黑龙江省大庆铁人中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版附答案）

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15.（本小题13分）
（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为，依题意， 解得，所以.
（2）设等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，
因为，
所以数列的前n项和为.
16.（本小题15分）
（1）由已知条件知，点到点的距离与到直线的距离相等，由抛物线的定义可知点的轨迹为以点为焦点，为准线的抛物线．
设抛物线的方程为，则，得，所以点的轨迹方程．
（2）设直线的方程为，则．
由消去得，由韦达定理得．
直线的方程为，
化简、整理得．
又，所以直线的方程为．
所以直线经过定点．
17.（本小题15分）
（1）连接交于点，则，因为，
所以，
因为平面，而不在平面内，
所以平面.
（2）在△中，因为，所以根据余弦定理得，
所以,则，又平面，所以以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
.
所以，所以.
设平面的法向量为，则，
即，令，则，所以.
设直线与平面所成角为，
则cs⟨DA,m⟩=DA∙m|DA||m| =62×9+4=31313.
18.（本小题17分）
（1）由题意，当P点在长轴端点时，取，则 ①，当P点在短轴端点时，取，则 ②，
由②得，故代入①，可得，，故椭圆E的标准方程为.
（2）
如图1，若四边形为平行四边形，又，则，即为矩形，
设，则，又，则，
于是，故平行四边形的面积为.
（3）
如图2，设，则，且，
因且，故，则；
因，则因，故，则.
由联立解得：，
因点Q在椭圆E上，则得，将代入化简得：，
解得，，即点P坐标为.
19.（本小题17分）
【详解】（1）因为，所以，两式相减，得，
在中，令，得，显然，
所以数列是等比数列.
（2）由（1）可知：，，
所以数列是公差为的等差数列，；
①：
，
所以
②：，
，
当成等比数列时，，
当时，，不成立；
所以，则，，
所以存在正整数，使得成等比数列.
1
2
3
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5
6
7
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9
10
11
A
B
D
B
D
B
C
C
BC
ACD
ABD