福建省永春第一中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷

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永春一中 2025 年 11 月高二年期中考数学科试卷（2025.11）
考试时间长度：120 分钟，总分：150 分一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
→→
已知a  (3, 2, 5), b  (1, 5, 1) ，则(a  b)  (a  b)  （ ）
A．11B． 13
C．45D．3
若直线l1 : mx  y  5  0 的倾斜角是直线l2 : x  2 y 1  0 的倾斜角的两倍，则实数m 
（ ）
4
3
 3
4
 4
3
3
4
若直线 x  2ay 1  0 与直线a 1 x  ay 1  0 平行，则a  （ ）
A．0B．  3 或 0C．  3D．  1 或 1
222
α→→
若平面 的法向量为u  1, 2, 4 ，平面β的法向量为v  m, 1, 2 ，直线l 的方向向量
→
为t  n, 2, 4 ，则（ ）
若α/ /β，则m  1
若l α，则n  2
若n  20 ，则l / /αD．若m  10 ，则α β
已知直线l ： y  k  x 1 ，“ k  2 3 或k   2 3 ”是“直线l 与双曲线 x2  y2  1有且仅有
3344
一个公共点”的（ ）
充要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充分不必要条件
2
若两定点 A−1，0 ， B 1，0 ，点 P 满足
PA  PB ，则点 P 的轨迹围成区域的面积为
（ ）
2πB． 4πC． 4 2πD． 8π
2
已知椭圆C : x
a2
y2
 1(a  b  0) ，直线 l 过坐标原点并交椭圆于
b2
P, Q
两点（P 在第一
象限），点 A 是 x 轴正半轴上一点，其横坐标是点 P 横坐标的 2 倍，直线QA 交椭圆于点 B，若直线 BP 恰好是以 PQ 为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）
6
3
3
3
2． 1
D
22
如图，已知在四棱锥 P  ABCD 中，底面是边长为 2 的正方形，△PAD
是以 AD 为斜边的等腰直角三角形， AB  平面 PAD ，点 E 是线段 PD上的动点（不含端点），若线段 AB 上存在点 F （不含端点），使得异面直线 PA 与 EF 成30 的角，则线段 PE 长度的取值范围是（ ）
A．  0, 2  B．  0, 6 C．  2 , 2 D．  6 , 2 
2 3 
 2
 3

二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．
下列说法正确的是（ ）
“直线a2 x  y 1  0 与直线 x  ay  2  0 互相垂直”是“ a  1 ”的充分不必要条件
直线 xsinα y  2  0 的倾斜角θ的取值范围是0, π    3π , π 

4  4
若圆M : (x  4)2  ( y  4)2  r 2 r  0 上恰有两点到点 N 1, 0 的距离为 1，则r 的取值范围是4, 6
过点 P 1, 2 且在 x 轴， y 轴上的截距互为相反数的直线方程是 x  y 1  0
已知椭圆C : x2  y2  1a  b  0 的左、右焦点分别为 F 、F ，直线 y  kx 与椭圆C 交
a2b212
于 P 、Q 两点，且 PF1  PF2  0 ， A 是椭圆C 上与 P 、Q 不重合的点.下列说法正确的是（ ）
PF1
PF2
1
若1 2 （其中c2  a2  b2 ），则椭圆C 的离心率e  1 17
c4
若a  3 ，则 PF1  PF2 的最大值为9
2
若a  3 ， b ，则 PF1  PF2  4
若a  3 ，直线 AP 、 AQ 的斜率之积为 1 ，则b  2
3
在正方体 ABCD  A1B1C1D1 中，AB  1，点P 满足CP  λCD  μCC1 ，其中λ0,1,μ0,1 ， 则下列结论正确的是（ ）
当 B1P / / 平面 A1BD 时， B1P 不可能垂直CD1
若 B P 与平面CC D D 所成角为 π ，则点 P 的轨迹长度为 π
11 142
当λ 1 时，正方体经过点 A1 、P、C 的截面面积的取值范围为[
6 , 2]
4
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2  2
当λ μ时， | DP |  | A1P |的最小值为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
a
已知空间向量 →  (1, 0,1), b  (2, 1, 2) ，则向量a 在向量b 上的投影向量是．
13．2023 年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登ft望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从 ft脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是 A2, 4 ，军营所在位置为 B 6, 2 ，河岸线所在直线的方程为
x  y  3  0 ，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则将
军在河边饮马地点的坐标为．
M : x2  y2  r 2 r  0
x2  2 
14．如图，已知圆
是椭圆y1的 4
内接V ABC 的内切圆，其中 A 是椭圆的左顶点，则r  ；过点 P 0,1 引圆M 的两条切线，交椭圆于 E, F 两点，则
! PEF 的面积为．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(13 分)已知圆过点 A1, 1 ， B 1,1 且圆心 E 在直线 x  y  2  0 上.
求圆 E 的方程；
2
若直线l 经过点Q 3, 5 ，且与圆 E 相交截得的弦长为2，求直线l 的方程.
16．(15 分)已知动点M  x, y  与定点 F 2, 0 的距离和它到定直线l : x  3 距离的比是常数
2
2 3 .
3
求动点M 的轨迹；
过 F 2, 0 且斜率为 1 的直线l 交动点M 的轨迹于 A ， B 两点，求 AB .
17．(15 分)如图，三棱锥 P  ABC 中， V ABC 是边长为2 的正三角形， PA  2 ， PD  底面 ABC
于点 D ， AD  DB ，且 DB  1.
求证： AC / / 平面 PDB ；
求二面角 P  AB  C 的余弦值；
在棱 PC 上是否存在点 E ，使得 DE  平面 PAB ？若存在，求 CE 的值；若不存在，说明
CP
理由.
x2y22
18．(17 分)已知椭圆G : a2  b2  1a  b  0 的离心率为
，短轴长为 2，椭圆G 上有两点
2
CA
A, B 关于原点对称，动点 P 与 A, B 两点的连线分别交椭圆G 于点C, D ，满足–––→ 
–––→
2PC ，
.
–––→–––→
DB  2PD
求椭圆G 的方程；
求动点 P 的轨迹方程；
过 P 点作椭圆G 的两条切线（与坐标轴不垂直），试探究两切线斜率乘积是否为定值？
→
19．(17 分)空间直角坐标系Oxyz 中，任何一个平面的方程都能表示成ax  by  cz  d  0 （其中a,b,c, d 均为常数， a2  b2  c2  0 ）， n  a, b, c 为该平面的一个法向量.已知球O 的半径为 4，点 A, B,C 均在球O 的球面上，以OA, OB, OC 所在直线分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示.平面OBC 内的点 E 在球面上，点 E 在 y 轴
，
上的投影在 y 轴的正半轴上，CE  4 ，过直线CE 作球O 的截面α
使得平面α 平面OBC ，设截面α与球O 球面的交线为圆M
（ M 为线段CE 的中点）.
求点 E 的坐标.
若平面β: 2x  3y  z  1 ，证明：平面α 平面β.
已知点 B 在平面γ:λx  μy  tz  4 内，设线段ME 在平面α内绕着点M 逆时针旋转θ弧度 至MH ，点 H 在圆M 上，且θ0, 2π ，过 H 作 HP  平面 AOB ，垂足为点 P .
①用θ表示点 H 的坐标；
3
②若 3λ t ，求点 H 到平面γ距离的最大值；
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4
③若λ 0, t   19 , G 0, 3 1, 4 ，当直线GP 与平面γ所成的角最小时，求csθ的值.