2022-2023学年广东省广州市增城区八年级上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份2022-2023学年广东省广州市增城区八年级上学期期末数学试卷（含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）KN95型口罩可以保护在颗粒物浓度很高的空间中工作的人不被颗粒物侵害，也可以帮助人们预防传染病．“KN95”表示此类型的口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.0000003m的非油性颗粒．其中，0.0000003用科学记数法表示为（ ）
A．3×10﹣6B．3×10﹣7C．0.3×10﹣6D．0.3×10﹣7
3．（3分）分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x＝2C．x≠2D．x＜2
4．（3分）在下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．1，2，4B．1，4，9C．3，4，5D．4，5，9
5．（3分）如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠ACB＝90°，则∠E的度数为（ ）
A．20°B．30°C．50°D．70°
6．（3分）下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4B．（b2）3＝b6
C．2x•2x2＝2x3D．（m﹣n）2＝m2﹣n2
7．（3分）如图，把一块含45°角的三角板的直角顶点靠在长尺（两边a∥b）的一边b上，若∠1＝30°，则三角板的斜边与长尺的另一边a的夹角∠2的度数为（ ）
A．10°B．15°C．30°D．35°
8．（3分）化简的结果是（ ）
A．a﹣bB．a+bC．D．
9．（3分）在△ABC中，∠A＝80°，若△ABC为等腰三角形，则∠B的度数为（ ）
A．80°或50°B．80°或20°
C．50°或20°D．80°或50°或20°
10．（3分）如图，点A，A1，A2，A3，…在同一直线上，AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，…，若∠B的度数为x，则∠AnBnAn+1的度数为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．）
11．（3分）计算：4ab÷2a＝ ．
12．（3分）五边形的内角和为 度．
13．（3分）分式方程的解为 ．
14．（3分）因式分解：3a2﹣6ab＝ ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝ ．
16．（3分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数是 ．
三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤．）
17．（4分）计算：|﹣1|+3﹣2﹣（π﹣2）0．
18．（6分）如图，AB⊥BC，AD⊥CD，垂足分别为B，D，∠1＝∠2．求证：△ABC≌△ADC．
19．（6分）如图，△ABC在平面直角坐标系中．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）若P（a，b）是△ABC内部一点，点P关于y轴的对称点为P'，写出点P'的坐标．
20．（6分）先化简，再求值．3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1），其中2a2+3a＝6．
21．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：作AB边上垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E；（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）在（1）的条件下，连接BD，若BC＝3cm，AC＝4cm，求△BCD的周长．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∠CAB的平分线交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．
（1）求∠CAD的大小；
（2）若DE＝1，求BC的长．
23．（10分）戴口罩可以有效降低感染新型冠状病毒的风险．某学校在本学期开学初为教师购买A、B两种口罩，经过市场调查，A的单价比B的单价少2元，花费300元购买A种口罩和花费900元购买B种口罩的个数相等．
（1）求A、B两种口罩的单价；
（2）若学校需购买两种口罩共600个，总费用不超过1200元，求该校本次购买A种口罩最少有多少个？
24．（12分）如图1，已知A（a，b），AB⊥y轴于B且满足|a﹣2|+（b﹣2）2＝0．
（1）求点A的坐标；
（2）如图2，若点C（0，1），连接AC，当线段CD⊥AC，垂足为C，且CD＝AC时，求点D的坐标；
（3）如图3，连接AO，分别以AB，AO为边作等边△ABM和△AON，连接MN，试判定线段AM和MN的数量关系和位置关系，并说明理由．
25．（12分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝15°，点D是△ABC内一点，且满足∠ABD＝45°，点E悬BD延长线上的一点，AE＝AB．
（1）求∠ADE的度数；
（2）求证：DE＝AD+BD；
（3）如图2，BP平分∠ABE，EF⊥BP，垂足为F，若EF＝3，求BP的长．
2022-2023学年广东省广州市增城区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分．下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）
1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）KN95型口罩可以保护在颗粒物浓度很高的空间中工作的人不被颗粒物侵害，也可以帮助人们预防传染病．“KN95”表示此类型的口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.0000003m的非油性颗粒．其中，0.0000003用科学记数法表示为（ ）
A．3×10﹣6B．3×10﹣7C．0.3×10﹣6D．0.3×10﹣7
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000003用科学记数法表示为：3×10﹣7．
故选：B．
【点评】本题考查了科学记数法，用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x＝2C．x≠2D．x＜2
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意，得
x﹣2≠0，解得x≠2，
故选：C．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．
4．（3分）在下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．1，2，4B．1，4，9C．3，4，5D．4，5，9
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：A、1+2＝3＜4，不能组成三角形，故此选项错误；
B、4+1＝5＜9，不能组成三角形，故此选项错误；
C、3+4＝7＞5，能组成三角形，故此选项正确；
D、5+4＝9，不能组成三角形，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
5．（3分）如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠ACB＝90°，则∠E的度数为（ ）
A．20°B．30°C．50°D．70°
【分析】在△ABC中由三角形内角和180°可求出∠B，由全等三角形对应角相等可得结果．
【解答】解：在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∵∠A＝70°，∠ACB＝90°，
∴∠B＝180°﹣70°﹣90°＝20°，
又∵△ABC≌△DEF，
∴∠E＝∠B＝20°．
故选：A．
【点评】本题考查三角形内角和与全等三角形的性质，熟记相应的概念是解题的关键．
6．（3分）下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4B．（b2）3＝b6
C．2x•2x2＝2x3D．（m﹣n）2＝m2﹣n2
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方法则，单项式乘以单项式法则及完全平方公式分别计算并判断．
【解答】解：A、a2+a2＝2a2，故原计算不符合题意；
B、（b2）3＝b6，故原计算符合题意；
C、2x⋅2x2＝4x3，故原计算不符合题意；
D、（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2，故原计算不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了正式的计算，正确掌握合并同类项法则，幂的乘方法则，单项式乘以单项式法则及完全平方公式是解题的关键．
7．（3分）如图，把一块含45°角的三角板的直角顶点靠在长尺（两边a∥b）的一边b上，若∠1＝30°，则三角板的斜边与长尺的另一边a的夹角∠2的度数为（ ）
A．10°B．15°C．30°D．35°
【分析】根据平行线性质求出∠4，得出∠5的度数，根据等腰直角三角形得出∠5＝45°，根据三角形的外角性质求出即可．
【解答】解：
∵a∥b，
∴∠1＝∠4＝30°，
∵∠4＝∠3，
∴∠3＝30°，
∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠5＝∠A＝45°，
∵∠2+∠3＝∠5，
∴∠2＝45°﹣30°＝15°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰直角三角形，平行线性质，三角形的外角性质等知识点，关键是求出∠5和∠3的度数．
8．（3分）化简的结果是（ ）
A．a﹣bB．a+bC．D．
【分析】先通分，再计算，然后化简，即可求解．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了异分母分式相加减，熟练掌握异分母分式相加减法则是解题的关键．
9．（3分）在△ABC中，∠A＝80°，若△ABC为等腰三角形，则∠B的度数为（ ）
A．80°或50°B．80°或20°
C．50°或20°D．80°或50°或20°
【分析】根据等腰三角形的性质分已知角是顶角和底角计算即可．
【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，∠A＝80°，
∴当∠A＝80°是底角时，顶角＝180°﹣（80°+80°）＝20°，
∴∠B＝80°或∠B＝20°，
当∠A＝80°是顶角时，∠B＝∠C＝（180°﹣80°）÷2＝50°，
综上所述，∠B的度数为80°或50°或20°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，准确计算是解题的关键．
10．（3分）如图，点A，A1，A2，A3，…在同一直线上，AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，…，若∠B的度数为x，则∠AnBnAn+1的度数为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠B1A1A2，∠B2A2A3及∠B3A3A4的度数，找出规律即可得出∠AnBnAn+1的度数．
【解答】解：在△ABA1中，∠B＝x，AB＝A1B，
∴∠BAA1＝（180°﹣x），
∵A1A2＝A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，
∴∠B1A1A2＝∠BA1A＝×（180°﹣x）＝（180°﹣x）；
同理可得∠AnAnBn+1＝×（180°﹣x）＝（180°﹣x）．
故选：C．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠B1A1A2，∠B2A2A3及∠B3A3A4的度数，找出规律是解答此题的关键．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．）
11．（3分）计算：4ab÷2a＝ 2b ．
【分析】根据单项式除以单项式法则运算即可．
【解答】解：4ab÷2a＝2b，
故答案为：2b．
【点评】本题考查单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式法则是解题的关键．
12．（3分）五边形的内角和为 540 度．
【分析】n边形内角和公式为（n﹣2）180°，把n＝5代入可求五边形内角和．
【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°．
故答案为：540．
【点评】本题考查多边形的内角和计算公式，解答时要会根据公式进行正确运算和数据处理．
13．（3分）分式方程的解为 x＝3 ．
【分析】先去分母化为整式方程，解整式方程，检验即可．
【解答】解：，
方程两边都乘以x（x+3）约去分母得：
x+3＝2x，
解这个整式方程得x＝3，
检验：当x＝3时，x（x+3）≠0，
∴x＝3是原分式方程的解．
故答案为：x＝3．
【点评】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤是解题关键．
14．（3分）因式分解：3a2﹣6ab＝ 3a（a﹣2b） ．
【分析】原式提取公因式3a进行因式分解即可．
【解答】解：3a2﹣6ab＝3a（a﹣2b）．
故答案为：3a（a﹣2b）．
【点评】本题主要考查了因式分解—提公因式法，找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝ 70° ．
【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠DAC+∠ACF＝（∠B+∠B+∠1+∠2）；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．
【解答】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠ACF；
又∵∠B＝40°（已知），∠B+∠1+∠2＝180°（三角形内角和定理），
∴∠DAC+∠ACF＝（∠B+∠2）+（∠B+∠1）＝（∠B+∠B+∠1+∠2）＝110°（外角定理），
∴∠AEC＝180°﹣（∠DAC+∠ACF）＝70°．
故答案为：70°．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练应用角平分线的性质是解题关键．
16．（3分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数是 120° ．
【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN+∠ANM＝2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于点M，交CD于点N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠DAB＝120°，
∴∠HAA′＝60°，
∴∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝60°，
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×60°＝120°，
故答案为：120°．
【点评】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．
三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤．）
17．（4分）计算：|﹣1|+3﹣2﹣（π﹣2）0．
【分析】先去绝对值，计算负整数指数幂和零指数幂，再进行加减计算．
【解答】解：原式＝＝．
【点评】本题考查去绝对值，零指数幂，负整数指数幂．熟练掌握零指数幂，负整数指数幂的法则，是解题的关键．
18．（6分）如图，AB⊥BC，AD⊥CD，垂足分别为B，D，∠1＝∠2．求证：△ABC≌△ADC．
【分析】根据垂直得出∠B＝∠D＝90°，根据AAS证△ABC≌△ADC即可．
【解答】证明：∵AB⊥BC，AD⊥CD，
∴∠B＝∠D＝90°，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（AAS）．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
19．（6分）如图，△ABC在平面直角坐标系中．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）若P（a，b）是△ABC内部一点，点P关于y轴的对称点为P'，写出点P'的坐标．
【分析】（1）根据轴对称的性质得到点A1、B1、C1，顺次连线即可得到△A1B1C1；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此求解即可．
【解答】解：（1）如图：
（2）P（a，b）是△ABC内部一点，点P关于y轴的对称点为P'，
∴P'（﹣a，b）．
【点评】此题考查了轴对称作图，轴对称的性质，确定直角坐标系中点的坐标，正确掌握轴对称的性质是解题的关键．
20．（6分）先化简，再求值．3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1），其中2a2+3a＝6．
【分析】先根据多项式混合运算法则计算，将多项式化简，再将2a2+3a＝6整理体代入计算即可．
【解答】解：3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）
＝6a2+3a﹣（4a2﹣1）
＝6a2+3a﹣4a2+1
＝2a2+3a+1，
∵2a2+3a＝6，
∴原式＝6+1＝7．
【点评】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，平方差公式是解题的关键．
21．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：作AB边上垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E；（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）在（1）的条件下，连接BD，若BC＝3cm，AC＝4cm，求△BCD的周长．
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线即可；
（2）先根据勾股定理计算出AC＝4，再利用线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，则可把△BCD的周长转为AC与BC的和，从而达到解决问题的目的．
【解答】解：（1）如图；
（2）∵DE为AB的中垂线，
∴DA＝DB，
在Rt△ABC中，∵BC＝3cm，AC＝4cm，
∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝BC+AC＝3+4＝7（cm）．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图．也考查了线段垂直平分线的性质．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∠CAB的平分线交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．
（1）求∠CAD的大小；
（2）若DE＝1，求BC的长．
【分析】（1）根据三角形内角和定理及角平分线的性质得出∠BAC＝60°，DE＝CD，再由全等三角形的判定和性质求解即可；
（2）根据角平分线的性质及含30度角的直角三角形的性质得出DC＝DE＝1，BD＝2DE＝2，即可求解
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，DE⊥AB，∠CAB的平分线交BC于点D，∠B＝30°，
∴DE＝CD，∠BAC＝60°，
在Rt△AED与Rt△ACD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），
∴；
（2）∵DE＝1，∠B＝30°，
∴DC＝DE＝1，BD＝2DE＝2，
∴BC＝BD+DC＝3．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
23．（10分）戴口罩可以有效降低感染新型冠状病毒的风险．某学校在本学期开学初为教师购买A、B两种口罩，经过市场调查，A的单价比B的单价少2元，花费300元购买A种口罩和花费900元购买B种口罩的个数相等．
（1）求A、B两种口罩的单价；
（2）若学校需购买两种口罩共600个，总费用不超过1200元，求该校本次购买A种口罩最少有多少个？
【分析】（1）根据等量关系列方程求解即可；
（2）根据题意列不等式求解即可．
【解答】解：（1）设B种口罩x元，A种口罩（x﹣2）元
依题意得：，
解得x＝3，
经检验，x＝3是原分式方程的解，
那么x﹣2＝1，
答：A种口罩1元，B种口罩3元；
（2）设本次购买A种口罩有m个，则B种口罩有（600﹣m）个，
依题意得：1×m+3×（600﹣m）≤1200，
解得m≥300，
答：该校本次购买A种口罩最少有300个．
【点评】此题考查分式方程中的实际问题，易错点是分式方程漏掉检验根是否有意义，解题关键是明确对应的数量关系列方程和不等式．
24．（12分）如图1，已知A（a，b），AB⊥y轴于B且满足|a﹣2|+（b﹣2）2＝0．
（1）求点A的坐标；
（2）如图2，若点C（0，1），连接AC，当线段CD⊥AC，垂足为C，且CD＝AC时，求点D的坐标；
（3）如图3，连接AO，分别以AB，AO为边作等边△ABM和△AON，连接MN，试判定线段AM和MN的数量关系和位置关系，并说明理由．
【分析】（1）利用非负性，求出a，b的值，即可得到点A的坐标；
（2）分情况讨论，根据全等三角形的判定和性质分析求解；
（3）证明△ABO≌△AMN，得到∠AMN＝∠ABO＝90°，MN＝OB，根据AB＝OB＝AM，得到MN＝AM，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵|a﹣2|+（b﹣2）2＝0，|a﹣2|≥0，（b﹣2）2≥0，
∴a﹣2＝0，b﹣2＝0，
∴a＝2，b＝2；
∴A（2，2）；
（2）①过点D作DE⊥y轴，交y轴于点E，
∵A（2，2），AB⊥y，
∴B（0，2），
∴AB＝2，
∵C（0，1），
∴OC＝1，BC＝OB﹣OC＝1，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD＝∠ABO＝∠CED＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，∠ACB+∠ECD＝90°，
∴∠BAC＝∠ECD，
又∵CD＝AC，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴CE＝AB＝2，BC＝DE＝1，
∴OE＝CE﹣OC＝1，
∴D（1，﹣1）；
②过点D作DF⊥y轴，交y轴于点F，
∵A（2，2），AB⊥y，
∴B（0，2），
∴AB＝2，
∵C（0，1），
∴OC＝1，BC＝OB﹣OC＝1，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD＝∠ABO＝∠CED＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，∠ACB+∠FCD＝90°，
∴∠BAC＝∠FCD，
又∵CD＝AC，
∴△ABC≌△CFD（AAS），
∴CF＝AB＝2，BC＝DF＝1，
∴OF＝CF+OC＝3，
∴D（﹣1，3）；
综上，点D的坐标为（1，﹣1）或（﹣1，3）
（3）AM＝MN，AM⊥MN；理由如下：
∵△ABM和△AON为等边三角形，
∴AB＝AM，AO＝AN，∠BAM＝∠OAN，
∴∠BAO＝∠NAM＝60°﹣∠OAM，
∴△ABO≌△AMN（SAS），
∴OB＝MN，∠AMN＝∠ABO，
由（2）知AB＝OB＝2，∠ABO＝90°，
∴AB＝MN，∠AMN＝90°，
∴AM＝MN，AM⊥MN．
【点评】本题考查坐标与图形，同时考查了非负性，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质．熟练掌握非负性，证明三角形全等，是解题的关键．
25．（12分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝15°，点D是△ABC内一点，且满足∠ABD＝45°，点E悬BD延长线上的一点，AE＝AB．
（1）求∠ADE的度数；
（2）求证：DE＝AD+BD；
（3）如图2，BP平分∠ABE，EF⊥BP，垂足为F，若EF＝3，求BP的长．
【分析】（1）利用三角形外角的定义求解即可；
（2）在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，证明△ABD≌△AEM（AAS），可得BD＝ME，结合图形即可证得结论；
（3）如图2延长EF交BA的延长线于点N，证明∠BAE＝90°，再证明：Rt△ANE≌Rt△APB（ASA），可得：BP＝NE，再证明BF是△BEN的中线，从而可得答案．
【解答】解：（1）∵∠BAD＝15°，∠ABD＝45°，
∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°；
（2）如图1，在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，
∵∠ADE＝60°，DM＝AD，
∴△ADM是等边三角形，
∴∠ADB＝∠AME＝120°
∵AE＝AB，
∴∠ABD＝∠E，
∴△ABD≌△AEM（AAS），
∴BD＝ME，
∵DE＝DM+ME，
∴DE＝AD+BD；
（3）延长EF交BA的延长线于点N，
由（2）及图1得△ABD≌△AEM，△ADM是等边三角形，∠MAE＝∠BAD＝15°，∠DAM＝60°，
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAM+∠MAE＝90°，
∵EF⊥BP，
∴∠BAE＝∠PFE＝90°，
∵∠APB＝∠FPE，
∴∠ABF＝∠NEA，又AB＝AE，
∴Rt△ANE≌Rt△APB（ASA），
∴BP＝EN，
∵BF既是△BEN的角平分线又是高，
∴∠N＝∠BEN，
∴BF是△BEN的中线，
即：，
∵EF＝3，
∴BP＝EN＝6．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，作出适当的辅助线构建三角形的全等是解题的关键．
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