黑龙江省大庆铁人中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷

这是一份黑龙江省大庆铁人中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷，共10页。试卷主要包含了11等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
大庆铁人中学 2024 级高二年级上学期期中考试
数学
2025.11
答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上，如有条形码，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用 0.5 毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。
保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
已知圆的方程 x2  y2  2x  3  0 ，则该圆的半径为()
A．4B．2C．3D．1
某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有 5 张抽奖券，其中 2 张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出 2 张抽奖券，则小李不能获得奖品的概率为()
A． 1
10
x2y2
B． 3
5
C． 7
10
D． 3
10
已知椭圆C :
m2
 1的右焦点为 F (2, 0) ，则C 的长轴长为()
10
2
2
6
10
A． 2
B．
C．
D． 2
直线 y  kx  b 经过点(1,8) ，在两坐标轴上的截距互为相反数，则 k 的所有可能取值之和为()
A．7B．9C．8D．10
若点 A(0, 4) 在圆 x2  y2  2kx  4 y  k 2  k  2  0 外，则实数 k 的取值范围是()
A． (1, 2)B． (6，1) （2，+）
C． (，1) （2，+）D． (6, )
如图 F1，F2 是平面上的两点，且| F1F2 | 10 ，图中的一系列圆是圆心分别为 F1，F2 的两组同心圆，
每组同心圆的半径分别是1 , 2 , 3 ,  . A , B , C , D , E 是图中两组同心圆的部分公共点．若点
A 在以 F1，F2，为焦点的椭圆 M 上，则()
点 B 和C 都在椭圆 M 上B．点 D 和 E 都在椭圆 M 上
C．点C 和 D 都在椭圆 M 上D．点 E 和 B 都在椭圆 M 上
空间四边形OABC 中， OB  OC ， AOB  AOC  π，则
6
–––→ –––→
csOA, BC 的值是()
A． 1
2
B． 2
2
C．0D．  1
2
已知圆 O : x2  y2  9 ，直线 l : y  1 ，将圆 O 在 l 下方的部分沿着 l 向上翻折，如图，若直线
x  y  m  0 与折叠后得到的两段弧恰有 4 个交点，则 m 的值可以是()
3
2
B．2C． 5
2
D．3
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
已知直线l : kx  1  2k  y  0 和圆O : x2  y2  8 ，则下列说法正确的是() A．直线l 恒过点(2, 1)
直线l 与圆O 恒有两个交点
存在实数 k ，使得直线l 与直线l1 : x  2 y  2  0 垂直
3
直线l 被圆O 截得的最短弦长为2
A2  B2
在平面直角坐标系中，已知直线l : Ax  By  C  0 ( A, B 不同时为0) ， P(x0 , y0 ) 到直线l 的距离为 d  | Ax0  By0  C | ， n  ( A, B) 为直线l 的法向量.推广，在空间直角坐标系中，已知平面
α: Ax  By  Cz  D  0(A, B,C不同时为0), P(x0 , y0 , z0 ) 到平面α的距离为
A2  B2  C 2
d  | Ax0  By0  Cz0  D | ， n  ( A, B, C) 为平面α的法向量．若平面α: x  y  2z  1  0 ，点
P (1,1, 2 ) ，则()
点 M (1, 0,1) α
C．点 P 到平面α的距离为 1
2
若O 为原点，则 PO α
D．若 N (0, 0,1) ，则 PN / /α
已知点O(0, 0) ， A( 3, 0) ， B( 3, 0) ，点 P 在曲线C : (x2  4)2  5(x2  4) y2  4 y4  0 上，则
()
存在无数个点 P ，使得| PO |为定值
存在无数个点 P ，使得| PA |  | PB | 为定值
直线 y  2x  3 与C 的所有交点的横坐标之积为 31
17
直线 y  2x  3 与C 的所有交点的横坐标之和大于 5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
已知 A，B, C, D 四点共面，且满足任意三点均不共线，点 P 为平面 ABCD 外任意一点，且
–––→  2 –––→  –––→  1 –––→ ，则实数 x 的值为．
PA PBxPC BD
36
已知圆 C : x2  ( y  1)2  4 ，过点 P( 3, 2) 作圆 C 的切线 l ，则 l 与坐标轴围成的三角形面积
为 ．
x2  y2  
已知 M 是椭圆 a2b21(ab0) 上一点， F1，F2 分别是椭圆的左、右焦点，点 I 是△ MF1F2
的内心，延长 MI 交线段 F F 于点 N ，若椭圆的离心率为e ，则e  | MI | 的值为．
1 2| IN |
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分 13 分）
已知圆心为C 的圆经过点 A(1,1) 和 B(2, 2) ，且圆心在直线l : x  y  1  0 上．
求圆心为C 的圆的标准方程；
设点 P 在圆C 上，点Q 在直线 x  y  9  0 上，求| PQ |的最小值． 16．（本小题满分 15 分）
甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有 3 道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率
都是 2 ，乙答对每道题目的概率都是 1 ，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题
32
互不影响．
求甲、乙两人共答对 5 道题目的概率；
若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第 3 次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率．
17．（本小题满分 15 分）
1
2
已知圆C : x2  y2  2x  4 y  1  0 ，圆C : x2  y2  4x  5  0 ．
试判断圆C1 与圆C2 是否相交，若相交，求两圆公共弦所在直线的方程，若不相交，说明理由；
若直线 y  kx  1与圆C1 交于 A , B 两点，且以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点O ，求实
数 k 的值．
18．（本小题满分 17 分）
如图，已知菱形 ABCD 和等边三角形 BCE 有公共边 BC ，点 B 在线段 AE 上， BC 与 DE 交于点
O ，将△ BCE 沿着 BC 翻折成△ PBC ，得到四棱锥 P  ABCD ， BC  2 ．
求证：平面 PBC  平面 POD ；
若 DP  3 ，求平面 PAB 与平面 PBC 夹角的余弦值；
求直线 PA 与平面 PBC 夹角正弦值的最大值．
19．（本小题满分 17 分）
2
已知椭圆 E : x
a2
y2
2
 
b21(ab0) 的离心率为 2
，焦距为 2，过 E 的左焦点 F 的直线l 与 E 相
交于 A , B 两点，与直线 x  2 相交于点 M ．
求椭圆方程；
若 M (2, 1) ，求证： | MA || BF || MB || AF | ；
（ 3 ） 过点 F 作直线 l 的垂线 m 与 E 相交于 C, D 两点， 与直线 x  2 相交于点 N ． 求
1111的最大值．
| MA || MB || NC || ND |
参考答案与试题解析
1．B 2．D 3．A． 4．B 5．B．
B【解答】解：因为点 A 在以 F1，F2 为焦点的椭圆 M 上，所以|AF1|+|AF2|＝3+9＝12，所以椭圆 M 中 2a＝12，因为|BF1|+|BF2|＝5+9＝14≠12，|CF1|+|CF2|＝5+6＝11≠12，|DF1|+|DF2|＝5+7＝12，|EF1|+|EF2|＝11+1＝12，所以 D，E 在椭圆 M 上．故选：B．
→→→→→
→→→→→→
?→→?
C【解答】解：因为?? ⋅ ?? = ?? ⋅ (??−??) = ?? ⋅ ??−?? ⋅ ?? = |??| ⋅ |??| ⋅ ???
6
−|??| ⋅ |??| ⋅ ???
6
3
→→→
→→→→→→
=|??| ⋅ (|??|−|??|)，因为 OB＝OC，所以?? ⋅ ?? = 0，所以???〈??，??〉 = ??⋅?? = 0．故选：C．
2→→
?2 + ?2 = 9
? = −2
2
2
? = 2
|??|⋅|??|
B【解答】解：联立 ? = −1，则 ? = −1或 ? = −1 ，即?(−2 2，−1)，?(2 2，−1)，当直线 x﹣y+m＝
2
0 过点?(−2 2，−1)时，得? = −1 + 2 2，由对称性可知，折叠后的弧 BC 对应的圆的方程为 x2+（y+2）2＝9，当 x﹣y+m＝0 与劣弧 BC 相切时，有|?+2| = 3，所以? = 3 2−2，其中? = −3 2−2舍去，结合图形可知，当
−1 + 2 2＜?＜3 2−2时，直线 x﹣y+m＝0 与两段弧恰有 4 个交点．结合选项知 B 符合．故选：B．
BCD【解答】解：直线 l：kx+1+2k﹣y＝0 化为（x+2）k+（1﹣y）＝0，可知直线系恒过（﹣2，1）点，所以 A
2
8−( (−2−0)2 + (1−0)2)
不正确；圆 O：x2+y2＝8，可知（﹣2）2+12＝5＜8，所以定点在圆的内部，所以 B 正确；实数 k＝﹣2 时，直线
l 与直线 l1：x﹣2y+2＝0 垂直，所以 C 正确；直线 l 被圆 O 截得的最短弦长为 2＝2
= 2 3，所以 D 正确．故选：BCD．
AD【解答】解：对于选项 A，因为平面 α：x+y﹣2z+1＝0，且 1+0﹣2×1+1＝0，所以点 M（1，0，1）∈α，故
→
选项 A 正确；对于选项 B，由平面 α：x+y﹣2z+1＝0，可得平面 α 的法向量为? = (1，1，−2)，又 O（0，0，
→112→→
0），P（1，1，2），所以?? = (1， 1， 2)，又 = ≠
11
，所以?? = (1， 1， 2)与? = (1，1，−2)不共线，
−2
故 PO 不垂直于平面 α，故选项 B 错误；对于选项 C，由点到平面的距离公式可得点 P 到平面 α 的距离? =

12+12+(−2)2
|1×1+1×1−2×2+1|
=
→
6
， 故选项 C 错误； 对于选项 D ， 由 N （ 0 ， 0 ， 1 ）， P （ 1 ， 1 ， 2 ）， 所以??
6
→→→→
= (1， 1， 1)，所以?? ⋅ ? = 1 × 1 + 1 × 1−2 × 1 = 0，所以?? ⊥ ?，又 1+1﹣2×2+1＝﹣1≠0，所以 P∉α，所
以 PN∥α，故选项 D 正确．故选：AD．
ABD【解答】解：由题意点 O（0，0），?(− 3，0)，?( 3，0)，点 P 在曲线 C：（x2﹣4）2+5（x2﹣4）y2+4y4
22224
2222
22?22
＝0 上，可将（x ﹣4） +5（x ﹣4）y +4y ＝0 化简得（x ﹣4+y ）（x ﹣4+4y ）＝0，即 x +y ＝4 或
4
+ ?
= 1，
22?2222
?22
所以曲线 C 由圆 x +y ＝4 与椭圆
4
+ ?
= 1组成，且圆 x +y ＝4 的圆心为 O，椭圆
4
+ ?
= 1的焦点为 A，B，
故 A，B 均正确．将 y＝2x﹣3 代入 x2+y2＝4，得 5x2﹣12x+5＝0，由判别式大于 0，得该方程有两个不相等的实
?12
?222
根 x1，x2，则 1 + ?2 =，x1x2＝1，将 y＝2x﹣3 代入+ ? = 1，得 17x ﹣48x+32＝0，由判别式大于 0，得
54
该方程有两个不相等的实根 x ，x ，则?
48
+ ? =
? ? = 32
? ? ? ? = 32 ?
? + ?
+ ?
1248
=+
444
343
4， 3 4
17
，则 1
17
2 3 4
， 1 + 2
17
34517
=＞5，故 C 错误，D 正确．故选：ABD．
85
 1
–––→  2 –––→ 
–––→  1 –––→  2 –––→ 
–––→  1
–––→–––→
(PDPB)

 1 –––→ 
–––→  1 –––→ ，由题意得 1  x  1  1 ，
．【解答】解：PA PBxPC BD PBxPC
PBxPC PD
336362626
所以 x   1 ．故答案为：  1 ．
33
25 3 ．【解答】解：因为点 P( 3, 2) 在圆C : x2  ( y  1)2  4 上，圆心坐标为C(0,1) ，所以 k
6PC
 2  1 
3 ，则
3
3
3
k1  ，从而切线l 的方程为 y  2  
3(x 
3) ，它与 x 轴， y 轴的交点坐标分别为(5 3 ， 0) 和(0, 5) ，故所
3
求三角形的面积为 1  5 3  5  25 3 ．故答案为： 25 3 ．
2366
14．1【解答】解：连接 F1I，F2I，因为 I 是△MF1F2 的内心，所以 F1I，F2I 分别是∠MF1F2 和∠MF2F1 的角平分
线，由角平分线定理得，|??| = |??1| = |??2|
|??||??1|+|??2|
=，由椭圆的定义知，|MF |+|MF |＝
|??|
|? ?|
，所以
|? ?||??|
|? ?|+|? ?|12
1212
2a，而|F N|+|F N|＝|F F |＝2c，所以|??| = |??1|+|??2| = 2? = ?1
|??|
= 1．故答案为：1．
121 2
|??|
|? ?|+|? ?|
2?
= ，所以? ⋅
??|??|
12
31
15．【解答】解：（1）根据 A（﹣1，1）、B（﹣2，﹣2），可得 AB 的中点为?(−，−
22
)，由
AB 的斜率???
1−(−2)
=
−1−(−2)
−1
= 3，可得 AB 的垂线的斜率 k =
1?1
113
CD 方程为? +
x+3y+3＝
???
= −，故
3
?? = −
，可得直线
3
= − (? +
23
)，即
2
(3 + 1)2 + (−2−1)2
? + 3? + 3 = 0? = 3
0，联立，解得，可得 C（3，﹣2），结合圆 C 的半径 r＝|CA| ==
? + ?−1 = 0? = −2
5，可得圆 C 的方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝25．
2
（2）由（1）的结论，可知点 C（3，﹣2）到 x+y+9＝0 的距离? = |3−2+9| = 5 2＞5，所以直线 x+y+9＝0 与圆 C 相离，可得|PQ|的最小值为 d﹣r = 5 2−5．
【解答】解：（1）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有 3 道难度相当的题目，甲答对每道题目的概
率都是
2，乙答对每道题目的概率都是
3
1，对抽到的不同题目能否答对是独立的，甲、乙两人答题互不影响，设
2
A1＝“甲答对 3 道题目”，A2＝“甲答对 2 道题目”，B1＝“乙答对 3 道题目”，B2＝“乙答对 2 道题目”，根据独
2228
2214
1111
立事件的性质，可得：?(?1) = 3 × 3 × 3 = 27，?(?2) = 3 × 3 × 3 × 3 = 9，?(?1) = 2 × 2 × 2 = 8，?(?2) = 3(
1)3
2
3
= ，设 A 为“甲、乙两人共答对 5 道题目”，则 A＝（A1B2）∪（A2B1），∵A1B2 与 A2B1 互斥，A1 与 B2，
8
A2 与 B1 分别相互独立，P（A）＝P（A1B2）+P（A2B1）＝P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1） =
8341
× + × =
27898
1，∴甲、乙两人共答对 5
6
1
道题目的概率．
6
，
（2）C＝“甲通过面试”，D＝“乙通过面试”，C 与 D 相互独立，?(?) = 1−?(?) = 1−1 × 1 × 1 = 26
?1117E
333
??
27
??

?(?) = 1−?( ) = 1− × × = ， ＝“甲、乙两人只有一人通过面试”，则? = (? ) ∪ ( ?)，因为? 与 ?
2228
互斥，C 与?，?与 D 分别相互独立，?(?) = ?(?? ∪ ??) = ?(??) + ?(??) = ?(?)?(?) + ?(?)?(?) = 26 × 1 +
278
171111
× =，∴甲、乙两人只有一人通过面试的概率 ．
2787272
【解答】解：（1）圆 C2 化成标准方程为（x﹣2）2+y2＝9，圆心 C2（2，0），半径 r2＝3，圆 C1 化成标准方程为
9 + 4
（x+1）2+（y﹣2）2＝4，圆心 C1（﹣1，2），半径 r1＝2，由于|?1−?2| = 1＜|?1?2| =
= 13＜?1 + ?2
= 5，故两圆相交．两圆方程作差得（x2+y2+2x﹣4y+1）﹣（x2+y2﹣4x﹣5）＝6x﹣4y+6＝0，即公共弦所在直线的方程为 3x﹣2y+3＝0．
（2）设 A（x1，y1），B（x2，y2），将 y＝kx+1 代入 x2+y2+2x﹣4y+1＝0，得 x2+（kx+1）2+2x﹣4（kx+1）+1＝0，
整理得（1+k2）x2+（2﹣2k）x﹣2＝0，Δ＝（2﹣2k）2+8（1+k2）＞0，所以?
+ ?
2−2?
= −
? ? = −
2?
2?2−2?+1
121+?2 ， 1 2
，所以
1+?2
1?2 = (??1 +1)(??2 +1) = ?
?1?2 +?(?1 + ?2) + 1 =
．由以线段 AB 为直径的圆经过坐
?2+1
→→?2−2?−12
标原点 O，可得 OA⊥OB，即?? ⋅ ?? = 0，可得 x1x2+y1y2＝0，所以
? = 1− 2或? = 1 + 2．
= 0，即 k ﹣2k﹣1＝0，解得
?2+1
【解答】（1）证明：连接 BD，因为菱形 ABCD 和等边三角形 BCE 有公共边 BC，点 B 在线段 AE 上，所以∠ABC
＝120°，且 AB＝BC＝CD＝AD＝CE＝BE，CD∥BE，所以四边形 BDCE 为菱形，所以 BC⊥DE，翻折后 BC⊥ DO，BC⊥PO，因为 DO∩PO＝O，DO、PO⊂平面 POD，所以 BC⊥平面 POD，又 BC⊂平面 PBC，所以平面 PBC⊥平面 POD．
解：由（1）知 BC⊥平面 POD，因为 BC⊂平面 ABCD，所以平面 POD⊥平面 ABCD，又 BC⊥OD，故以 O
3
为原点，OD，OB 所在直线分别为 x，y 轴，作 Oz⊥平面 ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，则?(
3
，0，0)，?( 3，2，0)，B（0，1，0），C（0，﹣1，0），因为 DP == OD＝OP，所以△POD 为等边三角
3
3
3→→3→
形，∠POD＝60°，所以?(
，0，
22
)，所以?? = （ 3，1，0），?? = （
，﹣1，
2
），?? = （0，2，0），
2
→→
→? ⋅ ?? = 3? + ? = 0
设平面 PAB 的法向量为? = （x，y，z），则 →→ 33，令 x＝﹣1，则 y = 3，z = 3，所
→
? ⋅ ?? =
→
?−? +
22
? = 0
→→
? ⋅ ?? = 2? = 0
以? = （﹣1， 3， 3），设平面 PBC 的法向量为? = （a，b，c），则 →
→
3，令 a = 3，
? ⋅ ?? =
?−? +
3
22
? = 0
→→ →→ →
则 b＝0，c＝﹣1，所以? = （ 3，0，﹣1），设平面 PAB 与平面 PBC 夹角为 θ，则 csθ＝|cs＜?，?＞| = |?⋅?|
→→
7×2
= |− 3− 3| =
21
，故平面
7
PAB 与平面 PBC 夹角的余弦值为 21
．
7
|?|⋅|?|
→
解：由（2）知 P 在平面 xOz 上，且 OP = 3，不妨设 P（ 3csα，0， 3sinα），α∈（0，π），则?? =
→→
（ 3csα− 3，﹣2， 3sinα ），?? = ( 3????，−1， 3????)，设平面 PBC 的法向量为?1 = （x1，y1，z1），
→→
?1 ⋅ ?? = 2?1 = 0→
则 →→，取 x1＝sinα，得?1 = （sinα，0，﹣csα），设 PA 与平面 PBC 的
?1 ⋅ ?? = 3?????1−?1 + 3?????1 = 0
3????
3(????−1)2+4+3???2?×1
3???2?
10−6????
→→→
?→
|??⋅?1|
夹角为 φ（φ∈[0， ]），则 sinφ＝|cs＜??，?1＞| =→
=
→
==
1−( 10−? )2
6
?
2|??|⋅|?1|
3(1−???2?)
10−6????
，令 t＝10﹣6csα∈[4，16]，则 csα =
10−?
3
，所以???? =
6
×
=×
3
−?2+20?−64 36?
= 3 ×
≤ 3 ×
= 3，当且仅当 t＝81
PA 与平面
6
，即???? = 时，等号成立，所以直线
20−(? + ? )
64
20−16
633
PBC．
3
夹角正弦值的最大值为
3
19．【解答】解：（1）由题意得：? = ? =2，2? = 2，又 a2＝b2+c2，则? = 2，?2 = 1，所以椭圆的标准方程为：
?2
2
+ ?2
= 1；
?2
? = ? + 1
（2）证明：易知 F（﹣1，0），l：y＝x+1，设 A（x ，y ），B（x ，y ），由
?22
，得 3x2+4x＝0，
1122
2 + ? = 1
解得? = 0?4
? +2| ⋅ 2|?
24
+1| = 2 ×
? +2| ⋅ 2|?
1， 2 = −3，则|??| ⋅ |??| = 2| 12
× 1 = ，|??| ⋅ |??| = 2| 21
33
1
+1| = 2 × 2 × =
3
4
，所以|MA|•|BF|＝|MB||AF|；
3
若直线 l，m 中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线 x＝﹣2 平行，所以直线 l 的斜率
存在且不为零，设直线 l 方程为 y＝k（x+1），则直线 m 的方程为? = −1(? + 1)，? ≠ 0，设 A（x ，y ），B
?11
? = ?(? + 1)
（x ，y ），由
?22
，消去 y 得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，则Δ＝16k4﹣8（1+2k2）（2k2﹣2）＞0，
222 + ? = 1
4?22?2−2
?1 + ?2 = −1+2?2，?1 ⋅ ?2 = 1+2?2，易知 x1＞﹣2，x2＞﹣2，将 x＝﹣2 代入直线 l 的方程得 y＝﹣k，即 M
1+?2|?1+2|
1+?2|?2+2|
（ ﹣ 2 ， ﹣ k ）， 则 1+1=1+1
1?1+?2+4
1+?2
=(
1
1+?2
) =(
|??||??|
?1?2+2(?1+?2)+4
− 4?2 +4
1+2?2
) =2，同理 1+1=2
2|?|
1+?2
=
，所以 1+1+1+1= 2
2?2−2 − 8?2
+4
|??|
|??|
|??|
|??|
|??|
|??|
1+2?2
1+2?2
1+?2
1+2|?|+?2
1+?2
1 + 1 +|?|
2
|?|
，= 2
1
1+(− 1 )2
?
≤ 2 2，当且仅当
111
= |?|，即 k＝±1 时，等号成立，所以+++
|?|
|??||??||??|
1
|??|
的最大值为2 2.