，二次函数y＝x2+（n−1）x−3，反比例函数y=n+1x在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（ ）
A．n＞−1B．n＞2C．−1＜n＜1D．1＜n＜2
【答案】C【解析】根据题意得−2n+4＞0−n−12＞0n+1＞0，解得−1＜n＜1，∴n的取值范围是−1＜n＜1，故选C．
12．【2024·宜宾】如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象交x轴于点A（−3，0）、B（1，0），交y轴于点C．以下结论：①a+b+c＝0；②a+3b+2c＜0；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，c=7；④当c＝3时，在△AOC内有一动点P，若OP＝2，则CP+23AP的最小值为973．其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C【解析】∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象交x轴于点B（1，0），∴a+b+c＝0，故①正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象交x轴于点A（−3，0）、B（1，0），∴−b2a=−3+12=−1，∴b＝2a，∵a+b+c＝0，∴c＝−3a，∴a+3b+2c＝a+6a−6a＝a，∵a＜0，∴a+3b+2c＜0，故②正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝−1，∴AC≠BC，∵A（−3，0）、B（1，0），C（0，c），∴AB＝4，当AC＝AB＝4时，则AC2＝OA2+OC2，
∴42＝32+c2，解得c=7或c=−7（不合题意，舍去），当AB＝BC＝4时，BC2＝OB2+OC2，∴42＝12+c2，解得c=15（负数舍去），综上，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，c=7或c=15，故③错误；
当c＝3时，C（0，3），则OC＝3，如图所示，取点H（−43，0），连接PH，则OH=43，∴OHOP=432=23，∵OPOA=23，
∴OHOP=OPOA，∵∠HOP＝∠POA，∴△HOP∽△POA，∴PHPA=OPOA=23，∴PH=23PA，∴CP+23AP＝CP+PH，当C、P、H共线时，CP+PH的值最小，即此时CP+23AP的最小，最小值为CH，在Rt△CHO中，CH=OH2+OC2=(43)2+32=973，故④正确；故选C．
10．【2024·遂宁】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴为直线x＝−1，且该抛物线与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点B在（0，−2），（0，−3）之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（ ）
①abc＞0；②9a−3b+c＞0；
③23＜a＜1；
④若方程ax2+bx+c＝x+1两根为m，n（m＜n），则−3＜m＜1＜n．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B【解析】∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴为x＝−1＜0，a、b同号，∴b＞0，∵与y轴的交点B在（0，−2）和（0，−3）之间，∴−3＜c＜−2＜0，∴abc＜0，故①不正确；∵对称轴为直线x＝−1，且该抛物线与x轴交于点A（1，0），∴与x轴交于另一点（−3，0），∵x＝−3，y＝9a−3b+c＝0，故②不正确；由题意可得，方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝1，x2＝−3，又∵x1•x2=ca，即c＝−3a，∵−3＜c＜−2，∴−3＜−3a＜−2，因此23＜a＜1，故③正确；若方程ax2+bx+c＝x+1两根为m，n（m＜n），则直线y＝x+1与抛物线的交点的横坐标为m，n，
∵直线y＝x+1过一、二、三象限，且过点（−1，0），∴直线y＝x+1与抛物线的交点在第一、第三象限，由图象可知−3＜m＜1＜n．故④正确；综上所述，正确的结论有③④，故选B．
10．【2024·广安】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（−32，0），对称轴是直线x=−12，有以下结论：①abc＜0；②若点（−1，y1）和点（2，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；③am2+bm≤14a−12b（m为任意实数）；④3a+4c＝0，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B【解析】∵二次函数开口方向向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0，∵−b2a＜0，∴b＜0，∴abc＞0，故①错误；∵对称轴是直线x=−12，点（−1，y1）和点（2，y2）都在抛物线上，又∵−12−(−1)=−12+1=12＜2−(−12)=212，∴y1＞y2.故②错误；∵当x＝m时，y＝am2+bm+c，当x=−12时，函数取最大值 14a2−12b+c，
∴对于任意实数m有：am2+bm+c≤14a2−12b+c，∴am2+bm≤14a−12b.故③正确；∵−b2a=−12，∴b＝a.∵当x=−32时，y＝0，∴94a−32b+c=0，∴9a−6b+4c＝0，即3a+4c＝0.故④正确.故选B．
9．【2024·达州】抛物线y＝−x2+bx+c与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（ ）
A．b+c＞1B．b＝2C．b2+4c＜0D．c＜0
【答案】A【解析】∵抛物线y＝−x2+bx+c与x轴交于两点，分别为（x1，0）和（x2，0），且x1＜1，∴x1−1＜0，x2−1＞0，∴（x1−1）（x2−1）＜0，∴x1x2−（x1+x2）+1＜0，由根与系数的关系可得，−c−b+1＜0，∴b+c＞1，
故选：A．
1．【2024·泸州】已知二次函数y＝ax2+（2a−3）x+a−1（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（ ）
A．1≤a＜98B．0＜a＜32C．0＜a＜98D．1≤a＜32
【答案】A【解析】∵图象经过第一、二、四象限，∴Δ＝（2a−3）2−4a（a−1）＞0且a−1≥0，a＞0，解得1≤a＜98，
∴a的取值范围为1≤a＜98．故选：A．
福建省
10．【2024·福建10题】已知二次函数y＝x2−2ax+a（a≠0）的图象经过A(a2，y1)，B（3a，y2）两点，则下列判断正确的是（ ）
A．可以找到一个实数a，使得y1＞a
B．无论实数a取什么值，都有y1＞a
C．可以找到一个实数a，使得y2＜0
D．无论实数a取什么值，都有y2＜0
【答案】C【解析】∵二次函数解析式为y＝x2−2ax+a（a≠0），∴二次函数开口向上，且对称轴为x=−−2a2=a，顶点坐标为（a，a−a2），当a＞0时，0＜a2＜a，∴a−a2＜y1＜a，当a＜0时，a＜a2＜0，∴a−a2＜y1＜a，故A、B错误，不符合题意；当a＞0时，0＜a＜2a＜3a，由二次函数对称性可知点（0，a）和点（2a，a）关于对称轴对称，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，所以当x＝3a时，y2＞a＞0；当a＜0时，3a＜2a＜a＜0，由二次函数对称性可知可知点（0，a）和点（2a，a）关于对称轴对称，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，所以当x＝3a时y2＞a，不一定大于0，故C正确，符合题意；D错误，不符合题意；故选：C．
广东省
8．【2024·广州】函数y1＝ax2+bx+c与y2=kx的图象如图所示，当（ ）时，y1，y2均随着x的增大而减小．
A．x＜−1B．−1＜x＜0C．0＜x＜2D．x＞1
【答案】D【解析】根据二次函数图象当x＞1时，y1随着x的增大而减小，同样当x＞1时，反比例函数y2随着x的增大而减小．故选D．
8．【2024·广东】若点（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在二次函数y＝x2的图象上，则（ ）
A．y3＞y2＞y1B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2D．y3＞y1＞y2
【答案】A【解析】∵二次函数y＝x2，∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为y轴．∴当x≥0时，y随x的增大而增大，∵0＜1＜2，∴y1＜y2＜y3，故选A．
贵州省
12．【2024·贵州12题】如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是−3，顶点坐标为（−1，4），则下列说法正确的是（ ）
A．二次函数图象的对称轴是直线x＝1
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C．当x＜−1时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
【答案】D【解析】选项A：∵顶点坐标为（−1，4），∴对称轴为x＝−1，故选项A错误；选项B：由对称性可知，（−3，0）关于x＝−1对称的点为（1，0），故选项B错误；选项C：开口向下，当x＜−1时，y随x的增大而增大,故选项C错误；选项D：设二次函数解析式为y＝a（x+1）2+4，将（−3，0）代入得a＝−1，∴y＝−（x+1）2+4，令x＝0得y＝3，∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确．故选D．
黑龙江省
10．【2024·牡丹江】在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，A（−3，0），B（1，0），与y轴交点C的纵坐标在−3～−2之间，根据图象判断以下结论：①abc2＞0；②43＜b＜2；③若ax12−bx1=ax22−bx2且x1≠x2，则x1+x2＝−2；④直线y=−56cx+c与抛物线y＝ax2+bx+c的一个交点（m，n）（m≠0），则m=12．其中正确的结论是（ ）
A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④
【答案】A【解析】设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x−1）＝ax2+2ax−3a，∴b＝2a，c＝−3a，∴abc2＝a•2a•（−3a）2＝18a4＞0.故①正确；∵点C的纵坐标在−3～−2之间，∴−3＜−3a＜−2，即43＜2a＜2，∴43＜b＜2.故②正确；∵ax12−bx1=ax22−bx2，∴ax12−2ax1=ax22−2ax2，即x12−2x1−x22+2x2=0，∴（x1+x2−2）（x1−x2）＝0.又∵x1≠x2，∴x1+x2＝2.故③错误；∵令y相等，则−56cx+c=ax2+bx+c，∴52ax−3a=ax2+2ax−3a，解得x1＝0（舍），x1=12，∴m=12，故④正确.故选A．
12．【2024·绥化】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝−1，则下列结论中：
①bc＞0；
②am2+bm≤a−b（m为任意实数）；
③3a+c＜1；
④若M（x1，y）、N（x2，y）是抛物线上不同的两个点，则x1+x2≤−3．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B【解析】由题意，∵抛物线开口向下，∴a＜0．又抛物线的对称轴是直线x=−b2a=−1，∴b＝2a＜0．
又抛物线交y轴正半轴，∴当x＝0时，y＝c＞0．∴bc＜0，故①错误．由题意，当x＝−1时，y取最大值为y＝a−b+c，∴对于抛物线上任意的点对应的函数值都≤a−b+c．∴对于任意实数m，当x＝m时，y＝am2+bm+c≤a−b+c．∴am2+bm≤a−b，故②正确．由图象可得，当x＝1时，y＝a+b+c＜0，又b＝2a，∴3a+c＜0＜1，故③正确．由题意∵抛物线为y＝ax2+bx+c，∴x1+x2=−ba=−2aa=−2＞−3，故④错误．综上，正确的有②③共2个．
故选B．
10．【2024·齐齐哈尔】如图，二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（−1，0），（x1，0），其中2＜x1＜3．结合图象给出下列结论：
①ab＞0；
②a−b＝−2；
③当x＞1时，y随x的增大而减小；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的另一个根是−2a；
⑤b的取值范围为1＜b＜43．其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C【解析】由图象可知，−b2a＞0，∴ab＜0，故结论①错误；∵二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（−1，0），∴a−b+2＝0，即a−b＝−2，故结论②正确；∵二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（−1，0），（x1，0），其中2＜x1＜3，∴12＜−b2a＜1，∵抛物线开口向下，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故结论③正确；∵二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（−1，0），（x1，0），∴−1，x1是方程ax2+bx+2＝0的两个根，∴−1•x1=2a，∴x1=−2a，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的另一个根是−2a，故结论④正确；∵a−b+2＝0，∴a＝b−2，∴y＝（b−2）x2+bx+2，
∵2＜x1＜3，∴4(b−2)+2b+2＞09(b−2)+3b+2＜0，解得1＜b＜43，故结论⑤正确．故选C．
内蒙古
6．【2024·包头】将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ）
A．y＝（x+1）2−3B．y＝（x+1）2−2
C．y＝（x−1）2−3D．y＝（x−1）2−2
【答案】A
二、填空题
吉林省
11．【2024·长春】若抛物线y＝x2−x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是 ．
【答案】c＞14 【解析】由题意，∵抛物线y＝x2−x+c（c是常数）与x轴没有交点，∴Δ＝1−4c＜0．∴c＞14．
故答案为c＞14．
山东省
14. 【2024·济宁】将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______．
【答案】【解析】将抛物线向下平移k个单位长度得，∵与x轴有公共点，∴，即，解得，故答案为．
1．【2024·滨州】将抛物线y＝−x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为 ．
【答案】（1，2）【解析】将抛物线y＝−x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，后抛物线解析式为y＝−（x−1）2+2，∴顶点坐标为（1，2），故答案为（1，2）．
2．【2024·烟台】已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
下列结论：
①abc＞0；
②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根；
③当−4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；
④若点（m，y1），（−m−2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2；
⑤满足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范围是x＜−2或x＞3．
其中正确结论的序号为 ．
【答案】①②④【解析】把（−4，0），（−1，9），（1，5）代入y＝ax2+bx+c得：16a−4b+c=0a−b+c=9a+b+c=5，解得a=−1b=−2，c=8∴abc＞0，故①正确；∵a＝−1，b＝−2，c＝8，∴y＝−x2−2x+8，当y＝9时，−x2−2x+8＝9，∴x2+2x+1＝0，∵Δ＝22−4×1×1＝0，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根，故②正确；∵抛物线的对称轴为直线x=−3+12=−1，∴抛物线的顶点坐标为（−1，9），又∵a＜0，∴当x＜−1时，y随x的增大而增大；当x＞−1时，y随x的增大而减小；当x＝−1时，函数取最大值9，∵x＝−3与x＝1时函数值相等，等于5，∴当−4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y≤9，故③错误；∵m+(−m−2)2=−1，∴点（m，y1），（−m−2，y2）关于对称轴x＝−1对称，∴y1＝y2，故④正确；由ax2+（b+1）x+c＜2 得ax2+bx+c＜−x+2，即−x2−2x+8＜−x+2，画函数 y＝−x2−2x+8和y＝−x+2图象如下,由y=−x+2y=−x2−2x+8，解得x1=2y1=0，x2=−3y2=5∴A（2，0），B（−3，5），由图形可得，当x＜−3或x＞2时，−x2−2x+8＜−x+2，即ax2+（b+1）x+c＜2，故⑤错误；综上，正确的结论为①②④，故答案为：①②④．
江苏省
1．【2024·苏州】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（0，m），B（1，−m），C（2，n），D（3，−m），其中m，n为常数，则mn的值为 ．
【答案】−35【解析】将A（0，m），B（1，−m），D（3，−m）代入y＝ax2+bx+c（a≠0），得：c=ma+b+c=−m9a+3b+c=−m，
∴a=23mb=−83m，c=m∴y=23mx2−83x+m，把C（2，n）代入y=23mx2−83mx+m，得：n=23m×22−83m×2+m，
∴n=−53m，∴mn=m−53m=−35，故答案为：−35．
四川省
15．【2024·内江】已知二次函数y＝x2−2x+1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点P（2，y1），Q（3，y2）在抛物线C上，则y1 y2（填“＞”或“＜”）．
【答案】＜【解析】∵y＝x2−2x+1＝（x−1）2，∴二次函数y＝x2−2x+1的图象向左平移两个单位得到抛物线C的函数关系式为：y＝（x−1+2）2，即y＝（x+1）2；∴抛物线C开口向上，对称轴为直线x＝−1.∵点P（2，y1），Q（3，y2）在抛物线C上，且−1＜2＜3，∴y1＜y2，故答案为＜．
16．【2024·南充】已知抛物线C1：y＝x2+mx+m与x轴交于两点A，B（A在B的左侧），抛物线C2：y＝x2+nx+n（m≠n）与x轴交于两点C，D（C在D的左侧），且AB＝CD．下列四个结论：①C1与C2交点为（−1，1）；②m+n＝4；③mn＞0；④A，D两点关于（−1，0）对称．其中正确的结论是 ①②④ .（填写序号）
【答案】①②④【解析】令x2+mx+m＝x2+nx+n，解得x＝−1，把x＝−1代入y＝x2+mx+m得，y＝1，
∴C1与C2交点为（−1，1），故①正确；∵抛物线C1：y＝x2+mx+m与抛物线C2：y＝x2+nx+n的开口方向和大小相同，且AB＝CD，∴两抛物线的关于直线x＝−1对称，∴A，D两点关于（−1，0）对称，故④正确；
−m2−n2=−2，∴m+n＝4，故②正确；由题意可知，m＞1，n＜1或m＜1，n＞1，∴mn＞0不一定成立，故③错误．故答案为①②④．
1．【2024·德阳】如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（−13，n），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②5b+2c＜0；③若抛物线经过点（−6，y1），（5，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝4无实数根，则n＜4．其中正确结论是 （请填写序号）．
【答案】①②④【解析】∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（−13，n），∴−b2a=−13．∴a=32b.∵抛物线开口方向向下，即a＜0，∴b＜0，当x＝0时，y＝c＞0，∴abc＞0.故①正确；由图象可得：当x＝1时，y＝a+b+c＜0，∴5b+2c＜0，故②正确；∵直线x=−13是抛物线的对称轴，∴点（−6，y1）到对称轴的距离大于点（5，y2）到对称轴的距离，∴y1＜y2，故③错误；∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝4无实数根，∴顶点A（−13，n）在直线y＝4的下方，∴n＜4，故④正确．故正确的有①②④．故答案为①②④．
2．【2024·成都】在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是二次函数y＝−x2+4x−1图象上三点．若0＜x1＜1，x2＞4，则y1 y2（填“＞”或“＜”）；若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，存在y1＜y3＜y2，则m的取值范围是 ．
【答案】 ＞ −12＜m＜1 【解析】∵y＝−x2+4x−1＝−（x−2）2+3，∴二次函数y＝−x2+4x−1图象的对称轴为直线x＝2，开口向下.∵0＜x1＜1，x2＞4，∴2−x1＜x2−2，即（x1，y1）比（x2，y2）离对称轴直线的水平距离近，∴y1＞y2；∵m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，∴x1＜x2＜x3，∵对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，存在y1＜y3＜y2，∴x1＜2，x3＞2，且A（x1，y1）离对称轴最远，B（x2，y2）离对称轴最近，∴2−x1＞x3−2＞|x2−2|，∴x1+x3＜4，且 x2+x3＞4.∵2m+2＜x1+x3＜2m+4，2m+3＜x2+x3＜2m+5，∴2m+2＜4，且2m+5＞4，解得−12＜m＜1.故答案为：＞，−12＜m＜1．
黑龙江省
13．【2024·牡丹江】将抛物线y＝ax2+bx+3向下平移5个单位长度后，经过点（−2，4），则6a−3b−7＝ ．
【答案】2【解析】抛物线y＝ax2+bx+3向下平移5个单位长度后得到y＝ax2+bx+3−5＝ax2+bx−2，把点（−2，4）代入得到，4＝a×（−2）2−2b−2，得到2a−b＝3，∴6a−3b−7＝3（2a−b）−7＝3×3−7＝2.故答案为2．
辽宁省
14．【2024·辽宁】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为 ．
【答案】4【解析】由题意，∵抛物线y＝ax2+bx+3过B（3，0），C（2，3），∴9a+3b+3=04a+2b+3=3．∴a=−1b=2．
∴抛物线为y＝−x2+2x+3．∴抛物线的对称轴是直线x=−22×(−1)=1．∵抛物线与x轴的一交点为B（3，0），
∴另一交点为A（1−2，0），即A（−1，0）．∴AB＝3−（−1）＝4．故答案为4．
内蒙古
17．【2024·通辽17题】关于抛物线y＝x2−2mx+m2+m−4（m是常数），下列结论正确的是 （填写所有正确结论的序号）．
①当m＝0时，抛物线的对称轴是y轴；
②若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m＝−4；
③若点A（m−2，y1），B（m+1，y2）在抛物线上，则y1＜y2；
④无论m为何值，抛物线的顶点到直线y＝x的距离都等于22．
【答案】①④【解析】当m＝0时，抛物线为y＝x2−4，∴抛物线的对称轴是y轴，故①正确．又若此抛物线与x轴只有一个公共点，∴Δ＝4m2−4（m2+m−4）＝−4m+16＝0．∴m＝4，故②错误．由题意，∵抛物线为y＝x2−2mx+m2+m−4，∴对称轴是直线x=−−2m2=m．又抛物线开口向上，∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．又∵A（m−2，y1），B（m+1，y2），∴m−（m−2）＝2＞m+1−m＝1．∴y1＞y2，故③错误．由题意，∵抛物线y＝x2−2mx+m2+m−4的对称轴是直线x＝m，∴顶点为（m，m−4）．∴顶点在直线y＝x−4上．又直线y＝x与y＝x−4平行，∴顶点到直线y＝x的距离等于两条平行线间的距离．又直线y＝x−4与y轴的夹角为45°，且y＝x−4是y＝x向下平移4个单位得到的，∴两平行线间的距离为4sin45°＝4×22=22．∴顶点到直线y＝x的距离为22，故④正确．故答案为①④．
新疆
15．【2024·新疆生产建设兵团】如图，抛物线y=12x2−4x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝3．当AD+BC的值最小时，点C的坐标为 ．
【答案】（4，1）【解析】作A点关于对称轴的对称点A′，A′向下平移3个单位，得到A″，连接A″B，交对称轴于点C，此时AD+BC的值最小，AD+BC＝A″B，在y=12x2−4x+6中，令x＝0，则y＝6，∴点A（0，6），令y＝0，则12x2−4x+6=0，解得x＝2或x＝6，∴点B（2，0），∵抛物线的对称轴为直线x=−−42×12=4，∴A′（8，6），∴A″（8，3），设直线A″B的解析式为y＝kx+b，代入A″、B的坐标得8k+b=32k+b=0，解得k=12b=−1，∴直线A″B的解析式为y=12x−1，当x＝4时，y＝1，∴C（4，1）．故答案为：（4，1）．
三、解答题
北京
26．【2024·北京26题】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2−2a2x（a≠0）．
（1）当a＝1时，求抛物线的顶点坐标；
（2）已知M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线上的两点．若对于x1＝3a，3≤x2≤4，都有y1＜y2，求a的取值范围．
解：（1）将a＝1代入得y＝x2−2x＝（x−1）2−1，
∴顶点坐标为（1，−1）.
（2）由题得，y1＝a•（3a）2−2a2•3a＝3a3，
y2=ax22−2a2x2，
∵y1＜y2，∴y2−y1＝a（x22−2ax2−3a2）＝a（x2−3a）（x2+a）＞0，
①当a＞0时，（x2−3a）（x2+a）＞0，
∴x2−3a＞0x2+a＞0或x2−3a＜0x2+a＜0，
解得x2＞3a或x2＜−a，
∵3≤x2≤4，∴3a＜3或−a＞4，
∴a＜1或a＜−4，
∵a＞0，∴0＜a＜1；
②当a＜0时，（x2−3a）（x2+a）＜0，
∴x2−3a＞0x2+a＜0或x2−3a＜0x2+a＞0，
解得3a＜x2＜−a，
∵3≤x2≤4，∴3a＜3−a＞4，解得a＜−4，
综上，0＜a＜1或a＜−4．
安徽省
23．【2024·安徽23题】已知抛物线y＝−x2+bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝−x2+2x的顶点横坐标大1．
（1）求b的值；
（2）点A（x1，y1）在抛物线y＝−x2+2x上，点B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝−x2+bx上．
（ⅰ）若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值；
（ⅱ）若x1＝t−1，求h的最大值．
解：（1）∵抛物线y＝−x2+bx的顶点横坐标为b2，y＝−x2+2x的顶点横坐标为1，
∴b2−1=1，∴b＝4.
（2）∵点A（x1，y1）在抛物线y＝−x2+2x上，
∴y1=−x12+2x1，
∵B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝−x2+4x上，
∴y1+ℎ=−(x1+t)2+4(x1+t)，
−x12+2x1+ℎ=−(x1+t)2+4(x1+t），
∴h＝−t2−2x1t+2x1+4t，
（i）∵h＝3t，
∴3t＝−t2−2x1t+2x1+4t，
∴t（t+2x1）＝t+2x1，
∵x1≥0，t＞0，
∴t+2x1＞0，∴t＝1，∴h＝3.
（ii）将x1＝t−1代入h＝−t2−2x1t+2x1+4t，
∴h＝−3t2+8t−2，ℎ=−3(t−43)2+103，
∵−3＜0，∴当t=43，即x1=13时，h取最大值103．
河北省
26．【2024·河北26题】如图，抛物线C1：y＝ax2−2x过点（4，0），顶点为Q．抛物线C2：y=−12（x−t）2+12t2−2（其中t为常数，且t＞2），顶点为P．
（1）直接写出a的值和点Q的坐标．
（2）嘉嘉说：无论t为何值，将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C2上．
淇淇说：无论t为何值，C2总经过一个定点．
请选择其中一人的说法进行说理．
（3）当t＝4时，
①求直线PQ的解析式；
②作直线l∥PQ，当l与C2的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标．
（4）设C1与C2的交点A，B的横坐标分别为xA，xB，且xA＜xB，点M在C1上，横坐标为m（2≤m≤xB）．点N在C2上，横坐标为n（xA≤n≤t），若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n．
解：（1）∵抛物线C1：y=ax2−2x过点（4，0），顶点为Q，
∴16a−8＝0，解得a=12，
∴抛物线为y=12x2−2x=12(x−2)2−2，∴Q（2，−2）.
（2）把Q（2，−2）向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为（0，−2），
当x＝0时，C2：y=−12(x−t)2+12t2−2=−12t2+12t2−2=−2，
∴（0，−2）在C2上，
∴嘉嘉说法正确；
C2：y=−12(x−t)2+12t2−2=−12x2+xt−2，
当x＝0时，y＝−2，
∴C2：y=−12(x−t)2+12t2−2，
过定点（0，−2），∴淇淇说法正确；
（3）①当t＝4时，C2：y=−12(x−t)2+12t2−2=−12(x−4)2+6，
∴顶点P（4，6），
而Q（2，−2），设PQ为y＝cx+f，
∴4e+f=62e+f=−2，解得e=4f=−10，∴PQ为y＝4x−10.
②如图，当C2：y=−12(x−4)2+6=−6（等于6两直线重合不符合题意），
∴x=4±26，
∴交点J(4−26，−6)，交点K(4+26，6)，
由直线l∥PQ，设直线l为y＝4x+b，
∴4(4−26)+b=−6，解得b=86−22，
∴直线l为y=4x+86−22，
当y=4x+86−22=0时，x=112−26，
此时直线l与x轴交点的横坐标为112−26，
同理当直线l过点K(4+26，6)，
直线l为y=4x−86−22，
当y=4x−86−22=0时，x=112+26，
此时直线l与x轴交点的横坐标为112+26．
（4）∵y=12(x−2)2−2，C2：y=−12(x−t)2+12t2−2，
∴C2是由C1通过旋转180°，再平移得到的，两个函数图象的形状相同，
如图，连接AB交PQ于L，连接AQ，BQ，AP，BP，
∴四边形APBQ是平行四边形，
当点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，此时M与B重合，N与A重合，
∵P（2，−2），Q(t，12t2−2)，
∴L的横坐标为2+t2，M(m，12m2−2m)，N[n，−12(n−t)2+12t2−2]，
∴L的横坐标为m+n2，
∴m+n2=2+t2，解得n＝2+t−m．
吉林省
26．【2024·吉林】小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x的值为−2时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6．
（1）直接写出k，a，b的值．
（2）小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图象，如图（2）．
Ⅰ．当y随x的增大而增大时，求x的取值范围．
Ⅱ．若关于x的方程ax2+bx+3−t＝0（t为实数），在0＜x＜4时无解，求t的取值范围．
Ⅲ．若在函数图象上有点P，Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m，Q的横坐标为−m+1．小明对P，Q之间（含P，Q两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围．
解：（1）∵x＝−2＜0，
∴将 x＝−2，y＝1 代入 y＝kx+3，得−2k+3＝1，解得k＝1.
∵x＝2＞0，x＝3＞0，
将x＝2，y＝3和x＝3，y＝6分别代入y＝ax2+bx+3，
得4a+2b+3=39a+3b+3=6，解得a=1b=−2.
故a＝1，b＝−2，k＝1．
（2）I：∵k＝1，a＝1，b＝−2，
∴一次函数解析式为：y＝x+3，二次函数解析式为：y＝x2−2x+3，
当x＞0时，y＝x2−2x+3，其对称轴为直线x＝1，开口向上，
∴x≥1时，y随着x的增大而增大；
当x≤0时，y＝x+3，k＝1＞0，
∴x≤0时，y随着x的增大而增大，
综上，x的取值范围：x≤0或x≥1；
Ⅱ：∵ax2+bx+3−t＝0在0＜x＜4时无解，
∴ax2+bx+3＝t，在0＜x＜4时无解，
∴问题转化为抛物线 y＝x2−2x+3 与直线y＝t在0＜x＜4时无交点，
∵对于 y＝x2−2x+3，当x＝1时，y＝2，
∴顶点为（1，2）.
如图：
∴当t＝2时，抛物线 y＝x2−2x+3 与直线y＝t在0＜x＜4时正好一个交点，
∴当t＜2时，抛物线 y＝x2−2x+3 与直线y＝t在0＜x＜4时没有交点；
当x＝4，y＝16−8+3＝11，
∴当t＝11时，抛物线 y＝x2−2x+3 与直线y＝t在0＜x≤4时正好一个交点，
∴当t≥11时，抛物线 y＝x2−2x+3 与直线y＝t在0＜x＜4时没有交点，
∴当t＜2或t≥11时，抛物线 y＝x2−2x+3 与直线y＝t在0＜x＜4时没有交点，
即：当t＜2或t≥11时，关于x的方程 ax2+bx+3−t＝0 （t为实数），在0＜x＜4时无解；
Ⅲ：∵xP＝m，xQ＝−m+1，
∴m+(−m+1)2=12，
∴点P、Q关于直线 x=12 对称，
当 x＝1，y最小值＝1−2+3＝2，
当 x＝0时，y最大值＝3.
∵当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当 x＝2 时，y＝3，x＝−1 时，y＝2，
∴①当 m＞12 ，如图：
由题意得：−1≤−m+1≤01≤m≤2，
∴1≤m≤2；
②当 m＜12，如图：
由题意得：−1≤m≤01≤−m+1≤2，
∴−1≤m≤0，
综上，−1≤m≤0或1≤m≤2．
山东省
24．【2024·威海】已知抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2．
（1）若抛物线y1＝x2+bx+c+1（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x3，0），（x4，0），且x3＜x4，试判断下列每组数据的大小（填写＜、＝或＞）：
①x1+x2 x3+x4；②x1−x3 x2−x4；③x2+x3 x1+x4．
（2）若x1＝1，2＜x2＜3，求b的取值范围；
（3）当0≤x≤1时，y＝x2+bx+c（b＜0）最大值与最小值的差为916，求b的值．
解：（1）∵y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，
∴x1+x2＝−b，且抛物线开口向上，
∵y1=x2+bx+c+1(b＜0) 与x轴交点的坐标分别为（x3，0），（x4，0），且x1＜x4，
即y＝x2+bx+c（b＜0）向上平移1个单位，
∴x1＜x3＜x4＜x2，且x1+x4＝−b，
∴①x1+x2＝x1+x4；
∵x2−x1＞x4−x3
∴x2−x4＞x1−x3，即②x1−x3＜x2−x4；
∴x1+x3＞x1+x4，即③x2+x3＞x1+x4，
故答案为：＝；＜；＞.
（2）∵x1＝1，2＜x2＜3，
∴3＜x2+x1＜4
∴3＜−b＜4，
∴−4＜b＜−3.
（3）抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）顶点坐标为(−b2，4c−b24)，对称轴为直线x=−b2＞0，
当x＝0时，y＝c；
当x＝1时，y＝1+b+c；
①当在x＝0取得最大值，在顶点取得最小值时，
有c−4c−b24=916，
解得b=32（舍去）或b=−32；
②当在x＝1取得最大值，在顶点取得最小值时，
有1+b+c−4c−b24=916，
解得b=−72（舍去）或b=−12，
综上所述，b的值为−32或−12．
1．【2024·枣庄】在平面直角坐标系xOy中，点P（2，−3）在二次函数y＝ax2+bx−3（a＞0）的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x＝m．
（1）求m的值；
（2）若点Q（m，−4）在y＝ax2+bx−3的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
（3）设y＝ax2+bx−3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．若4＜x2−x1＜6，求a的取值范围．
解：（1）∵点P（2，−3）在二次函数y＝ax2+bx−3（a＞0）的图象上，
∴4a+2b−3＝−3，解得b＝−2a，
∴抛物线为：y＝ax2−2ax−3，
∴抛物线的对称轴为直线x=−−2a2a=1，
∴m＝1.
（2）∵点Q（1，−4）在y＝ax2−2ax−3的图象上，
∴a−2a−3＝−4，解得：a＝1，
∴抛物线为y＝x2−2x−3＝（x−1）2−4，
将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：
y＝（x−1）2−4+5＝（x−1）2+1，
∵0≤x≤4，∴当x＝1时，函数有最小值为1，
当x＝4时，函数有最大值为（4−1）2+1＝10，
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11.
（3）∵y＝ax2−2ax−3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．
∴x1+x2＝2，x1⋅x2=−3a.
∵x2−x1=(x1+x2)2−4x1x2，
∴x2−x1=4+12a=21+3a.
∵4＜x2−x1＜6，
∴4＜21+3a＜6即2＜1+3a＜3，
解得38＜a＜1．
广东省
19．【2024·深圳19题（回忆版）】为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设BD的读数为x，CD读数为y，抛物线的顶点为C．
（1）
（Ⅰ）列表：
（Ⅱ）描点：请将表格中的（x，y）描在图2中；
（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；
（2）如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x−h）2+k的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为AB，竖直跨度为CD，且AB＝m，CD＝n，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：
方案一：将二次函数y＝a（x−h）2+k平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为y＝ax2．
①此时点B′的坐标为 ；
②将点B′坐标代入y＝ax2中，解得a＝ ；（用含m，n的式子表示）
方案二：设C点坐标为（h，k）．
①此时点B的坐标为 ；
②将点B坐标代入y＝a（x−h）2+k中解得a＝ ；（用含m，n的式子表示）
（3）【应用】如图4，已知平面直角坐标系xOy中有A，B两点，AB＝4，且AB∥x轴，二次函数C1：y1＝2（x+h）2+k和C2：y2＝a（x+h）2+b都经过A，B两点，且C1和C2的顶点P，Q距线段AB的距离之和为10，若AB∥x轴且AB＝4，求a的值．
解：（1）描点连线绘制函数图象如下：
抛物线过点O，故设抛物线的表达式为：y＝ax2+b，
将（2，1）、（3，2.25）代入上式得：
4a+2b=19a+3b=2.25，解得：a=14b=0，
则抛物线的表达式为：y=14x2，（x≥0）；
（2）方案一：点B′（12m，n）；
将点B′的坐标代入抛物线表达式得：n＝a×14m2，
则a=4nm2；故答案为：（12m，n），4nm2；
方案二：点B（n+12m，k+n），
将点B的坐标代入抛物线表达式得：k+n＝a（h+12m−h）2+k，
解得：a=4nm2；故答案为：（n+12m，k+n），4nm2；
（3）对于二次函数C1：m＝4，
由a=4nm2得：2=4n16，解得：n＝8，
则C2距线段AB的距离的n＝2，
当a＞0时，则a=4nm2=4×242=12；
当a＜0时，同理可得：a=−12，
综上，a＝±12．
浙江省
23．【2024·浙江A卷23题（回忆版）】已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（−2，5），对称轴为直线x=−12．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值；
（3）当−2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为94，求n的取值范围．
解：（1）由题意，∵二次函数为y＝x2+bx+c，
∴抛物线的对称轴为直线x=−b2=−12．
∴b＝1．∴抛物线为y＝x2+x+c.
又图象经过点A（−2，5），
∴4−2+c＝5．∴c＝3．
∴抛物线为y＝x2+x+3．
（2）由题意，∵点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度（m＞0），
∴平移后的点为（1−m，9）．
又（1−m，9）在y＝x2+x+3，∴9＝（1−m）2+（1−m）+3．
∴m＝4或m＝−1（舍去）．∴m＝4．
（3）由题意，当 n＜−12 时，
∴最大值与最小值的差为5−[(n+12)2+114]=94．
∴n1=n2=−12，不符合题意，舍去．
当−12≤n≤1 时，
∴最大值与最小值的差为5−114=94，符合题意．
当n＞1时，最大值与最小值的差为 (n+12)2+114−114=94，解得 n1＝1 或 n2＝−2，不符合题意．
综上所述，n的取值范围为−12≤n≤1．
云南省
1．【2024·云南】已知抛物线y＝x2+bx−1的对称轴是直线x=32．设m是抛物线y＝x2+bx−1与x轴交点的横坐标，记M=m5−33109．
（1）求b的值；
（2）比较M与132的大小．
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx−1的对称轴是直线x=32．
∴−b2=32，解得b＝−3.
（2）由（1）知：b＝−3，
∴抛物线y＝x2−3x−1，
当y＝0时，0＝x2−3x−1，解得x=3±132，
∵m是抛物线y＝x2+bx−1与x轴交点的横坐标，
∴m=3±132，
方法一：直接计算化简，
当m=3+132时，M=m5−33109=(3+132)5−33109=3+132，
∴3+132−132=32＞0，即M＞132；
当m=3−132时，M=m5−33109=(3−132)5−33109＜0，
∴M＜132；
由上可得，当m=3+132时，M＞132；当m=3−132时，M＜132．
方法二：∵m是抛物线y＝x2−3x−1与x轴交点的横坐标，
∴0＝m2−3m−1，∴m2＝3m+1，
∴m5＝（m2）2•m＝（3m+1）2•m
＝（9m2+6m+1）•m
＝[9（3m+1）+6m+1]•m
＝（27m+9+6m+1）•m+1
＝（33m+10）•m
＝33m2+10m
＝33（3m+1）+10m
＝99m+33+10m
＝109m+33，
∴M=m5−33109=109m+33−33109=m，
由0＝m2−3m−1，可得m=3±132，
当m=3+132时，M−132=m−132=3+132−132=32＞0，
此时M＞132；
当m=3−132时，M−132=m−132=3−132−132=3−2132＜0，
此时M＜132．
广西
25．【2024·广西25题】课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y＝x2+2ax+a−3的最值问题展开探究．
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
（1）老师给出a＝−4，求二次函数y＝x2+2ax+a−3的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成如表：
注：*为②的计算结果．
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取x＝−a，就能得到y的最小值．”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值”
（2）请结合函数解析式y＝x2+2ax+a−3，解释甲同学的说法是否合理？
（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．
解：（1）①a＝−4，y＝x2+2ax+a−3＝x2−8x−7；
②当x=−b2a=4时，y取得最小值为：16−32−7＝−23.
（2）合理，理由：
∵1＞0，故函数有最小值，
当x=−b2a=−a时，y取得最小值，
故甲同学的说法合理.
（3）正确，理由：
当x＝−a时，y＝x2+2ax+a−3＝−a2+a−3，
∵−1＜0，
∴y有最大值，
当a=12时，y的最大值为−14+12−3=−114．
x
…
−4
−2
0
3
5
…
y
…
−24
−8
0
−3
−15
…
x
−4
−3
−1
1
5
y
0
5
9
5
−27
①
②
③
④
⑤
⑥
x
0
2
3
4
5
6
y
0
1
2.25
4
6.25
9
a
…
−4
−2
0
2
4
…
x
…
*
2
0
−2
−4
…
y的最小值
…
*
−9
−3
−5
−15
…