中考数学真题分类汇编第一期专题9一元二次方程及其应用试题含解析

这是一份中考数学真题分类汇编第一期专题9一元二次方程及其应用试题含解析，共23页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
1. （2018•山东菏泽•3分）关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥0B．k≤0C．k＜0且k≠﹣1D．k≤0且k≠﹣1
【考点】AA：根的判别式；A1：一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k+1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k+1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k+1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k+1）≥0，
解得k≤0且k≠﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
2. （2018•江苏盐城•3分）已知一元二次方程 有一个根为1，则 的值为（ ）
A. -2 B. 2 C. -4 D. 4
8.【答案】B
【考点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=1代入方程可得1+k-3=0，解得k=2。故答案为：B
【分析】将x=1代入原方程可得关于k的一元一次方程，解之即可得k的值。
3．（2018•山西•3分）用配方法将二次函 数y  x2  8x  9 化为 y  ax  h2  k 的形式为（）
A. y  x  42  7 B.y  x  42  25 C.y  x  42  7 D.y  x  42  25
【答案】 B
【考点】 二 次 函 数 的 顶 点 式
【解析】 y  x2  8x  9  x2  8x 16 16  9  x  42  25
4． （2018•山西•3分）下列一元二次方程 中 ，没有实数根的是 （ ）
A. x2  2x  0 B.x2  4x 1  0 C.2x2  4x  3  0 D. 3x2  5x  2
【答案】 C
【考点】 一 元 二 次 方 程 根 的 判 别 式
【解析 】△＞ 0，有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ，△ =0，有 两 个 相 等 的 实 数 根 ，△ ＜ 0，没 有 实 数 根 .
A.△ =4B.△ =20C. △ =-8D. △ =1
5.（2018·山东临沂·3分）一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（ ）
A．（y+）2=1B．（y﹣）2=1C．（y+）2=D．（y﹣）2=
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：y2﹣y﹣=0
y2﹣y=
y2﹣y+=1
（y﹣）2=1
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．
6. （2018•安徽•4分） 若关于的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】【分析】整理成一般式后，根据方程有两个相等的实数根，可得△=0，得到关于a的方程，解方程即可得.
【详解】x(x+1)+ax=0，
x2+(a+1)x=0，
由方程有两个相等的实数根，可得△=（a+1）2-4×1×0=0，
解得：a1=a2=-1，
故选A.
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
7. （2018•甘肃白银，定西，武威•3分） 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】关于的一元二次方程有两个实数根，得解不等式即可.
【解答】关于的一元二次方程有两个实数根，
得
解得：
故选C.
【点评】考查一元二次方程根的判别式，
当时，方程有两个不相等的实数根.
当时，方程有两个相等的实数根.
当时，方程没有实数根.
8. （2018•安徽•4分） 据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%假定2018年的平均增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】【分析】根据题意可知2017年我省有效发明专利数为（1+22.1%）a万件，2018年我省有效发明专利数为（1+22.1%）•（1+22.1%）a，由此即可得.
【详解】由题意得：2017年我省有效发明专利数为（1+22.1%）a万件，
2018年我省有效发明专利数为（1+22.1%）•（1+22.1%）a万件，即b=（1+22.1%）2a万件，
故选B.
【点睛】本题考查了增长率问题，弄清题意，找到各量之间的数量关系是解题的关键.
9. （2018年江苏省泰州市•3分）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（ ）
A．x1≠x2B．x1+x2＞0C．x1•x2＞0D．x1＜0，x2＜0
【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；
B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；
C、根据根与系数的关系可得出x1•x2=﹣2，结论C错误；
D、由x1•x2=﹣2，可得出x1＜0，x2＞0，结论D错误．
综上即可得出结论．
【解答】解：A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0，
∴x1≠x2，结论A正确；
B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
∴x1+x2=a，
∵a的值不确定，
∴B结论不一定正确；
C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
∴x1•x2=﹣2，结论C错误；
D、∵x1•x2=﹣2，
∴x1＜0，x2＞0，结论D错误．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
10. （2018·四川宜宾·3分）某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ）
A．2%B．4.4%C．20%D．44%
【考点】AD：一元二次方程的应用．
【分析】设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据2017年及2019年“竹文化”旅游收入总额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，
根据题意得：2（1+x）2=2.88，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11. （2018·四川宜宾·3分）一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（ ）
A．﹣2B．1C．2D．0
【考点】AB：根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系可得出x1x2=0，此题得解．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，
∴x1x2=0．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．
12. （2018·台湾·分）若一元二次方程式x2﹣8x﹣3×11=0的两根为a、b，且a＞b，则a﹣2b之值为何？（ ）
A．﹣25B．﹣19C．5D．17
【分析】先利用因式分解法解方程得到a=11，b=﹣3，然后计算代数式a﹣2b的值．
【解答】解：（x﹣11）（x+3）=0，
x﹣11=0或x﹣3=0，
所以x1=11，x2=﹣3，
即a=11，b=﹣3，
所以a﹣2b=11﹣2×（﹣3）=11+6=17．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
13. （2018·广东·3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜B．m≤C．m＞D．m≥
【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，
∴m＜．
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
14. （2018•广西桂林•3分）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则k的值为（ ）
A. B. C. 2或3 D. 或
【答案】A
【解析】分析：根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．
详解：∵方程有两个相等的实根，
∴△=k2-4×2×3=k2-24=0，
解得：k=．
故选：A．
点睛：本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的两个实数根．”是解题的关键．
15. (2018四川省绵阳市)在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A.9人
B.10人
C.11人
D.12人
【答案】C
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：设参加酒会的人数为x人，依题可得：
x（x-1）=55，
化简得：x2-x-110=0，
解得：x1=11，x2=-10（舍去），
故答案为：C.
【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.
16. (2018四川省眉山市2分 ) 我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ）。
A.8%
B.9%
C.10%
D.11%
【答案】C
【考点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每次下调的百分率是x,依题可得：
6000（1-x）2=4860，
∴（1-x）2=0.81，
∴1-x= 0.9,
∴x1=0.1,x2=1.9（舍）,
故答案为:C.
【分析】设平均每次下调的百分率是x,根据题意可列一元二次方程，解之即可得出答案.
17（2018四川省泸州市3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k≤2B．k≤0C．k＜2D．k＜0
【分析】利用判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，
解得k＜2．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
18. (2018四川省眉山市2分 ) 若α，β是一元二次方程3x2+2x－9=0的两根，则 + 的值是（ ）。
A.
B.－
C.－
D.
【答案】C
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵α，β是一元二次方程3x2+2x－9=0的两根，
∴α+β=- ，αβ=- =-3，
∴ + = .
故答案为:C.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出α+β=- ，αβ=- =-3，再将原式通分变形，代入数值即可得出答案.
19.（2018·山东泰安·3分）一元二次方程（x+1）（x﹣3）=2x﹣5根的情况是（ ）
A．无实数根B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3D．有两个正根，且有一根大于3
【分析】直接整理原方程，进而解方程得出x的值．
【解答】解：（x+1）（x﹣3）=2x﹣5
整理得：x2﹣2x﹣3=2x﹣5，
则x2﹣4x+2=0，
（x﹣2）2=2，
解得：x1=2+＞3，x2=2﹣，
故有两个正根，且有一根大于3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确解方程是解题关键．
20.（2018•河南•3分）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A.x2+6x+9=0 B.x2=x C.x2+3=2x D.(x-1)2+1=0
21.（2018·山东潍坊·3分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1，x2．若+=4m，则m的值是（ ）
A．2B．﹣1C．2或﹣1D．不存在
【分析】先由二次项系数非零及根的判别式△＞0，得出关于m的不等式组，解之得出m的取值范围，再根据根与系数的关系可得出x1+x2=，x1x2=，结合+=4m，即可求出m的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1、x2，
∴，
解得：m＞﹣1且m≠0．
∵x1、x2是方程mx2﹣（m+2）x+=0的两个实数根，
∴x1+x2=，x1x2=，
∵+=4m，
∴=4m，
∴m=2或﹣1，
∵m＞﹣1，
∴m=2．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于m的不等式组；（2）牢记两根之和等于﹣、两根之积等于．

二.填空题
(要求同上一.)
1．（2018年四川省南充市）若2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，则m﹣n的值为 ﹣ ．
【考点】A3：一元二次方程的解．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2n代入方程得到x2﹣2mx+2n=0，然后把等式两边除以n即可．
【解答】解：∵2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，
∴4n2﹣4mn+2n=0，
∴4n﹣4m+2=0，
∴m﹣n=﹣．
故答案是：﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
2．（2018年四川省内江市）已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根之和为 1 ．
【考点】AB：根与系数的关系；A9：换元法解一元二次方程．
【分析】利用整体的思想以及根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：设x+1=t，方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根分别是x3，x4，
∴at2+bt+1=0，
由题意可知：t1=1，t2=2，
∴t1+t2=3，
∴x3+x4+2=3
故答案为：1
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
3．（2018四川省泸州市3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两实数根，则的值是 6 ．
【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x1+x2=2、x1x2=﹣1、=2x1+1、=2x2+1，将其代入=中即可得出结论．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两实数根，
∴x1+x2=2，x1x2=﹣1，=2x1+1，=2x2+1，
∴=+====6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，将代数式变形为是解题的关键．
4．（2018年四川省内江市）关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有实数根，则k的取值范围是 k≥﹣4 ．
【考点】AA：根的判别式．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有实数根，
∴△=42﹣4×1×（﹣k）=16+4k≥0，
解得：k≥﹣4．
故答案为：k≥﹣4．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
5. （2018·湖南省常德·3分）若关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根，则b的值可能是 6 （只写一个）．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于b的一元二次不等式，解之即可得出b的取值范围，取其内的任意一值即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4×2×3＞0，
解得：b＜﹣2或b＞2．
故答案可以为：6．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
6.（2018·山东威海·3分）关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是 m=4 ．
【分析】若一元二次方程有实根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，
∴△=4﹣8（m﹣5）＞0，且m﹣5≠0，
解得m＜5.5，且m≠5，
则m的最大整数解是m=4．
故答案为：m=4．
【点评】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
7. （2018·四川自贡·4分）若函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为 ﹣1 ．
【分析】由抛物线与x轴只有一个交点，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
【解答】解：∵函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，
∴△=22﹣4×1×（﹣m）=0，
解得：m=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点”是解题的关键．
8. （2018•江苏扬州•3分）若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为 2018 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1=0，
∴2m2﹣3m=1
∴原式=3（2m2﹣3m）+2015=2018
故答案为：2018
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．

9. （2018•江苏扬州•3分）关于x的方程mx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 m＜且m≠0 ．
【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△=4﹣12m＞0且m≠0，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵一元二次方程mx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0且m≠0，
∴4﹣12m＞0且m≠0，
∴m＜且m≠0，
故答案为：m＜且m≠0．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
10. （2018年江苏省南京市•2分）设x1、x2是一元二次方程x2﹣mx﹣6=0的两个根，且x1+x2=1，则x1= ﹣2 ，x2= 3 ．
【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2=1可得出m的值，将其代入原方程，再利用因式分解法解一元二次方程，即可得出结论．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣mx﹣6=0的两个根，且x1+x2=1，
∴m=1，
∴原方程为x2﹣x﹣6=0，即（x+2）（x﹣3）=0，
解得：x1=﹣2，x2=3．
故答案为：﹣2；3．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，利用根与系数的关系求出m的值是解题的关键．
11. （2018年江苏省泰州市•3分）已知3x﹣y=3a2﹣6a+9，x+y=a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为 3 ．
【分析】根据题意列出关于x、y的方程组，然后求得x、y的值，结合已知条件x≤y来求a的取值．
【解答】解：依题意得：，
解得
∵x≤y，
∴a2≤6a﹣9，
整理，得（a﹣3）2≤0，
故a﹣3=0，
解得a=3．
故答案是：3．
【点评】考查了配方法的应用，非负数的性质以及解二元一次方程组．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2．
12．（2018•湖北荆门•3分）已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为 ．
【分析】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值．
【解答】解：把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，
整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3，
因为k≠0，
所以k的值为﹣3．
故答案为﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13.（2018•湖北黄冈•3分）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________.
【考点】解一元二次方程，三角形三边的关系.
【分析】将已知的方程x2-10x+21=0左边分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到原方程的解为3或7，利用三角形的两边之和大于第三边进行判断，得到满足题意的第三边的长，从而求得三角形的周长．
【解答】解：x2-10x+21=0，
因式分解得：（x-3）（x-7）=0，
解得：x1=3，x2=7，
∵三角形的第三边是x2-10x+21=0的根，
∴三角形的第三边为3或7，
当三角形第三边为3时，3+3=6，不能构成三角形，舍去；
当三角形第三边为7时，三角形三边分别为3，6，7，能构成三角形，
则第三边的长为7．
∴三角形的周长为: 3+6+7=16.
故答案为：16.
【点评】本题考查了利用因式分解法求解解一元二次方程，以及三角形三边的关系. 利用因式分解法求解解一元二次方程时，首先将方程右边化为0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0，转化为两个一元一次方程来求解。
14. （2018•江西•3分）一元二次方程的两根为, ,则的值为 .
【解析】 本题考察一元二次方程根与系数的关系，因为，所以，
因为，所以原式值为2，有一定的技巧性.
【答案】 2 ★★

三.解答题
(要求同上一)
1．（2018·湖北省孝感·9分）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=p（p+1）．
（1）试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两根x1，x2，满足x12+x22﹣x1x2=3p2+1，求p的值．
【分析】（1）将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（2p+1）2≥0，由此即可证出：无论p取何值此方程总有两个实数根；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=5、x1x2=6﹣p2﹣p，结合x12+x22﹣x1x2=3p2+1，即可求出p值．
【解答】解：（1）证明：原方程可变形为x2﹣5x+6﹣p2﹣p=0．
∵△=（﹣5）2﹣4（6﹣p2﹣p）=25﹣24+4p2+4p=4p2+4p+1=（2p+1）2≥0，
∴无论p取何值此方程总有两个实数根；
（2）∵原方程的两根为x1、x2，
∴x1+x2=5，x1x2=6﹣p2﹣p．
又∵x12+x22﹣x1x2=3p2+1，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2=3p2+1，
∴52﹣3（6﹣p2﹣p）=3p2+1，
∴25﹣18+3p2+3p=3p2+1，
∴3p=﹣6，
∴p=﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x12+x22﹣x1x2=3p2+1，求出p值．

2. （2018·湖北省宜昌·10分）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12．经过三年治理，境内长江水质明显改善．
（1）求n的值；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；
（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加个相同的数值a．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了39.5．求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值．
【分析】（1）直接利用第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12，得出等式求出答案；
（2）利用从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家得出等式求出答案；
（3）利用n的值即可得出关于a的等式求出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：40n=12，解得：n=0.3；
（2）由题意可得：40+40（1+m）+40（1+m）2=190，
解得：m1=，m2=﹣（舍去），
∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：40（1+m）=40（1+50%）=60（家），
（3）设第一年用乙方案治理降低了100n=100×0.3=30，
则（30﹣a）+2a=39.5，解得：a=9.5，则Q=20.5．
设第一年用甲方案整理降低的Q值为x，
第二年Q值因乙方案治理降低了100n=100×0.3=30，
解法一：（30﹣a）+2a=39.5a=9.5
x=20.5
【点评】考查了一元二次方程和一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

3（2018•湖北黄石•8分）已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1﹣x2=2，求实数m的值．
【分析】（1）根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=2，和已知组成方程组，求出方程组的解，再根据根与系数的关系求出m即可．
【解答】解：（1）由题意得：△=（﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m＞0，
解得：m＜1，
即实数m的取值范围是m＜1；
（2）由根与系数的关系得：x1+x2=2，
即，
解得：x1=2，x2=0，
由根与系数的关系得：m=2×0=0．
【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式、一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容和根的判别式的内容是解此题的关键．
4. （2018•江苏盐城•10分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
23.【答案】（1）26
（2）解：解：设每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1200元，则平均每天销售数量为（20+2x）件，每件盈利为（40-x）元，且40-x≥25,即x≤15.根据题意可得（40-x）（20+2x）=1200，
整理得x2-30x+200=0,
解得x1=10,x2=20（舍去），
答：每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元。
【考点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据等量关系“原销售件数+2×降价数=降价后的销售件数”计算；（2）根据等量关系“每件盈利×销量=利润”，可设降价x元，则销量根据（1）的等量关系可得为（20+2x）件，而每件盈利为（40-x）元，利润为1200元，代入等量关系解答即可。
5. （2018•四川成都•6分）若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围.
【答案】由题知： .原方程有两个不相等的实数根， ， .
【考点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】根据已知条件此方程有两个不相等的实数根，得出b2-ac＞0,解不等式求解即可。
6（2018•北京•5分）关于的一元二次方程．
（1）当时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的，的值，并求此时方程的根．
【解析】（1）解：由题意：．
∵，
∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）答案不唯一，满足（）即可，例如：
解：令，，则原方程为，
解得：．
【考点】一元二次方程
7. （2018·新疆生产建设兵团·8分）先化简，再求值：（+1）÷，其中x是方程x2+3x=0的根．
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后根据x2+3x=0可以求得x的值，注意代入的x的值必须使得原分式有意义．
【解答】解：（+1）÷
=
=
=x+1，
由x2+3x=0可得，x=0或x=﹣3，
当x=0时，原来的分式无意义，
∴当x=﹣3时，原式=﹣3+1=﹣2．
【点评】本题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式的化简求值的计算方法．
8. （2018·重庆(A)·10分）在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造。
（1） 原计划是今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化和里程数至少是多少千米？
（2） 到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值。2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1 : 2，且里程数之比为2 : 1，为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入。经测算：从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%（a>0），并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值。
【考点】一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用
【解析】解：
设道路硬化的里程数至少是x千米。
则由题意得：
x≥4(50-x)
解不等式得：
x≥40
答：道路硬化的里程数至少是40千米。
由题意得：
2017年：道路硬化经费为：13万/千米，里程为：30km
道路拓宽经费为：20万/千米，里程为：15km
∴今年6月起：
道路硬化经费为：13（1+a%）万/千米，里程数：40（1+5a%）km
道路拓宽经费为：26（1+5a%）万/千米，里程数：10（1+8a%）km
又∵政府投入费用为：780（1+10a%）万元
∴列方程：
13(1+a%)×40(1+5a%)+26(1+5a%)×10(1+8a%)=780(1+10a%)
令a%=t，方程可整理为：
13(1+t)×40(1+5t)+26(1+5t)×10(1+8t)=780(1+10t)
520(1+t)(1+5t)+260(1+5t)(1+8t)=780(1+10t)
化简得：
2(1+t)(1+5t)+(1+5t)(1+8t)=3 (1+10t)
t(10t-1)=0
∴（舍去），.
∴a = 10
答：a的值为10。
【点评】
本题考查一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用。求出本题的关键是将道路硬化，道路拓宽的里程数及每千米需要的经费求出。
利用“道路硬化的里程数是道路拓宽里程数的4倍”列出不等式求解。
根据2017年道路硬化和道路拓宽的里程数及每千米经费，表示出6月起道路硬化及道路拓宽的里程数及每千米经费。表示出总费用列方程求解。
9．（2018年四川省南充市）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．
【考点】AB：根与系数的关系；AA：根的判别式．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）
=4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m，
∴+=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，
∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10，
∴m2﹣2m﹣3=0，
∴m=﹣1或m=3
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型．
10.（2018·广东广州·14分）已知抛物线 。
（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点。
（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在圆P上。①试判断：不论m取任何正数，圆P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标，若不是，说明理由；
②若点C关于直线 的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为 ，圆P的半径记为 ，求 的值。
【答案】（1）证明：当抛物线与x轴相交时，令y=0，得：
x2+mx-m-4=0
∴△=m2+4（2m+4）=m2+8m+16=（m+4）2
∵m＞0，
∴（m+4）2＞0，
∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点。
（2）解：①令y=x2+mx-2m-4=（x-2）（x+m+2）=0，
解得：x1=2，x2=-m-2，
∵抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），
∴A（2，0），B（-2-m，0），
∵抛物线与y轴交于点C，
∴C（0，-2m-4），
设⊙P的圆心为P（x0 ， y0），
则x0= = ，
∴P（ ，y0），
且PA=PC，则PA2=PC2 ，
则
解得 ，
∴P（ ， ），
∴⊙P与y轴的另一交点的坐标为（0，b）
则 ，
∴b=1，
∴⊙P经过y轴上一个定点，该定点坐标为（0，1）
②由①知，D（0，1）在⊙P上，
∵E是点C关于直线 的对称点，且⊙P的圆心P（ ， ），
∴E（-m，-2m-4）且点E在⊙P上，
即D，E，C均在⊙P上的点，且∠DCE=90°，
∴DE为⊙P的直径，
∴∠DBE=90°，△DBE为直角三角形，
∵D（0，1），E（-m，-2m-4），B（-2-m，0），
∴DB= ，
BE= = =
∴BE=2DB，
在Rt△DBE中，设DB=x，则BE=2x，
∴DE= = ，
∴△BDE的周长l=DB+BE+DE=x+2x+ =
⊙P的半径r= =
∴ = =
【考点】一元二次方程根的判别式及应用，二次函数图像与坐标轴的交点问题，两点间的距离，勾股定理，圆周角定理
【解析】【分析】（1）当抛物线与x轴相交时，即y=0，根据一元二次方程根的判别式△=b2-4ac=m2+4（2m+4）=m2+8m+16=（m+4）2＞0，从而得出该抛物线与x轴总有两个不同的交点.
（2）①抛物线与x轴的两个交点，即y=0，因式分解得出A（2，0），B（-2-m，0）；抛物线与y轴交点，即x=0，得出C（0，-2m-4）；设⊙P的圆心为P（x0 ， y0），由P为AB中点，得出P点横坐标，再PA=PC，根据两点间距离公式得出P点纵坐标，即P（ ， ）；设⊙P与y轴的另一交点的坐标为（0，b），根据中点坐标公式得b=1，即⊙P经过y轴上一个定点，该定点坐标为（0，1）.
②由①知，D（0，1）在⊙P上，由）①知⊙P的圆心P（ ， ），由圆周角定理得△DBE为直角三角形，再根据两点间距离公式得DB= ，BE= ，由BE=2DB，在Rt△DBE中，设DB=x，则BE=2x，根据勾股定理得DE= ，由三角形周长公式得
△BDE的周长l= ，又⊙P的半径r= ，从而得出 值.