浙江省五校联盟（杭州市第二中学等）2025-2026学年高一上学期12月教学质量检测数学试卷（Word版附解析）

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命题：杭二富春 审题：杭二钱江
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟
一．选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据绝对值不等式的解法，求得集合 A，根据一元二次不等式的解法，求得集合 B，根据并集运算
的概念，即可得答案.
【详解】由 ，解得 ，所以 ，
由 ，解得 ，所以 ，
所以 .
故选：C
2. 角 满足 ，则角 终边一定过第（ ）象限
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
【答案】D
【解析】
【分析】利用诱导公式以及各象限三角函数值的符号即可判断得出结论.
【详解】由 可得 ，
又 ，可知角 终边一定在第四象限.
故选：D
3. 对数 中实数 a 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
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【答案】C
【解析】
【分析】根据对数真数和底数的性质进行求解即可．
【详解】由题 .
故选：C.
4. 函数 在区间 上单调递增的一个必要不充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的单调性，确定若函数 在区间 上单调递增等价于 ，再
根据必要不充分条件的定义，逐项判断即可求解.
【详解】二次函数 的对称轴为 ，
函数在区间 上单调递增，所以 ，解得 ，
选项为函数 在区间 上单调递增 一个必要不充分条件，
则 是选项的真子集，所以 符合题意.
故选：C
5. 已知函数 恒成立，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得， 是函数 的最大值，由正弦函数的图像与性质求解即可.
【详解】由题意得， 是函数 的最大值，
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,得 ，
，又 ．
故选：A
6. 已知函数 ，若 恒成立，则 的最小值为（ ）
A. B. 0 C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】将函数分拆为两函数之积，根据它们的单调性可得两函数零点重合，则有 ，再利用基
本不等式可得答案.
【详解】将函数分拆为两函数之积， 都是递增函数，
要使得不等式恒成立，则两因式必须保持同号或为 0，
即可得两函数零点重合，则有 ，
即 ，当 时等号成立，
所以 的最小值为 2.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是将函数分拆为两函数之积，根据它们的单调性可得两函数零点重合.
7. 已知 是定义在 上的奇函数，当 、 且 时，都有 成
立， ，则不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
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【分析】对 进行变形，得出函数 的单调性，再利用函数的单调性和
奇偶性解不等式.
【详解】由 可得 ，设函数 ， ，
则 在 上单调递增，
又因为 为定义在 上的奇函数， ，所以 为偶函数， 在 上
单调递减，
而不等式 ，
又因为 ，所以 ，
所以不等式的解集为 .
故选：B
8. 若 ，则 的最小值为（ ）（参考： ， .）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知等式变形得出 ，结合基本不等式可得出 的最小值.
【详解】因为 ，则 ，
即 ，可得 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故 的最小值为 .
故选：C.
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二．多选题：本题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题所给的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对得 6 分，不分选对得部分分，有选错的得 0 分.
9. 给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）
A. 成立的条件是角 是锐角
B. 与 的终边相同
C. 的解集是
D. 若 是第二象限角，则 为第一象限或第三象限角
【答案】BD
【解析】
【分析】根据诱导公式，特殊角的三角函数值，终边相同的角、象限角的定义，逐项计算判断即可.
【详解】对于 A，根据诱导公式， 时， ，故 A 错误；
对于 B， ，所以 与 的终边相同，故 B 正确；
对于 C，由 可得 或 ，故 C 错误；
对于 D，若 是第二象限角，则 ，
所以 ，是第一象限或第三象限角，故 D 正确.
故选：BD.
10. 已知 为正实数，且 ，则（ ）
A. 的最大值为 8
B. 的最小值为 8
C. 的最小值为
D. 的最小值为
【答案】ABD
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【解析】
【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项求解判断.
【详解】对于 A，由 ，得 ，即 ，
解得 ，则 ，当且仅当 时取等号，A 正确；
对于 B， ，即 ，
解得 ，当且仅当 时取等号，B 正确；
对于 C，由 ，得 ，则 ，
当且仅当 时取等号，C 错误；
对于 D，由 ，得 ，且 ，
因此
，
当且仅当 ，即 时取等号，D 正确.
故选：ABD
11. 已知 定义域为 ， ，且 ，当 时， .则下列
说法正确的有（ ）
A. 直线 是 的对称轴
B. 在 上单调递减
C.
D. 设 与 图象的第 i 个交点为 （ ），若 与 的图象有 个
交点，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】依据题意判断函数的奇偶性，对称性，周期性，然后依据性质逐一判断即可.
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【详解】由题可知： ，可知函数关于 对称，又 ，可知函数为奇函
数，
所以 ，则 ，
即 ，所以 4 为函数 的一个周期.
对 A，由函数关于 对称，且 4 为函数 的一个周期，故 是 的对称轴，正确；
对 B， ，所以函数在 的单调性与函数在 单
调性相同，
由 ， ，且函数为 上的奇函数，所以函数 在 单调递增，错误；
对 C, ，则
又 ，所以
，正确；
对 D，函数 为 上的奇函数，函数 也为 上的奇函数，所以可知两函数图象在 轴的左
右两边交点个数相同，
且对应交点的横坐标互为相反数，且都过原点，所以 ，正确.
故选：ACD
二．填空题：本小题共 3 分，每小题 5 分，共 15 分.
12. 命题“ ， ，”的否定是____________
【答案】 ，
【解析】
【分析】根据全称命题的否定形式回答即可.
【详解】“ ， ”的否定为“ ， ”.
故答案为： ， .
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13. 已知函数 ，若函数 有 5 个不同 零点，
则实数 m 的取值范围为_____________
【答案】 或
【解析】
【分析】首先由方程 ，求得 或 ，再画出函数 的图象，再利用数形结合
求实数 的取值范围，即可求解.
【详解】令 ，
所以 或 ，如图，画出函数 的大致图象，
时， 与 的图象有 3 个交点，
所以 与 的图象只能有 2 个交点，则 或 ，
所以 或 .
故答案为： 或
14. 已知集合 ，集合 满足：①每个集合恰有 8 个元素② .
若集合 中元素最大值与最小值之和称为 的幸运数，记作 ，则 的最大值与
最小值之和为________.
【答案】210
【解析】
【分析】判断集合 中元素的最小值与最大值的可能情况，然后按照幸运数的定义求解即可.
【详解】因集合 满足：①每个集合恰有 8 个元素② .故集合 中一定分别含有
8 个不同数值.
当集合 中元素的最小值分别是 6，7，8 时，最大值为 29，22，15 时，幸运数的和
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最小，
此时， ，幸运数为 ； ，
幸运数为 ； 幸运数为 ，
则 取得最小值为 ；
当集合 中元素的最小值分别是 6，13，20 时，最大值为 29，28，27 时，幸运数的和
最大，
此时， ，幸运数为 ； ，幸
运数为 ； 幸运数为 ，
则 取得最大值为 .
故 的最大值与最小值之和为 .
故答案为：210.
四．解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 设集合 ．
（1）若 ，求 ；
（2）若“ ”是“ ”的充分条件，求实数 a 的取值范围．
【答案】（1） 或
（2） 或
【解析】
【分析】（1）求解二次不等式，得到集合 ，根据集合并集运算法则计算即可；
（2）由题可知 ，列出不等式进行计算即可．
小问 1 详解】
当 时， 或 ；
∵ ，
∴ 或 ；
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【小问 2 详解】
∵“ ”是“ ”的充分条件，∴ ，
∵ ，即 ，
∴ 或 ，∴ 或 ，
而 ，要使得 ，
需有 或 ，
∴ 或 ．
16. 已知函数 ．
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）求函数 在 上的最大值和最小值，并求出取得最值时对应 x 的取值．
【答案】（1）
（2）答案见详解
【解析】
【分析】（1）根据正弦型函数单调性的性质进行求解即可；
（2）根据正弦型函数的最值性质、运用换元法进行求解即可.
【小问 1 详解】
由 ，
所以函数 的单调递增区间为 ；
【小问 2 详解】
令 ，因 ，所以 ，
因 函数 在 单调递增，在 单调递减，
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在 ， ，
所以 ，
因此当 时，即当 时，函数 有最小值 ，
当 时，即当 时，函数 有最大值 .
17. 大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销 两种商品，据市场调查统计，当投资额为
万元时，经销 商品所获得的收益分别为 万元与 万元，其中 ，
，小王计划投入 10 万元全部用于经销这两种商品．
（1）假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益；
（2）如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益．
【答案】（1）答案见详解
（2） 商品投入 8 万元， 商品投入 2 万元，总收益最大值为 16 万元
【解析】
【分析】（1）由题意可知 ，分别代入 和 运算求解即可；
（2）设 商品投入 万元，则 商品投入 万元，分 和 两种情况，利用基本不等式
以及二次函数性质运算求解即可.
【小问 1 详解】
因为投入 10 万元，即 ，
若只经销 商品，则所获得的收益为 万元；
若只经销 商品，则所获得的收益为 万元.
【小问 2 详解】
设 商品投入 万元，则 商品投入 万元，
可知总收益 ，
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若 ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以在 上的总收益最大值为 16 万元；
若 ，则 ，
可知 的图象开口向下，对称轴为 ，则 ，
所以在 上的总收益最大值小于 万元；
因为 ，所以 商品投入 8 万元， 商品投入 2 万元，总收益最大值为 16 万元.
18. 已知函数 ， .
（1）求证： 为奇函数；
（2）解关于 的不等式 ；
（3）若 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇偶性定义判断可得答案；
（2）设 ，根据 在 上的单调性可得答案；
（3）原不等式等价为 对 恒成立，再利用基本不等式可得答案
.
【小问 1 详解】
函数 ，即 ，
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可得 ，解得 或 ，
可得 的定义域为 ，关于原点对称，
又 ，则 为奇函数.
【小问 2 详解】
不等式 ，即为式 ，
设 ，即 ，可得 在 上单调递减，
所以由 ，所以 ，解得 ，
所以原不等式的解集为 .
【小问 3 详解】
由题意 ，则 ，解得 ，
所以 恒成立，即 恒成立，
化为 ，即 对 恒成立
由 ，
当且仅当 ，即 时，取得等号，
所以 ，即 的取值范围是 .
19. 已知函数 的定义域为 D，对于给定的正整数 k，若存在 ，使得函数 满足：函数
在 上是单调函数且 的最小值为 ka，最大值为 kb，则称函数 是“倍缩函数”，区间
是函数 的“k 倍值区间”．
（1）判断函数 是否是“倍缩函数”？（只需直接写出结果）
（2）证明：函数 存在“2 倍值区间”；
（3）设函数 ， ，若函数 存在“k 倍值区间”，求 k 的值．
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【答案】（1）是，理由见详解
（2）证明见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）取 ，结合题意分析说明；
（2）根据题意分析可得 至少有两个不相等的实根，构建函数结合零点存在性定理分析证明；
（3）先根据单调性的定义证明 在 上单调递增，根据题意分析可得 在 内至少
有两个不相等的实根，根据函数零点分析运算即可得结果.
【小问 1 详解】
取 ，
∵ 在 上单调递增，
∴ 在 上的最小值为 ，最大值为 ，且 ，
故函数 是“倍缩函数”.
【小问 2 详解】
取 ，
∵函数 在 上单调递增，
若函数 存在“2 倍值区间”，等价于存在 ，使得 成立，
等价于 至少有两个不相等的实根，
等价于 至少有两个零点，
∵ ，且 在定义内连续不断，
∴ 在区间 内均存在零点，
故函数 存在“2 倍值区间”.
【小问 3 详解】
对 ，且 ，则 ，
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∵ ，则 ，
∴ ，即 ，
故函数 在 上单调递增，
若函数 存在“k 倍值区间”，即存在 ，使得 成立，
即 在 内至少有两个不相等的实根，
∵ 是方程 的根，则 在 内有实根，
若 ，则 ，即 ，且 ，
∴ ，即 .
【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法
（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解．
（2）分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．
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