福建省永春第一中学高二上学期期末考试数学试卷-A4

这是一份福建省永春第一中学高二上学期期末考试数学试卷-A4，共8页。
一．单选选择题（每小题5分，共40分）
1.中国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之(等差数列)，上三人先入，得金四斤，持出；下四人后入，得金三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给．则第一等人(得金最多者)得金斤数是( )
A.eq \f(37,26) B.eq \f(37,27)
C.eq \f(52,39) D.eq \f(56,39)
2.已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)等于( )
A．－1 B．0 C．2 D．4
3.设曲线f(x)＝aex＋b和曲线g(x)＝cs eq \f(πx,2)＋c在它们的公共点M(0,2)处有相同的切线，则b＋c－a的值为( )
A．0 B．π C．－2 D．3
4.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，当x>0时，f′(x)－eq \f(fx,x)>0，若a＝2f(1)，b＝f(2)，c＝4f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，则a，b，c的大小关系是( )
A．c0)的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O为坐标原点，若( )
A．|F1F2|＝2|MO|，则eq \f(1,e\\al(2,1))＋eq \f(1,e\\al(2,2))＝eq \r(2)
B．|F1F2|＝2|MO|，则eq \f(1,e\\al(2,1))＋eq \f(1,e\\al(2,2))＝2
C．|F1F2|＝4|MF2|，则e1e2的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(3,2)))
D．|F1F2|＝4|MF2|，则e1e2的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，2))
填空题（每小题5分，共15分）
12.设Tn为正项等比数列{an}(公比q≠1)前n项的积，若T2 015＝T2 021，则eq \f(lg3a2 019,lg3a2 021)＝________.
13.已知等比数列{an}满足：a1＋a2＝20，a2＋a3＝80.数列{bn}满足bn＝lg2an，其前n项和为Sn，若eq \f(bn,Sn＋11)≤λ恒成立，则λ的最小值为________．
14.已知函数f(x)＝2ln x，g(x)＝x＋2，若f(x1)＝g(x2)，则x1－x2的最小值为______．
四．解答题（共77分）
15.（13分）已知等比数列{an}的公比q>1，a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差数列，数列{anbn}的前n项和为eq \f(2n－1·3n＋1,2).
(1)分别求出数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的前n项和为Sn，∀n∈N*，Sn≤m恒成立，求实数m的最小值．
16.（13分）已知函数f(x)＝xex－x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当x>0时，f(x)－ln x≥1.
17.（15分）设函数f(x)＝ln x＋eq \f(m,x)，m∈R.
(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；
(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－eq \f(x,3)零点的个数．
18.（17分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，CD⊥平面PAD，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点．
(1)求证：PO⊥平面ABCD；
(2)求平面EFG与平面ABCD夹角的大小；
(3)在线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成的角为eq \f(π,6)，若存在，求线段PM的长度；若不存在，请说明理由．
19.（17分）已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),3)，点E，F分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O，且△EOF的面积为eq \r(2).
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在直线l，使得l与椭圆C相交于A，B两点，且点F恰为△EAB的垂心？若存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由．
永春一中高二年期末考试数学试卷参考答案（2025.01）
一．单选选择题（每小题5分，共40分）
1.A 2.B 3.D 4.B 5.B 6.C 7.A 8.D
二．多项选择题（每小题6分，共18分）
9.ABC 10.AD 11.BD
三．填空题（每小题5分，共15分）
12.eq \f(1,5) 13.eq \f(6,23) 14.4－2ln 2
四．解答题（共77分）
15.(1)因为a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差数列，
所以2a2＝a1＋a3－8，
即2a1q＝a1＋a1q2－8，所以q2－2q－3＝0，
所以q＝3或q＝－1，又q>1，所以q＝3，
所以an＝2·3n－1(n∈N*)．
因为a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝eq \f(2n－1·3n＋1,2)，
所以a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝eq \f(2n－3·3n－1＋1,2)(n≥2)，
两式相减，得anbn＝2n·3n－1(n≥2)，
因为an＝2·3n－1，
所以bn＝n(n≥2)，
当n＝1时，由a1b1＝2及a1＝2，得b1＝1(符合上式)，所以bn＝n(n∈N*)．
(2)因为数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是首项为eq \f(1,2)，公比为eq \f(1,3)的等比数列，
所以Sn＝eq \f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))n)),1－\f(1,3))＝eq \f(3,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))n))0，g(x)单调递增，
又因为g(0)＝1，
所以当x0，
综上可知，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
(2)证明 要证f(x)－ln x≥1，
即证xex－x－ln x≥1，
即证ex＋ln x－(x＋ln x)≥1，
令t＝x＋ln x，易知t∈R，待证不等式转化为
et－t≥1.
设u(t)＝et－t，则u′(t)＝et－1，
当t0，
故u(t)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
所以u(t)≥u(0)＝1，原命题得证．
17.(1)当m＝e时，f(x)＝ln x＋eq \f(e,x)，
f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝eq \f(1,x)－eq \f(e,x2)＝eq \f(x－e,x2).
令f′(x)＝0，得x＝e.
当x∈(0，e)时，f′(x)0，
∴f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，
∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝2.
(2)由题意知
g(x)＝f′(x)－eq \f(x,3)＝eq \f(1,x)－eq \f(m,x2)－eq \f(x,3)(x>0)，
令g(x)＝0，得m＝－eq \f(1,3)x3＋x(x>0)．
设φ(x)＝－eq \f(1,3)x3＋x(x>0)，
则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)．
当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)eq \f(2,3)时，函数g(x)无零点；
②当m＝eq \f(2,3)时，函数g(x)有且只有一个零点；
③当0