福建省泉州市永春第一中学高二上学期期中考试数学试卷-A4

这是一份福建省泉州市永春第一中学高二上学期期中考试数学试卷-A4，共11页。试卷主要包含了已知O为坐标原点，椭圆T，已知双曲线C，已知A，B分别为椭圆C，双曲线C等内容，欢迎下载使用。
单选选择题（每小题5分，共40分）
1.直线l的一个方向向量为(2,1,1)，平面α的一个法向量为(4,2,2)，则( )
A．l∥α
B．l⊥α
C．l∥α或l⊂α
D．l与α的位置关系不能判断
2.已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(x，y，z∈R)，则“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3.如图，斜线段AB与平面α所成的角为eq \f(π,4)，B为斜足．平面α上的动点P满足∠PAB＝eq \f(π,6)，则点P的轨迹为( )
A．圆B．椭圆
C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分
4.直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )
A．－1＜k＜eq \f(1,5) B．k＞1或k＜eq \f(1,2)
C．k＞1或k＜eq \f(1,5) D．k＞eq \f(1,2)或k＜－1
5.点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
6.已知O为坐标原点，椭圆T：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的右焦点为F，过点F的直线交椭圆T于A，B两点，则下列结论正确的是( )
A．|AB|的最小值为eq \f(3,2)
B．若M(异于点F)为线段AB的中点，则直线AB与OM的斜率之积为－1
C．若eq \(AF,\s\up6(→))＝－2eq \(BF,\s\up6(→))，则直线AB的斜率为±eq \f(\r(5),2)
D．△AOB面积的最大值为3
7.已知双曲线C: eq \f(x2,4)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)，以C的焦点为圆心，3为半径的圆与C的渐近线相交，则双曲线C的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(13),2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1( \f(3,2)，\f(\r(13),2))) D．(1，eq \r(13))
8.已知A，B分别为椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝1的左、右顶点，P为椭圆C上一动点，PA，PB与直线x＝3交于M，N两点，△PMN与△PAB的外接圆的周长分别为l1，l2，则eq \f(l1,l2)的最小值为( )
A.eq \f(\r(5),4) B.eq \f(\r(3),4)
C.eq \f(\r(2),4) D.eq \f(1,4)
多项选择题（每小题6分，共18分）
9.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点E，O分别是A1B1，A1C1的中点，P在正方体内部且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AA1,\s\up6(—→))，则下列说法正确的是( )
A．点A到直线BE的距离是eq \f(\r(5),5)
B．点O到平面ABC1D1的距离为eq \f(\r(2),4)
C．平面A1BD与平面B1CD1间的距离为eq \f(\r(3),3)
D．点P到直线AB的距离为eq \f(25,36)
10.双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点在圆O：x2＋y2＝13上，圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限分别交于点M，N，点E(0，a)满足eq \(EO,\s\up6(→))＋eq \(EM,\s\up6(→))＋eq \(EN,\s\up6(→))＝0(其中O为坐标原点)，则( )
A．双曲线C的一条渐近线方程为3x－2y＝0
B．双曲线C的离心率为eq \f(\r(13),2)
C．|eq \(OE,\s\up6(→))|＝1
D．△OMN的面积为6
11.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为P，O为坐标原点，则下列说法中正确的是( )
A.eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝－eq \f(3,4)p2
B．若|AF|·|BF|＝4p2，则直线AB的斜率为eq \r(3)
C．若抛物线上存在一点E(2，t)到焦点F的距离等于3，则抛物线的方程为y2＝4x
D．若点F到抛物线准线的距离为2，则sin∠PMN的最小值为eq \f(1,2)
填空题（每小题5分，共15分）
12.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD.若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，则点P到直线BD的距离为________．
13.如图，已知四棱锥S－ABCD的底面是边长为6的菱形，∠BAD＝60°，AC，BD相交于点O，SO⊥平面ABCD，SO＝4，E是BC的中点，动点P在该棱锥表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的长为________．
14.已知圆O：x2＋y2＝1和点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))，若定点B(b，0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b≠－\f(1,2)))和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则λ＝________，△MAB面积的最大值为________．
解答题（共77分）
15.（13分）如图，在圆柱OO1中，四边形ABCD是其轴截面，EF为⊙O1的直径，且EF⊥CD，AB＝2，BC＝a(a>1)．
(1)求证：BE＝BF；
(2)若直线AE与平面BEF所成角的正弦值为eq \f(\r(6),3)，求平面ABE与平面BEF夹角的余弦值．
16.（13分）如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，AA1＝A1B1＝eq \f(1,2)AB＝1，∠ABC＝60°，AA1⊥平面ABCD.
(1)若点M是AD的中点，求证：C1M⊥A1C；
(2)棱BC上是否存在一点E，使得平面EAD1与平面DAD1夹角的余弦值为eq \f(1,3)？若存在，求线段CE的长；若不存在，请说明理由．
17.（15分）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球A是指该球的球心点A.两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：
图1
图2
(1)如图1，设母球A的位置为(0,0)，目标球B的位置为(4,0)，要使目标球B向C(8，－4)处运动，求母球A的球心运动的直线方程；
(2)如图2，若母球A的位置为(0，－2)，目标球B的位置为(4,0)，让母球A击打目标球B后，能否使目标球B向C(8，－4)处运动？
18.（17分）在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x＋y＋2eq \r(2)－1＝0与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)△BMN是椭圆C的内接三角形，若坐标原点O为△BMN的重心，求点B到直线MN的距离的取值范围．
19.（17分）已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面内对应的点为M(x，y)，且z满足|z＋2|－|z－2|＝2，点M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)设A(－1,0)，B(1,0)，若过F(2,0)的直线与C交于P，Q两点，且直线AP与BQ交于点R.证明：
(ⅰ)点R在定直线上；
(ⅱ)若直线AQ与BP交于点S，则RF⊥SF.
永春一中高二年期中考试数学试卷（2024.11）
单选选择题（每小题5分，共40分）
1.B 2.B 3.B 4.D 5.A 6.C 7.B 8.A
多项选择题（每小题6分，共18分）
9.BC 10.ABD 11.ACD
填空题（每小题5分，共15分）
12.eq \f(13,5) 13.8 14.2 eq \f(3,4)
四．解答题（共77分）
15.(1)证明 如图，连接BO1，在圆柱OO1中，
BC⊥平面CEDF，
∵EF⊂平面CEDF，∴EF⊥BC，
∵EF⊥CD，BC∩CD＝C，BC，
CD⊂平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD，
又BO1⊂平面ABCD，
∴EF⊥BO1，
∵在△BEF中，O1为EF的中点，∴BE＝BF.
(2)解 连接OO1，则OO1与该圆柱的底面垂直，
以点O为坐标原点，OB，OO1所在直线分别为y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，－1,0)，B(0,1,0)，E(－1,0，a)，
F(1,0，a)，eq \(AE,\s\up6(→))＝(－1,1，a)，
eq \(BE,\s\up6(→))＝(－1，－1，a)，eq \(BF,\s\up6(→))＝(1，－1，a)，
设平面BEF的法向量是n1＝(x1，y1，z1)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n1·\(BE,\s\up6(→))＝0，,n1·\(BF,\s\up6(→))＝0，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x1－y1＋az1＝0，,x1－y1＋az1＝0，))
取z1＝1，得n1＝(0，a，1)，
设直线AE与平面BEF所成的角为θ，
则sin θ＝|cs〈eq \(AE,\s\up6(→))，n1〉|
＝eq \f(2a,\r(a2＋2)·\r(a2＋1))＝eq \f(\r(6),3)，
化简得(a2－2)(a2－1)＝0，
∵a>1，解得a＝eq \r(2)，
∴n1＝(0，eq \r(2)，1)，
设平面ABE的法向量是n2＝(x2，y2，z2)，
eq \(AB,\s\up6(→))＝(0,2,0)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2·\(AB,\s\up6(→))＝0，,n2·\(AE,\s\up6(→))＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2y2＝0，,－x2＋y2＋\r(2)z2＝0，))
取z2＝1，得n2＝(eq \r(2)，0,1)，
设平面ABE与平面BEF的夹角为α，
则cs α＝|cs〈n1，n2〉|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)＝eq \f(1,3)，
∴平面ABE与平面BEF夹角的余弦值为eq \f(1,3).
16.(1)证明 如图，取BC的中点Q，连接AQ，AC，
∵四边形ABCD为菱形，则AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，
∵Q为BC的中点，则AQ⊥BC，
∵AD∥BC，∴AQ⊥AD，
由于AA1⊥平面ABCD，以点A为坐标原点，以AQ，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，
则A(0,0,0)，A1(0,0,1)，D1(0,1,1)，Q(eq \r(3)，0,0)，
C(eq \r(3)，1,0)，C1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，1))，M(0,1,0)，
eq \(C1M,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)，－1))，eq \(A1C,\s\up6(—→))＝(eq \r(3)，1，－1)，
∴eq \(C1M,\s\up6(—→))·eq \(A1C,\s\up6(—→))＝－eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)＋(－1)2＝0，
∴C1M⊥A1C.
(2)解 如图，假设点E存在，设点E的坐标为(eq \r(3)，λ，0)，其中－1≤λ≤1，
eq \(AE,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，λ，0)，eq \(AD1,\s\up6(—→))＝(0,1,1)，
设平面AD1E的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AE,\s\up6(→))＝0，,n·\(AD1,\s\up6(—→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(3)x＋λy＝0，,y＋z＝0，))
取y＝－eq \r(3)，则x＝λ，z＝eq \r(3)，
∴n＝(λ，－eq \r(3)，eq \r(3))，
平面ADD1的一个法向量为m＝(1,0,0)，
∴|cs〈m，n〉|＝eq \f(|m·n|,|m||n|)＝eq \f(|λ|,\r(λ2＋6))＝eq \f(1,3)，
解得λ＝±eq \f(\r(3),2)，即CE＝1－eq \f(\r(3),2)或CE＝1＋eq \f(\r(3),2).
因此，棱BC上存在一点E，使得平面EAD1与平面DAD1夹角的余弦值为eq \f(1,3)，此时CE＝1－eq \f(\r(3),2)或CE＝1＋eq \f(\r(3),2).
17.(1)点B(4,0)，C(8，－4)所在的直线方程为x＋y－4＝0，如图，
可知A，B两球碰撞时，球A的球心在直线x＋y－4＝0上，
且在第一象限，设A，B两球碰撞时，球A的球心坐标为A′(a，b)，此时|A′B|＝2，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b－4＝0，,\r(a－42＋b2)＝2，,a>0，b>0，))
解得a＝4－eq \r(2)，b＝eq \r(2)，
即A，B两球碰撞时，球A的球心坐标A′(4－eq \r(2)，eq \r(2))，
所以母球A的球心运动的直线方程为y＝eq \f(\r(2),4－\r(2))x，
即y＝eq \f(2\r(2)＋1,7)x.
(2)假设能使目标球B向C(8，－4)处运动，
则由(1)知球A需运动到A′(4－eq \r(2)，eq \r(2))处，且到达A′处前不与目标球B接触．
如图，设AA′与x轴的交点为D.
因为A′B的斜率为－1，所以∠A′BD＝45°.
因为AA′的斜率为eq \f(\r(2)＋2,4－\r(2))＝eq \f(5＋3\r(2),7)>1，
所以∠A′DB>45°.
所以∠DA′B为锐角．
过点B作BE⊥AA′于点E，
因为|A′B|＝2，所以|BE|