【数学】安徽省宿州市多校2025~2026学年高二上学期12月教学质量摸底检测试题（学生版+解析版）

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一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，易知，则，显然、、不成立.
故选：C.
2. 若正三棱锥的侧面均为直角三角形，底面边长为，则该正三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】正三棱锥的底面边长均相等，所以侧面均为等腰直角三角形，
即三条侧棱两两垂直，所以侧棱长为，
所以体积.
故选：B.
3. 已知抛物线的焦点在圆上，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】C
【解析】由于抛物线的焦点为正半轴上，与正半轴的交点为，故抛物线的焦点为，所以，
因此抛物线的焦点到准线的距离为，
故选：C.
4. 已知为数列的前项和，且，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】数列中，，，则，
，，，
以此类推可知，对任意的，，
因为，所以，.
故选：C.
5. 已知直线，直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分条件但不是必要条件B. 必要条件但不是充分条件
C. 充要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件
【答案】B
【解析】若，则，解得，或，
当时，，，，符合题意，
当时，，，，符合题意，
所以若“”，则“，或”，
则“”是“” 必要条件但不是充分条件.
故选：B.
6. 已知，，若为a，c的等差中项，d为a，c的等比中项，则的值为（ ）
A. 3B. 4C. 2或D. 2或4
【答案】D
【解析】由题意可得，
，
所以的值为2或4.
故选：D.
7. 若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：依题意直线的斜率存在，设斜率为，则直线方程为，
即，
所以圆心到直线的距离小于等于半径，即，解得或，
即.
故选：A.
8. 直线与曲线恰有2个公共点，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由曲线得，当时，；
当时，；直线恒过点，
所以直线与曲线的图象如图.
当直线与相切时，
此时，得，解得，
当直线与平行时，，
直线与曲线要恰有2个公共点，可得.
故选:A.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知双曲线，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线的实轴长为
B. 双曲线的焦距为
C. 双曲线的离心率为
D. 双曲线的渐近线方程为
【答案】BC
【解析】双曲线，则，
双曲线的实轴长为，故A错误；
双曲线的焦距为，故B正确；
双曲线的离心率，故C正确；
双曲线的渐近线方程为，故D错误．
故选：BC．
10. 已知首项为2的数列的前n项和为，且，则（ ）
A. B. 是等差数列
C. 是等差数列D. 若，则n的最小值为5
【答案】ABC
【解析】选项A：因为，，
令，则，
因为，所以，
又因为，故，选项A正确；
选项B：因为，
则两边同时除以，得：，
即，且，
因此是首项为1，公差为1等差数列，选项B正确；
选项C：由的通项可得：，即，
当时，，
当时，，通项成立，
则，
所以：，
所以是等差数列，选项C正确；
选项D：由，则不等式为：，
（，，两边除以）得：，
则当时：，，，不成立，
当时：，，，成立，
所以的最小值为6，选项D错误.
故选ABC.
11. 已知正方体的棱长为，点E，F分别是棱BC，的中点，下列选项中正确的是（ ）
A. 直线EF与所成的角为
B. 若点P满足，其中，则棱锥的体积为定值
C. 用一张正方形的纸把正方体完全包住，不考虑纸的厚度，不将纸撕开，则所需正方形纸的面积的最小值为96
D. 为球心，4为半径作一个球，则该球面与三棱锥表面相交的交线长为
【答案】BCD
【解析】对于A，连接因为E，F分别是棱BC，的中点，所以，
所以直线EF与所成的角为
因为几何体是正方体，所以为等边三角形，
所以，即直线EF与所成的角为，故A错误；
对于B，因为，其中，
所以，
所以，所以P点在线段上，
又因为与平行，平面平面，
所以P到平面的距离为定值，三角形的面积为定值，
所以为定值.故B正确；
对于C，
由正方体的侧面展开图，结合上图可以看出五个正方形及上下左右四个三角形组成一个正方形，
可知要想把正方体完全包住，正方形即为所求正方形，
对角线长为，所以面积为，故C正确；
对于D，因为是直角三角形，球面与这两个面的交线和为以为圆心，
圆心角为以4为半径的圆弧，其弧长为，
是直角三角形，球面与这个面的交线是以B为圆心，圆心角，半径为2的圆弧，其弧长为，
是等边三角形，球面与这个面的交线是以为圆心，圆心角，半径为4的圆弧，其弧长为，
所以球面与三棱锥表面的交线长为，故D正确.
故选：BCD.
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 直线与直线平行，则它们之间的距离是__．
【答案】1
【解析】由直线与直线平行，
可得，解之得，
此时直线可化为，
直线与直线平行，
则它们之间的距离是
故答案为：1.
13. 已知数列满足：，且，，则的前100项和为______．
【答案】5000
【解析】因为，
所以数列的奇数项和偶数项都是以为公差的等差数列，
所以当为奇数时，，
当为偶数时，，
故，，
所以
，
所以的前100项和为.
故答案为：.
14. 下列命题中的假命题为__________.
（1）没有公共点的两平面平行；
（2）已知平面､，直线，若，且，则；
（3）已知平面､，直线､，若，，且与不平行，，则与异面；
（4）若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行.
【答案】（2）（4）
【解析】由面面平行概念可知（1）为真命题；
若直线，且，平面､可能相交或平行，即（2）为假命题；
由两平面平行可知，分别在两个平面内的直线没有交点，又与不平行，故与异面，（3）真命题；
若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，这三个点可以分布在另一个平面的两侧，此时两平面相交，（4）假命题；
故答案为：（2），（4）
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的前项和为，.
（1）若是等比数列且公比，求；
（2）若是等差数列且，求的最小值.
解：（1）设首项为，由题意得，且是等比数列，
故，解得，
则，
（2）设首项为，公差为，且是等差数列，
故，解得，
故，，
由二次函数性质得，当时，取得最小值，但一定为正整数，
则当时，取得最小值，此时.
16. 已知圆经过点，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）求过点，且与圆相切的直线方程；
（3）过点的直线与圆相交于两点，若，求直线的方程.
解：（1）设圆的圆心，
由，得，
解得，故圆心．
圆的半径为，所以圆的标准方程为．
（2）①当切线的斜率不存在时，切线方程为．
②当切线的斜率存在时，设切线的方程为，
整理得．
由圆与切线相切，得，解得，
故所求切线方程为，整理得，
故过点，且与圆相切的直线方程为或．
（3）由，得圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，圆心到直线的距离为1，不合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
由圆心到直线的距离为，得，解得或，
可得直线的方程为或．
17. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
（1）证明：取中点，连接、，
又是的中点，所以，且，
又，，，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）解：因为平面，平面，平面，
所以，，
又，所以以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
所以，，，，
令平面法向量为，则，即，
令，则，，所以平面的法向量为，
令平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以平面的法向量为，
设平面与平面所成角为，
所以，
所以平面与平面所成角的余弦值为；
（3）解：设且，则，由（2）可得，，，，
所以，
设平面法向量为，则，即，
令，则，，所以平面法向量为，
又，点到平面的距离为，
所以，即，解得，
所以在线段上存在点，使得点到平面的距离为，且.
18. 设数列是等差数列，是等比数列．已知．
（1）求和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）设，数列的前n项积为，证明：．
（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
因为，所以，
所以．
（2）解：为奇数时，，
，
为偶数时，，
，
所以.
所以．
（3）证明：，，
当时，；
当时，即
又，
所以，当时，，
所以．
19. 已知椭圆的离心率为，长轴端点分别为，，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2），为椭圆的焦点，为椭圆上一点，且.求点的坐标；
（3）为椭圆上任意一点（不与、重合），设直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为常数，并说明理由.
解：（1）设椭圆的标准方程为，
因为长轴端点分别为，，所以，
因为椭圆的离心率为，所以，则，
所以，
则椭圆的标准方程为.
（2）设，
因为，为椭圆的焦点，为椭圆上一点，且，
所以，
由（1）知椭圆为，，
所以，
整理得，与联立，
解得，
所以点的坐标为，或，或，或.
（3）设，又，，
则， ，
所以，
又，所以，
则，
即为常数.