安徽省宿州市2025~2026学年高二数学上学期12月教学质量摸底检测试题含解析

这是一份安徽省宿州市2025~2026学年高二数学上学期12月教学质量摸底检测试题含解析，共20页。试卷主要包含了 已知 ，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120 分钟 满分：150 分
注意事项：
1 答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无
效.
3 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4 试题本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
第 I 卷（选择题共 58 分）
一､选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，有且只有
一项符合题目要求.
1. 已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量的坐标易得 ，即可判断各项的正误.
【详解】由 ，易知 ，则 ，显然 、 、 不成立.
故选：C
2. 若正三棱锥的侧面均为直角三角形，底面边长为 ，则该正三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正三棱锥的结构特征，由公式求正三棱锥的体积.
【详解】正三棱锥的底面边长均相等，所以侧面均为等腰直角三角形，
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即三条侧棱两两垂直，所以侧棱长为 ，
所以体积 .
故选：B.
3. 已知抛物线 的焦点在圆 上，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据焦点坐标即可求解 ，由 的几何意义即可求解.
【详解】由于抛物线 的焦点为 正半轴上， 与 正半轴的交点为 ，故抛
物线的焦点为 ，所以 ，
因此抛物线的焦点到准线的距离为 ，
故选：C
4. 已知 为数列 的前 项和，且 ， ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用递推公式写出数列 的前 项的值，可知数列 是周期为 的周期数列，结合数列的周
期性可求得 的值.
【详解】 数列 中， ， ，则 ，
， ， ，
以此类推可知，对任意的 ， ，
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因为 ，所以， .
故选：C.
5. 已知直线 ，直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分条件但不是必要条件 B. 必要条件但不是充分条件
C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据 求出 ，再由必要但不充分条件定义判断可得答案.
【详解】若 ，则 ，解得 ，或 ，
当 时， ， ， ，符合题意，
当 时， ， ， ，符合题意，
所以若“ ”，则“ ，或 ”，
则“ ”是“ ” 必要条件但不是充分条件.
故选：B.
6. 已知 ， ，若 为 a，c 的等差中项，d 为 a，c 的等比中项，则 的值为（
）
A. 3 B. 4 C. 2 或 D. 2 或 4
【答案】D
【解析】
【分析】由等差中项和等比中项的性质计算即可；
【详解】由题意可得 ，
，
所以 的值为 2 或 4.
故选：D.
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7. 若过点 的直线 与曲线 有公共点，则直线 的斜率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设斜率为 ，则直线方程为 ，圆心 到直线的距离小于等于半径 ，即可得到不等
式，解得即可.
【详解】解：依题意直线 的斜率存在，设斜率为 ，则直线方程为 ，即 ，
所以圆心 到直线的距离小于等于半径 ，即 ，解得 或 ，
即 .
故选：A
8. 直线 与曲线 恰有 2 个公共点，则实数 a 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】画出直线与曲线的图象，结合图象可得出答案.
【详解】解：由曲线 得，当 时， ；
当 时， ；直线 恒过 点，
所以直线与曲线的图象如图.
当直线 与 相切时，
此时 ，得 ，解得 ，
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当直线 与 平行时， ，
直线 与曲线 要恰有 2 个公共点，可得 .
故选:A.
二､多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知双曲线 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线 的实轴长为 B. 双曲线 的焦距为
C. 双曲线 的离心率为 D. 双曲线 的渐近线方程为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据双曲线方程求解出 a，b，c，由双曲线的性质逐一判断．
【详解】双曲线 ，则 ，
双曲线 的实轴长为 ，故 A 错误；
双曲线 的焦距为 ，故 B 正确；
双曲线 的离心率 ，故 C 正确；
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双曲线 的渐近线方程为 ，故 D 错误．
故选：BC．
10. 已知首项为 2 的数列 的前 n 项和为 ，且 ，则（ ）
A. B. 是等差数列
C. 是等差数列 D. 若 ，则 n 的最小值为 5
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据数列前 项和 与通项 的关系（ ，需验证 的情况），等差数列
的定义，通过对递推式变形，构造新的等差数列，及代入具体正整数验证不等式成立的最小取值，逐个分
析即可.
【详解】选项 A：因为 ， ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，故 ，选项 A 正确；
选项 B：因为 ，
则两边同时除以 ，得： ，
即 ，且 ，
因此 是首项为 1，公差为 1 等差数列，选项 B 正确；
选项 C：由 的通项可得： ，即 ，
当 时， ，
当 时， ，通项成立，
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则 ，
所以： ，
所以 是等差数列，选项 C 正确；
选项 D：由 ，则不等式为： ，
（ ， ，两边除以 ）得： ，
则当 时： ， ， ，不成立，
当 时： ， ， ，成立，
所以 的最小值为 6，选项 D 错误.
故选 ABC.
11. 已知正方体 的棱长为 ，点 E，F 分别是棱 BC， 的中点，下列选项中正确的
是（ ）
A. 直线 EF 与 所成的角为
B. 若点 P 满足 ，其中 ，则棱锥 的体积为定值
C. 用一张正方形的纸把正方体 完全包住，不考虑纸的厚度，不将纸撕开，则所需正方形
纸的面积的最小值为 96
D. 为球心，4 为半径作一个球，则该球面与三棱锥 表面相交的交线长为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于 A，通过 即可求解；对于 B，通过 P 点在线段 上， 即可判断；
对于 C，由正方体的侧面展开图可以看出五个边长为 的正方形及上下左右四个等腰直角三角形组成一
个正方形，可知要想把正方体完全包住，正方形 即为所求最小正方形，计算其面积即可判断；对于
D，由 是直角三角形，球面与这两个面的交线和为以 为圆心，圆心角为 以 4 为半径的
圆弧， 是直角三角形，球面与这个面的交线是以 B 为圆心，圆心角 ，半径为 2 的圆弧，
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是等边三角形，球面与这个面的交线是以 为圆心，圆心角 ，半径为 4 的圆弧，进而可求解.
【详解】
对于 A，连接 因为 E，F 分别是棱 BC， 的中点，所以
所以直线 EF 与 所成的角为
因为几何体 是正方体，所以 为等边三角形，
所以 ，即直线 EF 与 所成的角为 ，故 A 错误；
对于 B，因为 ，其中 ，所以
，
所以 ，所以 P 点在线段 上 ，
又因为 与 平行， 平面 平面 ，
所以 P 到平面 的距离为定值，三角形 的面积为定值，
所以 为定值.故 B 正确；
对于 C，
由正方体的侧面展开图，结合上图可以看出五个正方形及上下左右四个三角形组成一个正方形，
可知要想把正方体完全包住，正方形 即为所求正方形，
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对角线长为 ，所以面积为 ，故 C 正确；
对于 D，因为 是直角三角形，球面与这两个面的交线和为以 为圆心，
圆心角为 以 4 为半径的圆弧，其弧长为 ，
是直角三角形，球面与这个面的交线是以 B 为圆心，圆心角 ，半径为 2 的圆弧，
其弧长为 ，
是等边三角形，球面与这个面的交线是以 为圆心，圆心角 ，半径为 4 的圆弧，
其弧长为 ，
所以球面与三棱锥 表面的交线长为 ，故 D 正确.
故选：BCD.
第 II 卷（非选择题共 92 分）
三､填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 直线 与直线 平行，则它们之间的距离是__．
【答案】1
【解析】
【分析】先利用两直线平行求得 m 的值，再利用两平行直线间的距离公式即可求得它们之间的距离.
【详解】由直线 与直线 平行，
可得 ，解之得 ，
此时直线 可化为 ，
直线 与直线 平行，
则它们之间的距离是
故答案为：1
13. 已知数列 满足： ，且 ， ，则 的前 100 项和为______
．
【答案】5000
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【解析】
【分析】根据 ，可得数列 的奇数项和偶数项都是以 为公差的等差数列，
再根据等差数列的前 项和公式结合分组求和即可得解.
【详解】因为 ，
所以数列 的奇数项和偶数项都是以 为公差的等差数列，
所以当 为奇数时， ，
当 为偶数时， ，
故 ， ，
所以
，
所以 的前 100 项和为 .
故答案为： .
14. 下列命题中的假命题为__________.
（1）没有公共点的两平面平行；
（2）已知平面 ､ ，直线 ，若 ，且 ，则 ；
（3）已知平面 ､ ，直线 ､ ，若 ， ，且 与 不平行， ，则 与 异面；
（4）若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行.
【答案】（2）（4）
【解析】
【分析】由平面平行的概念、判定定理、性质定理逐个判断即可.
【详解】由面面平行概念可知（1）为真命题；
若直线 ，且 ，平面 ､ 可能相交或平行，即（2）为假命题；
由两平面平行可知，分别在两个平面内的直线没有交点，又 与 不平行，故 与 异面，（3）真命题；
若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，这三个点可以分布在另一个平面的两侧，此时两平面相
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交，（4）假命题；
故答案为：（2），（4）
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 的前 项和为 ， .
（1）若 是等比数列且公比 ，求 ；
（2）若 是等差数列且 ，求 的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出首项后利用等比数列的基本量计算即可.
（2）求出通项公式，进而求出前 项和公式，利用函数性质计算即可.
【小问 1 详解】
设首项为 ，由题意得 ，且 是等比数列，
故 ，解得 ，
则 ，
【小问 2 详解】
设首项为 ，公差为 ，且 是等差数列，
故 ，解得 ，
故 ， ，
由二次函数性质得，当 时， 取得最小值，但 一定为正整数，
则当 时， 取得最小值，此时 .
16. 已知圆 经过点 ，且圆心 在直线 上.
（1）求圆 的标准方程；
（2）求过点 ，且与圆 相切的直线方程；
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（3）过点 的直线与圆 相交于 两点，若 ，求直线 的方程.
【答案】（1） ；
（2） 或 ；
（3） 或 ．
【解析】
【分析】（1）设 ，根据圆的几何性质得到方程求出 值即可；
（2）先考虑斜率不存在时，再考虑斜率存在时，设点斜式方程，利用圆心到直线距离为半径得到方程，解
出即可；
（3）根据等腰直角三角形性质得圆心 到直线 的距离，再对直线 分斜率存在和不存在讨论即可.
【小问 1 详解】
设圆 的圆心 ，
由 ，得 ，
解得 ，故圆心 ．
圆 的半径为 ，所以圆 的标准方程为 ．
【小问 2 详解】
①当切线的斜率不存在时，切线方程为 ．
②当切线的斜率存在时，设切线的方程为 ，
整理得 ．
由圆 与切线相切，得 ，解得 ，
故所求切线方程为 ，整理得 ，
故过点 ，且与圆 相切的直线方程为 或 ．
【小问 3 详解】
由 ，得圆心 到直线 的距离为 ，
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当直线 的斜率不存在时，圆心 到直线 的距离为 1，不合题意；
当直线 的斜率存在时，设直线 方程为 ，
由圆心 到直线 的距离为 ，得 ，解得 或 ，
可得直线 的方程为 或 ．
17. 如图，四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ，
， ， 是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成角的余弦值；
（3）在线段 上是否存在点 ，使得点 到平面 的距离为 ？若存在，求出 的值；若不
存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见详解；
（2） ；
（3）存在， .
【解析】
【分析】（1）取 中点 ，连接 、 ，可得四边形 为平行四边形，所以 ，再根
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据线面平行的判定定理，即可证明；
（2）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，先求得平面 和平面 的法向量，再结合面面角的向
量求法，即可求解；
（3）假设存在点 ，且 ，根据空间点到面的距离的向量求法，列出方程，求解即可.
【小问 1 详解】
取 中点 ，连接 、 ，
又 是 的中点，所以 ，且 ，
又 ， ， ，所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
【小问 2 详解】
因为 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，
又 ，所以以 为坐标原点，以 为 轴，以 为 轴，以 为 轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
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令平面 法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ， ，所以平面 的法向量为 ，
令平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ， ，所以平面 的法向量为 ，
设平面 与平面 所成角为 ，
所以 ，
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 ；
【小问 3 详解】
设 且 ，则 ，由（2）可得， ， ，
，
所以 ，
设平面 法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ， ，所以平面 法向量为 ，
又 ，点 到平面 的距离为 ，
所以 ，即 ，解得 ，
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所以在线段 上存在点 ，使得点 到平面 的距离为 ，且 .
18. 设数列 是等差数列， 是等比数列．已知 ．
（1）求 和 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ；
（3）设 ，数列 的前 n 项积为 ，证明： ．
【答案】（1） ；
（2） ；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据等差和等比数列通项公式得到方程组，解出即可；
（2） 为奇数时，求得 ， 为偶数时，利用错位相减法得 ，
最后相加即可；
（3） ，利用作差法得其单调性，即可证明.
【小问 1 详解】
设等差数列的公差为 ，等比数列的公比为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．
【小问 2 详解】
为奇数时， ，
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，
为偶数时， ，
，
所以
所以 ．
【小问 3 详解】
， ，
当 时， ；
当 时， 即
又 ，
所以 ，当 时， ，
所以 ．
19. 已知椭圆 的离心率为 ，长轴端点分别为 ， ，.
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（1）求椭圆 的标准方程；
（2） ， 为椭圆 的焦点， 为椭圆 上一点，且 .求 点的坐标；
（3） 为椭圆 上任意一点（不与 、 重合），设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，判断
是否为常数，并说明理由.
【答案】（1）
（2） ，或 ，或 ，或
（3） 为常数，理由见详解
【解析】
【分析】（1）椭圆 的标准方程为 ，由已知可得 ， ，进而得到
，即可求得椭圆 的标准方程；
（2）设 ，由 ，在 中，由勾股定理，再可得 ，与椭圆 的
方程联立，即可求出 点的坐标；
（3）设 ，由 ， ，可得 ，即 为常数.
【小问 1 详解】
设椭圆 的标准方程为 ，
因为长轴端点分别为 ， ，所以 ，
因为椭圆 的离心率为 ，所以 ，则 ，
所以 ，
则椭圆 的标准方程为 .
【小问 2 详解】
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设 ，
因为 ， 为椭圆 的焦点， 为椭圆 上一点，且 ，
所以 ，
由（1）知椭圆 为 ， ，
所以 ，
整理得 ，与 联立，
解得 ，
所以 点的坐标为 ，或 ，或 ，或 .
【小问 3 详解】
设 ，又 ， ，
则 ， ，
所以 ，
又 ，所以 ，
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则 ，
即 为常数.