安徽省宿州市2025~2026学年高一数学上学期12月教学质量摸底检测试题含解析

这是一份安徽省宿州市2025~2026学年高一数学上学期12月教学质量摸底检测试题含解析，共17页。试卷主要包含了试题本试卷分第Ⅰ卷两部分， 角 的终边过点 ，则， 函数 的大致图象为， 下列说法正确的是， 下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120 分钟 满分：150 分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无
效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
第Ⅰ卷（选择题 共 58 分）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，有且只有
一项符合题目要求.
1. 已知 ， ，则 p 是 q 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数的定义结合充分、必要条件分析判断.
【详解】若 ，则 ，即充分性成立；
若 ，则 不一定成立，例如 ，必要性不成立；
综上所述：p 是 q 的充分不必要条件.
故选：A.
2. 已知全集 ， ，则集合 （ ）
第 1页/共 17页
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得出集合 中没有元素 ， ，再根据 、 分类讨论即可.
【详解】由题意可知，集合 中没有元素 ， ，故 AC 错误；
若 ，则 ，
又 ，则 ，不符合题意，排除选项 B，
若 ，则 ，
又 ，则 ，符合 ，故 D 正确．
故选：D
3. 已知幂函数 奇函数，则 （ ）
A. B. 1 C. 2 D. 或 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂函数的定义求出 的可能值，再结合奇偶性即可得出结果．
【详解】由 为幂函数得 ，即 ，解得 或 ．
当 时， ， ，原幂函数为偶函数，所以 ；
当 时， ， ，原幂函数为奇函数，故 ．
故选：A．
4. 已知函数 ，若 在 上是增函数，则实数 a 的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
第 2页/共 17页
【解析】
【分析】根据分段函数 在 上是增函数，则由每一段都是增函数且 左侧的函数值不大于
右侧的函数值求解.
【详解】因为函数 ，在 上是增函数，
所以 ，
解得 ，
故选：D
【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，属于基础题.
5. 角 的终边过点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据任意角的三角函数的定义计算可得.
【详解】已知角 的终边经过点 ，所以 .
故选：A
6. 已知 是定义在 上的偶函数，对任意实数 满足 ，且 在 上
单调递增，设 ，则 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数奇偶性以及 可知 的周期为 2，且在 上单调递减，将表达式
化简可得 ， ， ，又易知 即可得 .
第 3页/共 17页
【详解】根据题意可知 ，即可得 ，
所以函数 是以 2 为周期的偶函数，
又 在 上单调递增，所以可得 在 上单调递增；
根据偶函数性质可知 在 上单调递减，
又
显然 ，所以可得 ，即 ；
因此可得 .
故选：A
7. 函数 的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简函数 ，探讨函数奇偶性排除两个选项，再利用在 上函数值的正负判断即得.
【详解】依题意，函数 的定义域为 ，显然有 ，即 为奇函数，
因此函数 的图象关于原点对称 ，AC 错误；
第 4页/共 17页
当 时， ，于是 ，显然 D 不满足，B 符合题意．
故选：B
8. 已知函数 有且仅有两个零点，则 a 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【 分 析 】 令 ， 得 到 ， 根 据 题 意 ， 转 化 为 与
的图象仅有两个交点，画出同一坐标系内作出两个函数的图象，结合斜率公式和
直线与抛物线的位置关系，即可求解.
【详解】由函数 ，
令 ，可得 ，即 ，
因为函数 有且仅有两个零点，
即函数 与 的图象仅有两个交点，
因为 ，
作出函数 和 的图象，如图所示，
当 时，联立方程组 ，可得 ，
由 ，解得 ，
当 时，可得 ，
要使得函数 有且仅有两个零点，则满足 或 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：A.
第 5页/共 17页
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 化成弧度是
B. 化成角度是
C. 化成弧度是
D. 与 终边相同
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据弧度与角度的互化即可判断 ABC，根据终边相同的角的概念即可判断 D．
【详解】对于 A， 对应的弧度为 ，所以 对应的弧度为 ，故 A 正确；
对于 B， 对应的角度为 ，所以 对应的角度为 ，故 B 正确；
对于 C， 对应的弧度为 ，故 C 错误；
对于 D， ， ，所以这两个角的终边相同，故 D 正确；
故选：ABD．
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 命题“ ”的否定为“ ”
B. 设 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件
C. 设 ，若集合 与集合 相等，则 ，
D. 满足 的集合 有 4 个
【答案】AC
第 6页/共 17页
【解析】
【分析】由命题的否定判断 A 选项，由充分必要条件的定义判断 B 选项，由集合相等以及集合的互异性计
算得到结果判断 C 选项，由集合的子集写出满足要求的集合 判断 D 选项.
【详解】根据全称命题的否定形式知，命题“ ”的否定为“ ”，所以 A 正确；
可以推出 ，而 解得 ，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，所以 B 不正
确；
根据题意 或 ，当 时， ，不符合集合元素的互异性；
当 时， ， ，则 ，解得 （舍）或 ，
所以 ， ，所以 C 正确；
由题意，集合 包含集合 ，同时集合 又是集合 的真子集，
则所有符合条件的集合 为 ， ， ，共 3 个，所以 D 不正确；
故选：AC.
11. 已知函数 在 上的最大值为 ，函数 有且仅有三个不同的零
点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题设条件，利用二次函数的性质，直接求出 的值，即可判断出 A 和 B 的正误，结合 的
图象，将问题转化成 与 有且仅有 3 个交点，数形结合，即可求解.
【详解】令 ，其对称轴为 ，图象开口向上，
且 ，则 ，
因为函数 在 上的最大值为 ，
若 ，即 ，则 在区间 上单调递增，且 ，
第 7页/共 17页
所以当 时， ，所以 在区间 上单调递增，
又 ，所以函数 在 上的最大值不为 ，不合题意，所以 ，
若 ，即 ，
①当 ，即 ，此时 ，
又 ，由二次函数的性质知 ，不合题意，
②当 ，即 ，由题有 ，
解得 ，所以 ，
此时 ，由二次函数的性质知， ，当且仅当 时取等号，
要使函数 在 上的最大值为 ，则 ，即 ，
若 ，即 ，此时 在区间 上单调递减，
要使函数 在 上的最大值为 ，
则 ，解得 ，无解，
综上所述， ，所以 A 错误，B 正确， 图象如图所示，
由 ，得到 ，令 ，由题知 与 有且仅有 3 个交点，
令 ，解得 或 ，
由图知， 与 有且仅有一个交点，
由 ，消 得到 ，由 ，
得到 ，由图知 不合题意，所以 ，故 C 正确，D 错误，
第 8页/共 17页
故选：BC.
第Ⅱ卷（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 函数 （ 且 ）的图象过定点______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定的函数，借助指数函数、对数函数过定点问题求解.
【详解】对任意 且 ，当 时， 成立，此时 ，
所以函数 （ 且 ）的图象过定点 .
故答案为：
13. 已知 ， ，且 ，则 的最小值为________.
【答案】 ##6.25
【解析】
【分析】由基本不等式得 ， ，利用对勾函数的单调性求最小值.
【详解】由 ，当且仅当 时
等号成立，
由于 ，当且仅当 时等号成立，
对勾函数 在 上单调递减，
第 9页/共 17页
可知当 ，即 时 取得最小值 .
所以 的最小值 .
故答案为： .
14. 若实数 满足 ，则称 为函数 的一个“二阶不动点”．给定函数
，则其所有“二阶不动点”的和为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据定义解方程可得“二阶不动点”，然后求和即可.
【详解】 时， ， ，则 ，满足题意；
时， ， ，则 ，满足题意；
时， ， ，则 ，满足题意；
时， ， ，则 ，满足题意，
所以 的“二阶不动点”有： ，和为 ，
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
第 10页/共 17页
（2）3
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算求解；
（2）根据对数的定义及运算求解．
【小问 1 详解】
原式
.
【小问 2 详解】
．
16. （1）已知 ，求 和 的值
（2）已知 ， ，求 的值
（3）已知 ， ，求 的值
【答案】（1）答案见详解；（2）3；（3）
【解析】
【分析】（1）由题意可知角 为第一或第四象限角，分类讨论，结合同角三角关系分析求解；
（2）先将指数化 对数，结合对数运算求解；
（3）根据同角三角关系列式求 ，即可得结果.
【详解】（1）因为 ，可知角 为第一或第四象限角，
若角 第一象限角，则 ；
第 11页/共 17页
若角 为第四象限角，则 ；
（2）因为 ， ，则 ，
所以 ；
（3）由题意可得 ，解得 或 ，
又因为 ，则 ，可得 ，
所以 .
17. 已知函数 ，且 的解集为 ．
（1）求 的解析式；
（2）设 ，在定义域范围内若对于任意的 ，使得 恒成立，求
M 的最小值．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）代入方程的根，求得参数值.
（2）使不等式恒成立，根据函数单调性求得函数的最值，从而求得参数的值.
【详解】解：（1）由题意
解得
第 12页/共 17页
（2）由题意
当
当
令 ，当 ，当 取等号，
当 当 取等号，
综上，
【点睛】关键点点睛：利用函数单调性研究函数带参最值问题.
18. 近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从 2021
年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从 2021 到 2023 年，每年年末该平台的会
员人数如下表所示．
建立平台第 年 1 2 3
会员人数 （千人） 22 34 70
（1）请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立第 年年末会员
人数 （千人），求出你所选择模型的解析式，并预测 2024 年年末的会员人数；
① ；② ；③ ．
第 13页/共 17页
（2）为了更好地维护管理平台，该平台规定第 年年末的会员人数上限为 千人，请根据（1）
中得到的函数模型，求 的最小值．
【答案】（1）选择模型③， ，178 千人．
（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据表格中的数据变化情况选择模型，再利用待定系数法求出解析式及函数值.
（2）利用（1）的结论建立不等式，分离参数构造函数并求出其最大值即得.
【小问 1 详解】
由表格中的数据知，所求函数是一个增函数，且增长越来越快，
模型①的函数递减，模型②的函数即使递增，增长也较缓慢，因此选择模型③，
于是 ，解得 ，
所以函数模型对应的解析式为 ，
当 时，预测 2024 年年末的会员人数为 千人．
【小问 2 详解】
由（1）及已知得，对 ，都有 ，令 ，则 ，
令 ，则不等式右边等价于函数 ，
函数 在区间 上单调递增，因此 ，
则 ，所以 的最小值为 ．
19. 已知函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是 是奇函数，给
定函数 ．
（1）求函数 图象的对称中心；
（2）用定义判断 在区间 上的单调性；
（3）已知函数 的图象关于点 对称，且当 时， ．若对任意
，总存在 ，使得 ，求实数 的取值范围．
第 14页/共 17页
【答案】（1）
（2）函数在 上单调递增
（3）
【解析】
【分析】（1）设函数 图象的对称中心为 ，根据函数关于点对称的性质得到
，代入求解即可得到 的值，从而得到对称中心.
（2）根据单调性定义证明即可.
（3）由题意可知函数 的值域是 值域的子集，由（2）易得 的值域， 的值域可对二次
函数的对称轴和区间的位置关系进行分类讨论得到，最终整合得到实数 m 的取值范围.
【小问 1 详解】
设函数 图象的对称中心为 ，则 是奇函数，
则 对定义域中的每一个 值恒成立，
即 ，
也即 对定义域中的每一个 值恒成立，
故得 ，解得 ，
所以 的对称中心为 .
【小问 2 详解】
任取 ，且 ，
则 ，
所以 且 ，
所以 ，即 ，
第 15页/共 17页
所以 在 上单调递增.
【小问 3 详解】
由题意可得 在 上的值域是 在 上的值域的子集.
由（2）知 在 上单调递增，故 的值域为 ，
于是原问题转化为 在 上的值域 .
而 的对称轴为直线 ，
①当 即 时， 在 上单调递增，
同时 的图象恒过对称中心 ，
可知 在 上也单调递增，故 在 上单调递增，
又 ， ，故 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
又 ，故此时 ；
②当 即 时， 在 上单调递减， 上单调递增，
又 过对称中心 ，故 在 上单调递增， 上单调递减，
故此时 ，
欲使 ，只需 ，
且 ，
解不等式得： ，
第 16页/共 17页
又 ，故此时 ；
③当 即 时， 在 上单调递减，又 过对称中心 ，则 在 上也单调
递减，
由对称性知 在 上单调递减，于是 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
又 ，故此时 ，
综上，实数 的取值范围是 .