浙江省杭州第二中学2025-2026学年高一上学期12月阶段性测试数学试卷含解析（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出，利用交集概念求出答案.
【详解】由题意得，，则．
故选：A．
2. 我们把称为取整函数，表示不超过x的最大整数．则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】若“”，则设，，其中分析充分性，再举出反例分析必要性即可.
【详解】由题意得，若“”，则设，，其中，
，成立，
即“”能推出“”，
又当时满足，但不满足，
即“” 不能推出“”，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断即可.
【详解】，，
，，
，
.
故选：D.
4. 如果，，，，，那么a，b，c大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由，可知，然后利用对数函数单调性即可得出答案
【详解】由，可知，又，
∴函数在定义域内单调递减，∴.
故选：B
【点睛】本题考查的是三角函数及对数函数的单调性，较简单.
5. 若，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平方关系将原式化成弦的齐次式，再化弦为切，解方程即得.
【详解】两边取平方得，，
则，
两边同除以得，
整理得到，解得，
故选：B．
6. 已知函数满足，其中表示，中最大的数，表示，中最小的数.则（ ）
A. 14B. 15C. 16D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，取可得，再利用赋值法计算即得.
【详解】由函数满足，
取，则，
因此，
，所以.
故选：B
7. 高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法.定义：，（从右往左计算）.已知可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据高德纳箭头表示法即可求解，进而根据对数的运算与指数的互化即可求解.
【详解】因为，故，取对数得，故，故最接近的是，
故选：C
8. 已知函数，则函数的零点个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】确定函数的值域，利用换元法令 ，则，则将函数的零点问题转化为函数的图象的交点问题，作函数图象，确定其交点以及其横坐标范围，再结合的图象，即可确定的零点个数.
【详解】已知，当时， ，
当时，，
作出其图象如图示：
可知值域为，设 ，则，
则函数的零点问题即为函数的图象的交点问题，
而，作出函数的图象如图示：
可知：的图象有两个交点，横坐标分别在之间，
不妨设交点横坐标为，
当时，由图象和直线可知，二者有两个交点，
即此时有两个零点；
当时，由图象和直线可知，二者有3个交点，
即此时有3个零点，
故函数的零点个数是5，
故选：B.
【点睛】本题考查了复合函数的零点个数的确定问题，综合性较强，涉及到函数的值域以及分段函数的性质的应用和数形结合的思想方法，解答的关键是采用换元法将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知，则函数的值可能是（ ）
A. 0B. C. 4D. 2
【答案】ABD
【解析】
【分析】对分四个象限讨论即可．
【详解】解：因，所以且，
当是第一象限角时：，，
，
当是第二象限角时：，，
，
当是第三象限角时：，，
，
当是第四象限角时：，，
，
所以函数的值域，
故选：ABD
10. 已知函数，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】函数，根据绝对值的性质将函数分段讨论其单调性等性质.已知且，计划先求出和的取值范围或者关系，再对每个选项进行分析判断.
【详解】对于函数，这是一个单调递增的指数函数.
函数，当，即时，；
当，即时，.
画出的图象，可以看到函数在上单调递减，在上单调递增，且.

因为，，所以，.
此时，移项可得，所以选项A正确.
由，根据基本不等式.
即，两边同时平方得，化简得，所以.
又因为，所以，选项B正确.
由图形知道，，所以选项C错误.
由得. ，令，.
则.
当时，，所以选项D正确.
故选：ABD.
11. 已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.下列说法正确的是（ ）
A. 不是“可分集合”
B. 是“可分集合”
C. 四个元素的集合可能是“可分集合”
D. 五个元素的集合不可能是“可分集合”
【答案】ABD
【解析】
【分析】去掉3，由“可分集合”的定义判断即可判断A,逐一去掉一个元素，列举即可可判断BD；不妨设，讨论当在集合，，，，中去掉元素、后，将剩余元素构成的集合，结合“可分集合”的定义进行分拆，得出等式，推出矛盾，即可判断D；
【详解】对于A，去掉3后，,2,不满足定义，,2,3,不是“可分集合”， A正确；
对于B，集合所有元素之和为49，
当去掉元素1时，剩下的元素之和为48，集合,5,7,与,的元素和相等，符合题意；
当去掉元素3时，剩下的元素之和为46，集合,9,与,7,的元素和相等，符合题意；
当去掉元素5时，剩下的元素之和为44，集合,3,7,与,的元素和相等，符合题意；
当去掉元素7时，剩下的元素之和为42，集合,9,与,5,的元素和相等，符合题意；
当去掉元素9时，剩下的元素之和为40，集合,3,5,与,的元素和相等，符合题意；
当去掉元素11时，剩下的元素之和为38，集合,7,与,5,的元素和相等，符合题意；
当去掉元素13时，剩下的元素之和为36，集合,3,5,与,的元素和相等，符合题意；
因此集合是“可分集合”， B正确；
对于C，不妨设，去掉，则，去掉，则，
于是，与矛盾，
因此,,,一定不是“可分集合”， C错误；
对于D，不妨设，
若去掉元素，将集合,,,分成两个交集为空集的子集，
且两个子集元素之和相等，则有，或者②，
若去掉元素，将集合,,,分成两个交集为空集的子集，
且两个子集元素之和相等，则有③，或者④，
由①③或②④得，矛盾；
由①④或②③得，矛盾，
因此集合,,,,不是“可分集合”， D正确．
故选：ABD．
【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：
1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；
2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.
3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. ______．
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式化简求值即可.
【详解】
.
故答案为：
13. 已知，则的值为____________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据对数的运算性质求解即可.
【详解】因为，
所以，可得 ，
即，
所以，即，
所以.
故答案为：.
14. 已知，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】由得到，根据，得到 ，，构造函数，利用其性质得，即．同理，代入原式化简即可.
【详解】因为，当且仅当时等号成立．
因为，
所以
所以
所以 ，
令，y在的图象如图所示：
所以，
所以，即．
同理，
故，
所以．
故答案为：
【点睛】本题考查基本不等式、不等式的性质以及双勾函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知.
（1）求的值；
（2）若是方程的两个根，求的值.
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解；
（2）利用韦达定理得到，从而得到，再由同角三角函数基本关系求出，即可得解.
【小问1详解】
因为，
所以，
所以，
解得；
【小问2详解】
因为是方程的两个根，
所以，
，
又，
.
16. 如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角为．
（1）当时，求弧的中点E到弦BC的距离，
（2）当为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）设半径为，由弧长公式及周长得，利用垂径定理结合解直角三角形可得；
（2）根据扇形面积公式结合基本不等式可求得扇环面积的最大值即可．
【小问1详解】
设内圆弧半径为，则，
所以，
所以，则，
设交于，
则由垂径定理得，，
当时，，所以，
所以，
即点E到弦BC的距离为．
【小问2详解】
由（1）得，
则，
，
当且仅当，即，取得最大值.
17. 已知函数为奇函数，.
（1）求实数的值；
（2），，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）由奇函数的性质得恒等式，解出参数并检验即可得解.
（2）首先得，，进一步通过换元， 并对进行分类讨论即可得解.
【小问1详解】
因为是奇函数，所以，
即，
整理得.
所以.
解得，
当时，，舍去，
当时，函数的定义域为，符合题意.
所以.
【小问2详解】
设，
根据题意可得，.
由（1）知，
当时，，故.
，
设，函数，.
①当时，，可得，符合题意；
②当时，，图象的对称轴为.
（i）当时，对称轴，
所以在区间上单调递减，故，
由，得，即，
所以；
（ii）当时，
若，即时，，
由，得，
所以；
若，即时，，
由，得，
所以；
综上所述，的取值范围是.
18. 已知函数.
（1）证明：函数在上单调递增；
（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围；
（3）比较与的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用单调性定义证明；
（2）因为，利用函数单调性求解不等式；
（3）根据函数的单调性可得，从而得解.
【小问1详解】
设，则，
所以，因为，所以，
所以，即.
所以函数在上单调递增.
【小问2详解】
显然，因为，
函数在上单调递增，所以，即恒成立，
所以.
所以的取值范围是.
【小问3详解】
因为，所以，故在上单调递增，
所以，又，
则，即.
所以.
【点睛】关键点点睛：第（2）问中，同构是解题关键.
19. 设函数.
（1）当时，求函数在上的最小值的表达式；
（2）已知函数在上存在零点，，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【详解】（1）将函数进行配方，利用对称轴与给定区间的位置关系，通过分类讨论确定函数在给定区间上的最小值，并用分段函数的形式进行表示；（2）设定函数的零点，根据条件表示两个零点之间的不等关系，通过分类讨论，分别确定参数的取值情况，利用并集原理得到参数的取值范围.
试题解析：（1）当时，，故其对称轴为.
当时，.
当时，.
当时，.
综上，
（2）设为方程的解，且，则.
由于，因此.
当时，，
由于和，
所以.
当时，，
由于和，所以
综上可知，的取值范围是.
考点：1.函数的单调性与最值；2.分段函数；3.不等式性质；4.分类讨论思想.