2023-2024学年广东省广州市增城区八年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年广东省广州市增城区八年级（上）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是( )
A. 3.2×107B. 3.2×108C. 3.2×10−7D. 3.2×10−8
2.在平面直角坐标系中，点(3,2)关于x轴对称的点的坐标为( )
A. (3,−2)B. (−2,3)C. (2,−3)D. (−3,2)
3.长度分别为a，2，4的三条线段能组成一个三角形，则a的值可能是( )
A. 1B. 2C. 3D. 6
4.下列运算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. (a2)3=a5
C. a10÷a9=a(a≠0)D. a2+a3=a5
5.如图，△ABC≌△DCB，若AC=5，则BD的长为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
6.如图，等腰△ABC中，AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为( )
A. 12
B. 8
C. 15
D. 13
7.如图，在△ABC中，AD，AE分别是BC边上的中线和高，若AE=6，S△ABD=15，则CD的长为( )
A. 5
B. 6
C. 8
D. 10
8.已知y2+my+9是完全平方式，则m=( )
A. ±6B. 6C. ±3D. 3
9.如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形，根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是
( )
A. (a−b)2=a2−2ab+b2B. a(a−b)=a2−ab
C. (a−b)2=a2−b2D. a2−b2=(a+b)(a−b)
10.如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，则∠A与∠1、∠2之间的数量关系是( )
A. 2∠A=∠1−∠2
B. 3∠A=2(∠1−∠2)
C. 3∠A=2∠1−∠2
D. ∠A=∠1−∠2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.四边形的内角和的度数为______ ．
12.若分式2x−1有意义，则x的取值范围是 ．
13.计算：2−1=______．
14.已知x+y=6，x−y=7，则x2−y2= ______ ．
15.若5m=8，5n=4，则5m+n= ______ ．
16.如图，∠AOB=30°，M，N分别是OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，如果记∠AMP=α，∠ONQ=β，当MP+PQ+QN最小时，则α与β的数量关系是 ．
三、计算题：本大题共1小题，共4分。
17.因式分解：ab2−4a．
四、解答题：本题共8小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题4分)
如图，AB=AD，CB=CD.求证：∠B=∠D．
19.(本小题6分)
如图在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,4)，B(4,2)，C(3,5)，请回答下列问题：
(1)作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
(2)求△A1B1C1的面积．
20.(本小题6分)
先化简，再求值：a2−4a2÷a2+2aa2，其中a=(π−1)0．
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE/​/BC，交AC于点E．
(1)求证：DE=CE．
(2)若∠CDE=35°，求∠A的度数．
22.(本小题10分)
某中学为了创设“书香校园”，准备购买A，B两种书架，用于放置图书．在购买时发现，A种书架的单价比B种书架的单价多20元，用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同．
(1)求A，B两种书架的单价各是多少元？
(2)学校准备购买A，B两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个A种书架？
23.(本小题10分)
如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°．
(1)尺规作图：作∠ACB的角平分线，交AB于点D(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)所作的图形中，延长CA至点E，使AE=AD，连接BE.求证：CD=BE，且CD⊥BE．
24.(本小题12分)
例如：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．
解：因为a+b=3，所以(a+b)2=9，即：a2+2ab+b2=9，
又因为ab=1，所以a2+b2=7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若x+y=8，x2+y2=40，求xy的值；
(2)填空：若(4−x)x=5，则(4−x)2+x2=______；
(3)如图所示，已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE=1，CF=2，长方形EMFD的面积是12，分别以MF、DF为边作正方形MFRN和正方形GFDH，则x的值为______．
25.(本小题12分)
如图1，图2，点O是线段AC的中点，OB⊥AC，OA=9．
(1)如图1，若∠ABO=30°，求AB的长；
(2)如图1，在(1)的条件下，若点D在射线AC上，点D在点C右侧，且△BDQ是等边三角形，QC的延长线交直线OB于点P，求PC的长度；
(3)如图2，在(1)的条件下，若点M在线段BC上，△OMN是等边三角形，且点M沿着线段BC从点B运动到点C，点N随之运动，求点N的运动路径的长度．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．与绝对值较大数的科学记数法不同的是n为负整数，n的绝对值是由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数，据此解答即可．
【解答】
解：0.00000032=3.2×10−7；
故选：C．
2.【答案】A
【解析】解：点(3,2)关于x轴对称的点的坐标为(3,−2)．
故选：A．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了三角形的三边关系，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
根据三角形的三边关系得出4−2【解答】
解：由三角形的三边关系得：4−2即2即符合的只有3．
故选C．
4.【答案】C
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，故此选项不符合题意；
B、(a2)3=a6，故此选项不符合题意；
C、a10÷a9=a(a≠0)，故此选项符合题意；
D、a2与a3不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵△ABC≌△DCB，AC=5，
∴BD=AC=5，
故选：D．
根据全等三角形的对应边相等解答即可．
本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴△BEC周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，
∵腰长AB=8，
∴AC=AB=8，
∴△BEC周长=8+5=13．
故选：D．
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，然后求出△BEC周长=AC+BC，再根据等腰三角形两腰相等可得AC=AB，代入数据计算即可得解．
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形两腰相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵AD是BC边上的中线，
∴S△ABD=S△ACD=15，
∵AE⊥CD，
∴12CD⋅AE=15，
∴12CD⋅6=15，
解得：CD=5，
故选：A．
根据三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形可得S△ABD=S△ACD=15，然后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．
本题考查了三角形的面积，准确熟练地进行计算是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】此题考查了完全平方式的理解及应用能力，关键是能准确把握完全平方式的特征，及答案的不唯一性．
根据完全平方式是a2±2ab+b2的形式，可确定出此题的答案．
解：∵y2+my+9=y2+my+32，
∴当y2+my+9是完全平方式时，
m=±2×1×3=±6．
故选：A．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示阴影部分的面积是关键．
利用正方形的面积公式和长方形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．
【解答】
解：第一个图形阴影部分的面积是a2−b2，
第二个图形的面积是(a+b)(a−b)．
则a2−b2=(a+b)(a−b)．
故选：D．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，翻折变换，
根据折叠的性质可得∠A′=∠A，根据平角等于180°用∠1表示出∠ADA′，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠2与∠A′表示出∠3，然后利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．
【解答】
解：∵△A′DE是△ADE沿DE折叠得到
∴∠A′=∠A
又∵∠ADA′=180°−∠1，∠3=∠A′+∠2
∴∠A+∠ADA′+∠3=180°
即∠A+180°−∠1+∠A′+∠2=180°
整理得，2∠A=∠1−∠2
故选A．
11.【答案】360°
【解析】解：(4−2)×180°=360°，
故答案为：360°．
根据多边形内角和定理：(n−2)⋅180 (n≥3且n为整数)，求解即可．
本题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：(n−2)⋅180 (n≥3且n为整数)．
12.【答案】x≠1
【解析】【分析】
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
根据分式有意义的条件可知x−1≠0，再解不等式即可．
【解答】
解：由题意得：x−1≠0，
解得：x≠1．
故答案为：x≠1．
13.【答案】12
【解析】【分析】
本题考查负整数指数幂的运算．幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算．
【解答】
解：2−1=121=12.故答案为12．
根据幂的负整数指数运算法则进行计算即可．
14.【答案】42
【解析】解：∵x+y=6，x−y=7，
∴x2−y2=(x+y)(x−y)=6×7=42，
故答案为：42．
根据平方差公式把x2−y2写成(x+y)(x−y)，然后代入求值即可．
本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
15.【答案】32
【解析】解：∵5m=8，5n=4，
∴5m+n=5m⋅5n=8×4=32，
故答案为：32．
把5m+n化为5m⋅5n，然后把已知条件代入计算即可．
本题考查了同底数幂的乘法，熟知同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键．
16.【答案】α−β=90°
【解析】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，
∵∠1=∠O+∠OPM，
∴∠OPM=∠1−∠O=∠1−30°，
∵∠OPM=∠OPM′，∠OPM′=∠QPN，
∴∠QPN=∠PQO+30°
∵∠3=∠O+∠2=30°+∠2，∠NQN′=∠QPN+∠2=∠1−30°+∠2，∠NQN′=2∠3，
∴∠1−30°+∠2=2(30°+∠2)，
∴∠1−∠2=90°，
即α−β=90°．
故答案为：α−β=90°．
如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，根据外角的性质得到∠1=∠O+∠OPM，∠OPM=∠1−∠O=∠1−30°，由轴对称的性质得到∠OPM=∠OPM′，∠OPM′=∠QPN，于是得到∠QPN=∠1+30°，由于∠3=∠O+∠2=30°+∠2，∠NQN′=∠QPN+∠2=∠1−30°+∠2，∠NQN′=2∠3，即可得到结论．
本题考查了轴对称−最短路线问题，三角形的外角的性质，正确的作出图形是解题的关键．
17.【答案】解：ab2−4a
=a(b2−4)
=a(b+2)(b−2)．
【解析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．先提公因式，然后再利用平分差公式继续分解即可．
18.【答案】证明：在△ABC和△ADC中，
AB=AD CB=CD AC=AC ，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠B=∠D．
【解析】由SSS证明△ABC≌△ADC，得出对应角相等即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所示；

(2)△A1B1C1的面积为：3×3−12×1×2−12×1×3−12×2×3=9−1−1.5−3=3.5．
【解析】(1)找出△ABC关于x轴对称的各点，据此得出△A1B1C1；
(2)依据割补法进行计算，即可得出△A1B1C1的面积．
本题主要考查了作图−轴对称变换，依据轴对称的性质得出对称点的位置是解决问题的关键．
20.【答案】解：原式=(a+2)(a−2)a2⋅a2a(a+2)
=a−2a．
当a=(π−1)0=1时，原式=1−21=−1．
【解析】先把分子因式分解，将除法变成乘法，再约分可得最简结果，根据零指数幂求出a的值，代入计算即可．
本题考查分式的化简求值、零指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD=∠ECD．
∵DE/​/BC，
∴∠EDC=∠BCD，
∴∠EDC=∠ECD，
∴DE=CE．
(2)解：∵∠ECD=∠EDC=35°，
∴∠ACB=2∠ECD=70°．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠A=180°−70°−70°=40°．
【解析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质以及角平分线，解题的关键是：(1)根据平行线的性质结合角平分线的定义找出∠EDC=∠ECD；(2)利用角平分线的定义结合等腰三角形的性质求出∠ACB=∠ABC=70°．
(1)根据角平分线的定义可得出∠BCD=∠ECD，由DE/​/BC可得出∠EDC=∠BCD，进而可得出∠EDC=∠ECD，再利用等角对等边即可证出DE=CE；
(2)由(1)可得出∠ECD=∠EDC=35°，进而可得出∠ACB=2∠ECD=70°，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出∠A的度数．
22.【答案】解：(1)设B种书架的单价为x元，
根据题意，得600x+20=480x．
解得x=80．
经检验：x=80是原分式方程的解．
∴x+20=100．
答：A种书架单价为100元，B种书架单价为80元．
(2)设准备购买m个A种书架，根据题意，
得100m+80(15−m)≤1400．
解得m≤10．
答：最多可购买10个A种书架．
【解析】(1)设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为(x+20)元，根据数量=总价÷单价结合用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设准备购买m个A种书架，则购买B种书架(15−m)个，根据题意列出不等式并解答．
本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
23.【答案】解：(1)如图，CD即为所作，
(2)如图，延长CD，交BE于F，
因为△ABC是等腰直角三角形，
所以AB=AC，∠EAB=∠BAC=90∘，
又因为AE=AD，
在△BAE和△CAD中，
AB=AC∠EAB=∠DAC=90°AE=AD,
所以△BAE≌△CAD(SAS)，
所以CD=BE，∠ABE=∠ACD，
因为∠ABE+∠E=90∘，
所以∠ECF+∠E=90∘，
所以∠EFC=90∘，即CD⊥BE．

【解析】本题考查基本作图—作角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，解题的关键是掌握用尺规作图的步骤．
(1)利用基本尺规作图作角平分线即可；
(2)证明△BAE≌△CAD解题即可．
24.【答案】6 5
【解析】解：(1)∵x+y=8，
∴(x+y)2=64，即x2+2xy+y2=64，
又∵x2+y2=40，
∴2xy=24，
∴xy=12；
(2)(4−x)2+x2=(4−x+x)2−2(4−x)x
=16−2×5
=6，
故答案为：6；
(3)答案为：5；
由题意得(x−1)(x−2)=12，
设x−1=a，x−2=b，则ab=12，
∴a−b=(x−1)−(x−2)=1，
又∵(a+b)2=(a−b)2+4ab，
∴[(x−1)+(x−2)]2=[(x−1)−(x−2)]2+4(x−1)(x−2)，
∴(2x−3)2=1+48，
∴2x−3=±7，
∴x=5或x=−2(舍)，
故答案为5．
(1)根据(x+y)2=x2+y2+2xy，代入计算即可；
(2)由于(4−x)+x=4，将(4−x)2+x2转化为(4−x+x)2−2(4−x)x，再代入计算即可；
(3)根据面积公式可得(x−1)(x−2)=12，设x−1=a，x−2=b，再根据(a+b)2=(a−b)2+4ab，代入得出(2x−3)2=49，进而计算出x的值．
本题考查完全平方公式，多项式乘以多项式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
25.【答案】解：(1)∵∠ABO=30°，OB⊥AC，
∴∠BAO=60°，
∵O是线段AC中点，OB⊥AC，
∴BA=BC，又∠BAO=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=2OA=18；
(2)∵△ABC和△BDQ为等边三角形，
∴BA=BC，BD=BQ，∠BAC=60°，∠DBQ=60°，
∴∠ABD=∠CBQ，
在△BAD和△BCQ中，
BA=BC∠ABD=∠CBQBD=BQ，
∴△BAD≌△BCQ(SAS)，
∴∠BCQ=∠BAD=60°，
∵∠BCA=60°，
∴∠OCP=60°，
∵∠POC=90°，
∴∠OPC=30°，
∴PC=2OC=18；
(3)取BC的中点H，连接OH，连接CN，如图2，

则OH=12BC=BH=CH，
∴△HOC为等边三角形，
∴∠HOC=∠OHC=60°，OH=OC，
当M在BH上时，∠MON=60°，∠HOC=60°，
∴∠MOH=∠NOC，
在△OMH和△ONC中，
OM=ON∠MOH=∠NOCOH=OC，
∴△OMH≌△ONC(SAS)，
∴∠OCN=∠OHM=120°，
当点M与点B重合时，如图3，

在△OBC和△N′BC中，
BO=BN′∠OBC=∠N′BC=30°BC=BC，
∴△OBC≌△N′BC(SAS)，
∴∠BCN′=∠BCO=60°，
∴∠OCN′=120°，即C、N、N′在同一条直线上，
∴CN′=OC=9，
∴点N从起点到C做直线运动路径为9，
当M在HC上时，△OCN为等边三角形，
∴CN=OC=9，
∴点N从C到终点做直线运动路径长为9，
综上所述，N的路径长度为：9+9=18．
【解析】(1)根据线段垂直平分线的性质得到BA=BC，根据等边三角形的判定定理证明△ABC是等边三角形，进而得出答案；
(2)证明△BAD≌△BCQ，根据全等三角形的性质得到∠BCQ=∠BAD=60°，根据含30°的直角三角形的性质计算即可；
(3)取BC的中点H，连接OH，连接CN，分M在BH上、M在HC上两种情况，根据等边三角形的性质解答即可．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．