安徽省宿州市2025~2026学年高三数学上学期12月教学质量摸底检测试题含解析

这是一份安徽省宿州市2025~2026学年高三数学上学期12月教学质量摸底检测试题含解析，共22页。试卷主要包含了试题本试卷分第Ⅰ卷两部分.等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120 分钟满分：150 分
注意事项:
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
第Ⅰ卷（选择题共 58 分）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，有且只有
一项符合题目要求.
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】确定 ，再计算交集得到答案.
【详解】 ，则 ，
， .
故选：B
2. 已知数列 是等差数列，若 、 、 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用特殊值法、等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出合适的选项.
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【详解】因为数列 为等差数列，
当 时，显然任意的 、 、 ，均满足 ，但不一定满足 ，
即“ ” “ ”；
由数列 是等差数列，设该数列的公差为 ，
若 ，
，
即“ ” “ ”.
因此，“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
3. 过点 分别作两条直线与圆 分别相切于 A、 两点，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线与圆的位置关系结合二倍角公式计算即可.
【详解】因为 ，可得圆心 ，半径 ，
因为 ，则 ，
可得 ， ，
故 .
故选:C.
4. 一种电路控制器在出厂时，每 4 件一等品装成一箱．工人装箱时，不小心将 2 件二等品和 2 件一等品装
入了一箱，为了找出该箱中的二等品，需要对该箱中的产品逐件进行测试．假设检测员不知道该箱产品中
二等品的具体数量，则测试的第 2 件产品是二等品的概率为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由条件进行分析，结合古典概型计算公式，即可得到结果.
【详解】只考虑测试 第 2 件产品，它可以是箱中的 4 件产品中的任何一件，因此有四种结果，并且这 4
中结果的出现是等可能的，
测试的第 2 件产品是二等品的结果有 2 种，因此，测试的第 2 件产品是二等品的概率为
故选:D.
5. 平行四边形 中，E 为 中点， 与 交于 O，记 ， ， ，则
（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题根据平面向量加减与数乘运算结合平面向量基本定理即可得解.
【详解】由题意得 ，
所以 ， ， ．
故选：B．
6. 已知定义在 上的函数 ，其导函数为 ，满足 ，
，当 时， ，则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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【分析】设 ，结合题意可得函数 是定义在 上的偶函数，又当 时， 在
上单调递减，当 时，函数 在 上单调递增，又 ，可得
，即可得出不等式 的解集．
【详解】令 ，则 ，
当 时， ，
所以当 时， ，
即函数 在 上单调递减，
又 ，则 ，
，
由 ，
得 ，
即 ，
则 ，即 是奇函数，所以 是偶函数，
则当 时，函数 在 上单调递增，
因为 ，所以 ， ，
又 ，所以 即 ，则 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：B．
7. 将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数
的图象关于 对称，则 的最小值为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用余弦的二倍角公式和辅助角公式化简 ，再由图象的平移可得 的图象，由 的
图象的对称轴列方程结合 即可求得 的最小值.
【详解】
，
所以 ，
因为函数 的图象关于 对称，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 时， 最小，
故选：A.
8. 已知函数 ，当 时，方程 的根的个数是
（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，画出函数 的大致图象，将方程根的问题转化为函数图象交点问题，结合图象，即
可得到结果.
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【详解】
设 ，则 ，即 ，故 ，
因为 ，故 ，画出 的大致图象，由图象可知 与 共有 6 个公共点，
故原方程共有 6 个根.
故选：D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 在经验回归方程 中，当解释变量 x 每增加 1 时，响应变量 y 平均减少 2.3
B. 在经验回归方程 中，相对于样本点 的残差为
C. 在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
D. 若两个变量的决定系数 越大，表示残差平方和越大，即拟合效果越好
【答案】BC
【解析】
【分析】A 选项，解释变量 x 每增加 1 时，响应变量 y 平均减少 0.85，A 错误；B 选项，根据残差的定义得
到 B 正确；C 选项，根据残差图的意义得到 C 正确；D 选项，由决定系数的定义可知 D 错误.
【详解】对于 A，因 ，
当解释变量 x 每增加 1 时，响应变量 y 平均减少 0.85，故 A 错误；
对于 B，因为 ， ，
所以相对于样本点 的残差为 ，故 B 正确；
对于 C，在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，故 C 正确；
对于 D，由决定系数 的意义可知， 越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故 D 错误.
故选：BC
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10. 已知函数 为偶函数，且 ，当 时， ，则（
）
A. 的图象关于点 对称 B. 的图象关于直线 对称
C. 的最小正周期为 2 D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】结合函数的奇偶性、周期性以及对称性计算即可得.
【详解】对 A：因为 为偶函数，则 ，
即 ，所以 是奇函数，
所以 的图象关于点 对称，故 A 正确；
对 B：因为 ，所以 的图象关于直线 对称，故 B 正确；
对 C：因为 ， ，
则 ，则 ，
所以 的最小正周期为 ，故 C 错误；
对 D：因为当 时， ，所以 ， ，
因为 的图象既关于点 对称，又关于直线 对称，
所以 ， ，
因为 的最小正周期为 4，
所以 ，所以 ，
所以
，故 D 正确．
故选：ABD．
【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：
（1）关于对称：若函数 关于直线 轴对称，则 ，若函数 关于点 中
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心对称，则 ，反之也成立；
（2）关于周期：若 ，或 ，或 ，可知函数 的周
期为 .
11. 在长方体 中， ，点 在棱 上，且 ．点 为
线段 上动点（包括端点），则下列结论正确的是（ ）
A. 当点 为 中点时， 平面
B. 过 点作与直线 垂直的截面 ，则直线 与截面 所成的角的正切值为
C. 三棱锥 的体积是定值
D. 点 到直线 距离的最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】建立适当空间直角坐标系后，借助直线方向向量与平面法向量计算得到 A；设平面 与 、
分别交于点 、 ，则可通过线面垂直的性质，即 ， ，从
而确定平面 ，再求出其法向量，结合 的方向向量与空间向量夹角公式得到 B；结合长方体性质及体
积公式可得 C；借助空间向量中点到直线的距离公式可得 D.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系 ，
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则有 、 、 、 、 、 、
、 ，则 ，
对 A：当点 为 中点时， ，则 ，
有 ， ，
设平面 的法向量为 ，则有 ，
令 ，则有 ， ，即 ，
有 ，故 ，故 平面 ，故 A 正确；
对 B：设平面 与 、 分别交于点 、 ，
则 、 ， ，
由题意可得 ，解得 ，
，解得 ，
即 、 ，
设平面 的法向量为 ，则有 ，
令 ，则有 ， ，即 ，
又 ，则 ，
则直线 与截面 所成的角的余弦值为 ，
直线 与截面 所成的角的正弦值为 ，
即直线 与截面 所成的角的正切值为 ，故 B 正确；
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对 C：由 ，则点 到直线 的距离为定值，故 为定值，
又由长方体性质可得 平面 ，
故点 到平面 的距离为定值，设为 ，
故三棱锥 的体积 为定值，故 C 正确；
对 D： ，设 ， ，
则 ，
故点 到直线 距离
，
当且仅当 时，等号成立，
故点 到直线 距离的最小值为 ，故 D 错误.
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：B 选项中，可设平面 与 、 分别交于点 、 ，则可通过
线面垂直的性质，即 ， ，从而确定平面 .
第Ⅱ卷（非选择题共 92 分）
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知直线 过点 ，且在 轴上的截距为在 轴上的截距的两倍，则直线 的方程是___________.
【答案】 或
【解析】
【分析】当纵截距为 时，设直线方程为 ，代入点 求得 的值，当纵截距不为 时，设直线的
截距式方程，代入点 求解.
【详解】①当直线 在两坐标轴上的截距均为 时，设直线方程为 ，
因为直线过点 ，所以 ，所以直线 的方程为 ；
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②当直线 在两坐标轴上的截距均不为 时，
设直线 在 轴上的截距为 ，则在 轴上的截距为 ，
则直线 的方程为 ，
又因为直线 过点 ，所以 ，
解得： ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
综上所述：直线 的方程为 或 ，
故答案为： 或 ．
13. 在 中，D 在边 AB 上，CD 平分 ，若 ，且 ，则 _____．
【答案】
【解析】
【分析】设 ，根据 和余弦定理得到方程，求出 ，从而得到 ，
，相加可得答案.
【详解】由题意，如图，设 ，由角平分线定理可得 ，
由于 ，所以由余弦定理可得： ，
即： ，解得： ，
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可得： ， ，
．
故答案为：
14. 古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率.黄金分割率的值也
可以用 表示，即 ，设 为正五边形的一个内角，则 _______.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件先求解出 的值，然后根据诱导公式以及二倍角的正弦公式求解出结果.
【详解】由题可知 ，
所以 ，
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 四棱锥 底面为菱形， 底面 ，点 在 上，
．
（1）证明： ；
（2）求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
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（2）
【解析】
【分析】（1）证明 平面 即可；
（2）取 的中点 ，连接 ，以 为坐标原点， 分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角
坐标系，求出平面 和平面 的法向量，利用向量公式即可求解．
【小问 1 详解】
连接 与 交于点 ，
在菱形 中， ，
底面 平面 ，
平面 ， ，
平面 ，
平面 ；
【小问 2 详解】
取 的中点 ，连接 ，
为 中点， 中， ，
底面 底面 ，
以 为坐标原点， 分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示空间直角坐标系，
， ，
设 ，
，即 ，由此可求 ，
设平面 ，平面 的法向量分别为 ，
，
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∴ 即 取 ；
同理， 即 ，取 ；
设二面角 的平面角为 ，则 ，
二面角 为锐二面角， 二面角 的余弦值为 ．
16. 已知函数 的导函数为 ，函数 与 的图象关于直线 对称.
（1）若数列 的前 项和 ，求 的通项公式；
（2）设 ，记数列 的前 项和为 ，证明： .
【答案】（1）
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据 以及 求出 ，然后检验 时，题目由 求出 与
时 表达式求出 是否一致，若一致写出 ；不一致则分段表示出来即可.
（2）根据点 关于直线 对称的点坐标为 在 图像上，得到关于 的表达式，求导
得 ，利用裂项相消法求和即可.
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【小问 1 详解】
由题意知 ，
当 时， .
当 时， ，
所以 .
故 ；
【小问 2 详解】
，即点 在 的图象上，
因为 与 的图象关于直线 对称，
所以点 在 的图象上，
即 .
又 ，
所以 .
所以 ，
于是
，
易知 ，所以 .
17. 近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人群 心血管安全构成威胁，国际上常用身体质量
指数 BMI= 衡量人体胖瘦程度是否健康，中国成人的 BMI 数值标准是：BMI