2024-2025学年广东省广州市增城区八年级上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省广州市增城区八年级上学期期末数学试卷（含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线
C．莱洛三角形D．科克曲线
2．（3分）可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，1cm3可燃冰的质量仅为0.00092kg．数字0.00092用科学记数法表示是（ ）
A．92×10﹣3B．92×10﹣4C．9.2×10﹣4D．9×10﹣4
3．（3分）代数式2x-5有意义时，x应满足的条件为（ ）
A．x＞5B．x≠5C．x≠0D．x≠﹣5
4．（3分）正多边形的一个外角是72°，则这个多边形的边数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6B．a6÷a2＝a3C．（a3）2＝a5D．a•a2＝a3
6．（3分）如图，已知∠1＝∠2，从下列条件中选一个，不能得到△ABD≌△ACD的是（ ）
A．∠ADB＝∠ADCB．AB＝ACC．BD＝CDD．∠B＝∠C
7．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，则它的周长是（ ）
A．8cmB．14cm
C．16cmD．14cm或16cm
8．（3分）如图，在△ABC中，AE是角平分线，AD⊥BC，垂足为D，点D在点E的左侧，∠B＝60°，∠C＝40°，则∠DAE的度数为（ ）
A．10°B．15°C．30°D．40°
9．（3分）若关于x的方程x+mx-3=3的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣9B．m＞﹣9且m≠﹣3
C．m＜﹣9D．m＞﹣9且m≠0
10．（3分）如图，点C为线段AB上一点，且AC＝2CB，以AC、CB为边在AB的同侧作等边△ADC和等边△EBC，连接DB、AE交于点F，连接FC，若FC＝3，设DF＝a，EF＝b，则a、b满足的数量关系是（ ）
A．a＝2b+3B．a＝2b+2C．a＝2b+1D．a＝2b
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）.
11．（3分）点P（1，3）关于x轴对称的点坐标为 ．
12．（3分）多项式x2+2x+m是完全平方式，则m＝ ．
13．（3分）分式方程12x-5=3x的解是 ．
14．（3分）计算：4a2（3a+1）＝ ．
15．（3分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为 ．
16．（3分）如图，AD和CD分别为△ABC的两个外角的平分线，过点D作EF∥AC分别交BA和BC的延长线于点E和F．给出以下结论：①ED＝DF；②AE+CF＝EF；③BD平分∠ABC；④∠ADB+∠CDF＝90°．其中正确的是 ．
三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤.）
17．（4分）计算：20×|-23|+3-1．
18．（4分）如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，求证∠A＝∠C．
19．（6分）已知x＞3，代数式：A＝2x2﹣8，B＝3x2﹣6x，C＝x3﹣4x2+4x．
（1）因式分解B；
（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出B1的坐标；
（2）若在y轴上存在点P，使得△AA1P的面积为4，求点P的坐标．
21．（8分）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，连接DE．
（1）若BE＝6，求AB的长；
（2）求证：△CDE是等边三角形．
22．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD+BC＝CD．
（1）尺规作图：作∠ADC的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，连接CE．求证：点E是AB的中点．
23．（10分）节能又环保的油电混合动力汽车，既可以完全用油动力行驶，也可以完全用电动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油动力行驶则费用为70元；若完全用电动力行驶，则费用为20元，已知完全用油行驶每千米的费用比完全用电行驶的费用多0.5元．
（1）求完全用电行驶每千米的费用是多少元？
（2）某司机采用油电混合动力从甲地行驶到乙地，若所需费用不超过50元，则汽车至少需要完全用电行驶多少千米？
24．（12分）如图，从边长为a的正方形ABCD中剪去一个边长为b的正方形CGEF．
（1）若a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；
（2）请根据图中阴影部分面积验证平方差公式；
（3）计算：(1+12)×(1+122)×(1+124)×(1+128)⋯×(1+1232)．
25．（12分）在平面直角坐标系中，已知点A（x，0），B（0，y），且x，y满足|x﹣6|+（y﹣2）2＝0．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）如图1，以AB为斜边构造等腰直角△ABC，求点C的坐标；
（3）如图2，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是线段AC上的一点（不与A、C重合），AE⊥BD，垂足为点E，当点D在线段AC上运动时，∠BEC的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值．
2024-2025学年广东省广州市增城区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分.下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.）
1．（3分）下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线
C．莱洛三角形D．科克曲线
【分析】根据轴对称图形的定义逐项识别即可，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．据此解答即可．
【解答】解：选项B、C、D的图形均能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形；
选项B的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查轴对称图形的识别，解题的关键是掌握：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．（3分）可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，1cm3可燃冰的质量仅为0.00092kg．数字0.00092用科学记数法表示是（ ）
A．92×10﹣3B．92×10﹣4C．9.2×10﹣4D．9×10﹣4
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.00092＝9.2×10﹣4．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）代数式2x-5有意义时，x应满足的条件为（ ）
A．x＞5B．x≠5C．x≠0D．x≠﹣5
【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可．
【解答】解：由题可知，
x﹣5≠0时，分式有意义，
解得x≠5．
故选：B．
【点评】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零的条件是解题的关键．
4．（3分）正多边形的一个外角是72°，则这个多边形的边数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数即可．
【解答】解：正多边形的外角和是360°，
∵正多边形的一个外角是72°，
∴多边形的边数为：360°÷72°＝5，
故选：B．
【点评】此题考查了多边形的内角和外角的关系，熟记正多边形的边数和外角的关系是解题的关键．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6B．a6÷a2＝a3C．（a3）2＝a5D．a•a2＝a3
【分析】根据同底数幂的乘除法法则、幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项的方法进行解题即可．
【解答】解：A、a3+a3＝2a3，故该项不正确，不符合题意；
B、a6÷a2＝a4，故该项不正确，不符合题意；
C、（a3）2＝a6，故该项不正确，不符合题意；
D、a•a2＝a3，故该项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6．（3分）如图，已知∠1＝∠2，从下列条件中选一个，不能得到△ABD≌△ACD的是（ ）
A．∠ADB＝∠ADCB．AB＝ACC．BD＝CDD．∠B＝∠C
【分析】由全等三角形的判定方法，即可判断．
【解答】解：A、由ASA判定△ABD≌△ACD，故A不符合题意；
B、由SAS判定△ABD≌△ACD，故B不符合题意；
C、∠1和∠2分别是BD和CD的对角，不能判定△ABD≌△ACD，故C符合题意；
D、由AAS判定△ABD≌△ACD，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL．
7．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，则它的周长是（ ）
A．8cmB．14cm
C．16cmD．14cm或16cm
【分析】等腰三角形两边的长为4cm和6cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【解答】解：由等腰三角形的定义，分以下两种情况：
（1）当边长为4cm的边为腰时，
则这个等腰三角形的三边长分别为4cm，4cm，6cm，满足三角形的三边关系定理，
此时这个等腰三角形的周长为4+4+6＝14（cm）；
（2）当边长为6cm的边为腰时，
则这个等腰三角形的三边长分别为4cm，6cm，6cm，满足三角形的三边关系定理，
此时这个等腰三角形的周长为4+6+6＝16（cm）；
综上，这个等腰三角形的周长为14cm或16cm．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，AE是角平分线，AD⊥BC，垂足为D，点D在点E的左侧，∠B＝60°，∠C＝40°，则∠DAE的度数为（ ）
A．10°B．15°C．30°D．40°
【分析】由∠B＝60°，∠C＝40°，得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．由角平分线的定义，得∠EAC＝40°．根据三角形外角的性质，得∠FED＝80°．由FD⊥BC，根据三角形内角和定理，故可求得∠DFE．
【解答】解：（1）∵∠B＝60°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．
又∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠EAC=12∠BAC=40°．
∴∠AED＝∠C+∠EAC＝40°+40°＝80°．
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°．
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣90°﹣80°＝10°．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角的性质是解决本题的关键．
9．（3分）若关于x的方程x+mx-3=3的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣9B．m＞﹣9且m≠﹣3
C．m＜﹣9D．m＞﹣9且m≠0
【分析】先根据等式的性质求出分式方程的解是x=9+m2，再根据关于x的方程x+mx-3=3的解为正数得出9+m2＞0，根据分式的分母不为0得出9+m2≠3，再求出m的范围即可．
【解答】解：方程x+mx-3=3中分母x﹣3≠0，
即x≠3，
∵x+mx-3=3，
∴x+m＝3x﹣9．
∴x﹣3x＝﹣9﹣m，
∴﹣2x＝﹣9﹣m，
∴x=9+m2，
∵关于x的方程x+mx-3=3的解为正数，
∴9+m2＞0且9+m2≠3，
解得：m＞﹣9且m≠﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，能得出关于m的不等式9+m2＞0且9+m2≠3是解此题的关键．
10．（3分）如图，点C为线段AB上一点，且AC＝2CB，以AC、CB为边在AB的同侧作等边△ADC和等边△EBC，连接DB、AE交于点F，连接FC，若FC＝3，设DF＝a，EF＝b，则a、b满足的数量关系是（ ）
A．a＝2b+3B．a＝2b+2C．a＝2b+1D．a＝2b
【分析】作CM⊥AE，垂足为M，CN⊥BD，垂足为N，在AE上取一点H，使CH＝CF，先证明AF＝FD+FC，FB＝FE+FC，再根据三角形面积之比推出AF＝2BF，列出关系式即可解决问题．
【解答】解：如图，作CM⊥AE，垂足为M，CN⊥BD，垂足为N，在AE上取一点H，使CH＝CF，
∵△ACD，△BCE是等边三角形，
∴CA＝CD，CE＝CB，∠ACD＝∠ECB＝60°，
∴∠ACE＝∠DCB，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠CAE＝∠CDB，AE＝BD，S△ACE＝S△DCB，
∴12⋅AE⋅CM=12⋅BD⋅CN，
∴CM＝CN，
∵CM⊥AE，垂足为M，CN⊥BD，垂足为N，
∴∠CFA＝∠CFB，
∵∠CAE＝∠CDB，可得∠DFA＝∠DCA＝60°，
∴∠DFA＝∠CFA＝∠CFB＝60°，
∵CH＝CF，
∴△CFH是等边三角形，
∴∠FCH＝∠ACD＝60°，CH＝CF＝FH，
∴∠ACH＝∠DCF，
∵CA＝CD，CH＝CF，
∴△ACH≌△DCF（SAS），
∴AH＝DF，
∴AF＝AH+FH＝DF+FC＝a+3，同理可得：BF＝FE+FC＝b+3，
∵S△APCS△PCB=ACAB=2，
∴AF＝2BF，
∴a+3＝2（b+3），
∴a＝2b+3．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质、等边三角形的性质、角平分线的判定定理、三角形面积等知识，熟练掌握以上知识点是关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）.
11．（3分）点P（1，3）关于x轴对称的点坐标为 （1，﹣3）． ．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得点的坐标．
【解答】解：∵点P的坐标为（1，3），
∴P关于x轴的对称点的坐标为（1，﹣3），
故答案为：（1，﹣3）．
【点评】此题主要考查了关于y、x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
12．（3分）多项式x2+2x+m是完全平方式，则m＝ 1 ．
【分析】根据完全平方公式的乘积二倍项和已知平方项先确定出另一个数是1，平方即可．
【解答】解：∵2x＝2×1×mx，
∴m＝1．
故填：1．
【点评】本题考点是对完全平方公式的应用，由乘积二倍项确定做完全平方运算的两个数是求解的关键．
13．（3分）分式方程12x-5=3x的解是 x＝3 ．
【分析】根据解分式方程的方法，方程两边同时乘x（2x﹣5），把分式方程转化为整式方程，解整式方程，求出x的值，再检验即可．
【解答】解：12x-5=3x，
方程两边同时乘x（2x﹣5），得x＝3（2x﹣5），
去括号，得x＝6x﹣15，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入x（2x﹣5）≠0，
∴分式方程的解为x＝3．
故答案为：x＝3．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
14．（3分）计算：4a2（3a+1）＝ 12a3+4a2 ．
【分析】根据单项式乘多项式运算法则化简即可．
【解答】解：4a2（3a+1）＝12a3+4a2．
故答案为：12a3+4a2．
【点评】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是关键．
15．（3分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为 8 ．
【分析】连接AD交EF与点M′，连接AM，由线段垂直平分线的性质可知AM＝MB，则BM+DM＝AM+DM，故此当A、M、D在一条直线上时，MB+DM有最小值，然后依据等腰三角形三线合一的性质可证明AD为△ABC底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长．
【解答】解：连接AD交EF与点M′，连接AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC•AD=12×4×AD＝12，解得AD＝6，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AM＝BM．
∴BM+MD＝MD+AM．
∴当点M位于点M′处时，MB+MD有最小值，最小值6．
∴△BDM的周长的最小值为DB+AD＝2+6＝8．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
16．（3分）如图，AD和CD分别为△ABC的两个外角的平分线，过点D作EF∥AC分别交BA和BC的延长线于点E和F．给出以下结论：①ED＝DF；②AE+CF＝EF；③BD平分∠ABC；④∠ADB+∠CDF＝90°．其中正确的是 ②③④ ．
【分析】由角平分线的定义及等腰三角形的判定与性质可得出答案．
【解答】解：∵AD和CD分别为△ABC的两个外角的平分线，
∴∠EAD＝∠CAD，∠ACD＝∠FCD，
∵EF∥AC，
∴∠EDA＝∠CAD，∠FDC＝∠ACD，
∴∠EAD＝∠EDA，∠FDC＝∠FCD，
∴AE＝DE，DF＝CF，
∴AE+CF＝ED+DF＝EF，
故②正确；
∵AB≠AC，EF∥AC，
∴AE≠CF，
∴ED≠DF，故①错误；
∵AD和CD分别为△ABC的两个外角的平分线，
∴BD平分∠ABC，
故③正确；
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠EAD﹣∠ABD∵∠ACD+∠FCD＝∠ABC+∠BAC，
∴2∠FCD＝2∠ABD+180°﹣2∠EAD，
∴∠CDF＝∠ABD+90°﹣∠EAD，
∴∠ADB+∠CDF＝∠EAD﹣∠ABD+∠ABD+90°﹣∠EAD＝90°，
故④正确，
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤.）
17．（4分）计算：20×|-23|+3-1．
【分析】格局负整数指数幂法则、绝对值的性质、零指数幂法则进行解题即可．
【解答】解：原式＝1×23+13=1．
【点评】本题考查负整数指数幂、绝对值、零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．（4分）如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，求证∠A＝∠C．
【分析】利用SAS证明△AOB≌△COD，根据“全等三角形的对应角相等”即可得证．
【解答】证明：在△AOB和△COD中，
OA=OC∠AOB=∠CODOB=OD，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴∠A＝∠C．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19．（6分）已知x＞3，代数式：A＝2x2﹣8，B＝3x2﹣6x，C＝x3﹣4x2+4x．
（1）因式分解B；
（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
【分析】（1）直接利用提取公因式法即可得出答案；
（2）选A，B分别作为分子、分母，组成一个分式，约分即可（答案不唯一）．
【解答】解：（1）B＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2）；
（2）当A，B分别作为分子、分母时，
2x2-83x2-6x
=2(x+2)(x-2)3x(x-2)
=2x+43x（答案不唯一）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，分式的定义，熟练掌握因式分解的方法和分式的约分是解答的关键．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出B1的坐标；
（2）若在y轴上存在点P，使得△AA1P的面积为4，求点P的坐标．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（2）设点P的坐标为（0，m），根据题意可列方程求出m的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：
由图可得，B1的坐标为（4，5）．
（2）设点P的坐标为（0，m），
∵△AA1P的面积为4，
∴12×4×|m-1|=4，
解得m＝3或﹣1，
∴点P的坐标为（0，3）或（0，﹣1）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
21．（8分）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，连接DE．
（1）若BE＝6，求AB的长；
（2）求证：△CDE是等边三角形．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，BE=12BC=12AB，据此解答即可；
（2）根据等边三角形的性质，BC＝AC，因为BD⊥AC，AE⊥BC，所以CE＝CD，又因为∠C＝60°，所以∠CED＝∠CDE＝60°，即△CDE是等边三角形．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，
∵AE⊥BC，
∴BE=12BC=12AB，
∴AB＝2BE＝2×6＝12；
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠C＝60°，
∵BD⊥AC，AE⊥BC，
∴CE=12BC，CD=12AC，
∴CE＝CD，
∴∠CED＝∠CDE=12（180°﹣60°）＝60°，
即∠CED＝∠CDE＝∠C，
∴△CDE是等边三角形．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，关键是等边三角形判定定理的熟练掌握．
22．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD+BC＝CD．
（1）尺规作图：作∠ADC的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，连接CE．求证：点E是AB的中点．
【分析】（1）作∠ADC的平分线，交AB于点E即可；
（2）证明△ADE≌△BFE（AAS）可得结论．
【解答】（1）解：如图，点E即为所求；
（2）证明：延长DE交CB的延长线于点F．
∵AD∥CB，
∴∠ADE＝∠F，
∵ED平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠F，
∴CD＝CF，
∵AD+BC＝CD，
∴AD＝BF，
∵∠A＝∠EBF，∠AED＝∠BEF，
∴△ADE≌△BFE（AAS），
∴AE＝BE，即点E是AB的中点．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
23．（10分）节能又环保的油电混合动力汽车，既可以完全用油动力行驶，也可以完全用电动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油动力行驶则费用为70元；若完全用电动力行驶，则费用为20元，已知完全用油行驶每千米的费用比完全用电行驶的费用多0.5元．
（1）求完全用电行驶每千米的费用是多少元？
（2）某司机采用油电混合动力从甲地行驶到乙地，若所需费用不超过50元，则汽车至少需要完全用电行驶多少千米？
【分析】（1）设完全用电行驶每千米的费用是x元，则每千米用油费用为（x+0.5）元，根据从甲地行驶到乙地的路程相等列出分式方程，解方程即可；
（2）根据所需费用不超过50元列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设完全用电行驶每千米的费用是x元，则每千米用油费用为（x+0.5）元，
由题意得：70x+0.5=20x，
解得：x＝0.2，
经检验，x＝0.2是原方程的解，且符合题意，
答：完全用电行驶每千米的费用是0.2元；
（2）由（1）可知，汽车行驶中每千米用油费用为0.2+0.5＝0.7（元），甲、乙两地的距离是20÷0.2＝100（千米），
设汽车需要完全用电行驶y千米，
由题意得：0.2y+0.7（100﹣y）≤50，
解得：y≥40，
答：汽车至少需要完全用电行驶40千米．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
24．（12分）如图，从边长为a的正方形ABCD中剪去一个边长为b的正方形CGEF．
（1）若a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；
（2）请根据图中阴影部分面积验证平方差公式；
（3）计算：(1+12)×(1+122)×(1+124)×(1+128)⋯×(1+1232)．
【分析】（1）根据a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）进行计算即可；
（2）利用裁剪拼图得出平方差公式即可；
（3）将原式化为2×（1-12）(1+12)×(1+122)×(1+124)×(1+128)⋯×(1+1232)，再连续利用平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（1）∵a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，即（a+b）（a﹣b）＝21，
∴a+b＝7；
（2）如图，将图1沿着虚线裁剪可以拼成图2的长方形，
图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的图2是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（3）原式＝2×（1-12）(1+12)×(1+122)×(1+124)×(1+128)⋯×(1+1232)
＝2×（1-122）×（1+122）×（1+124）×（1+128）×…×（1+1232）
＝2×（1-124）×（1+124）×（1+128）×…×（1+1232）
＝2×（1-128）×（1+128）×…×（1+1232）
＝2×（1-1264）
＝2-1263．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
25．（12分）在平面直角坐标系中，已知点A（x，0），B（0，y），且x，y满足|x﹣6|+（y﹣2）2＝0．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）如图1，以AB为斜边构造等腰直角△ABC，求点C的坐标；
（3）如图2，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是线段AC上的一点（不与A、C重合），AE⊥BD，垂足为点E，当点D在线段AC上运动时，∠BEC的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值．
【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性质得x﹣6＝0，y﹣2＝0，则x＝6，y＝2，即可解答；
（2）分两种情况，①点C在第一象限时，②点C在第四象限时，过点C作CG⊥y轴于点G，过点A作AF⊥GC于点F，证△CBG≌△ACF（AAS），得BG＝CF，CG＝AF＝OG，即可解决问题；
（3）过点C作CM⊥BD于点M，CN⊥AE于点N，证△BCM≌△ACN（AAS），得CM＝CN，则EC是∠BEN的角平分线，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵|x﹣6|+（y﹣2）2＝0，
∴x﹣6＝0，y﹣2＝0，
∴x＝6，y＝2，
∴A（6，0），B（0，2）；
（2）分两种情况：
①如图1，点C在第一象限时，过点C作CG⊥x轴于点G，过点A作AF⊥GC于点F，
则AF＝OG＝OB+BG＝2+BG，GF＝OA＝6，∠CGB＝∠AFC＝90°，
∴∠BCG+∠CBG＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCG+∠ACF＝90°，
∴∠CBG＝∠ACF，
又∵BC＝CA，
∴△CBG≌△ACF（AAS），
∴BG＝CF，CG＝AF＝OG＝2+BG，
∵CG+CF＝GF＝6，
∴2+BG+BG＝6，
∴BG＝2，
∴OG＝CG＝2+2＝4，
∴点C的坐标为（4，4）；
②如图2，点C在第四象限时，过点C作CG⊥y轴于点G，过点A作AF⊥GC于点F，
同①得：△CBG≌△ACF（AAS），
∴BG＝CF，CG＝AF＝OG＝BG﹣OB＝BG﹣2，
∵CG+CF＝GF＝OA＝6，
∴BG﹣2+BG＝6，
∴BG＝4，
∴OG＝CG＝4﹣2＝2，
∴点C的坐标为（2，﹣2）；
综上所述，点C的坐标为（4，4）或（2，﹣2）；
（3）∠BEC的大小不变，为定值45°，理由如下：
如图3，过点C作CM⊥BD于点M，CN⊥AE于点N，
则∠BMC＝∠ANC＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠BEN＝90°，
∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ADE＝∠BDC，
∴∠CBD＝∠CAE，
∵AC＝BC，
∴△BCM≌△ACN（AAS），
∴CM＝CN，
∴EC是∠BEN的角平分线，
∴∠BEC＝∠BEN=12×90°＝45°，
即∠BEC的大小不变，为定值45°．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，绝对值和偶次方的非负性质，角平分线的判定，分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C．
B
B
D
C
D
A
B
A