浙江省金华市部分示范高中2025-2026学年高一上学期1月素养检测数学试卷（Word版附解析）

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考生注意：
1．试卷分值：150 分，考试时间：120 分钟.
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对
应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区
域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
3．所有答案均要答在答题卡上，否则无效.考试结束后只交答题卡.
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，有且只有
一项符合题目要求.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解出集合 U，再根据补集的概念即可求解．
【详解】 ，又 ，
所以 ．
故选：B．
2. 若 ，则“ ”是“ 有意义”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
【答案】D
【解析】
【分析】 解得 ，即可判断.
【详解】由 有意义可知： ，
故“ ”是“ 有意义”的充要条件，
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故选：D
3. 已知 ，则 的值是（ ）
A. k B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意结合诱导公式运算求解即可.
【详解】因为 ，即 ，
所以 ．
故选：A.
4. 若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复合函数的单调性结合对数函数的定义域列不等式组求解即可.
【详解】令 ，由 且 可得 且 ，
所以 单调递减，
因为 在区间 上单调递增，
所以 ，解得 ，即 的取值范围是 .
故选：B
5. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
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【解析】
【分析】由已知结合两角和的余弦公式和同角三角函数的商数关系，可得 ，
，然后结合两角差的余弦公式和倍角公式求解即可．
【详解】已知 ， ，
则 ， ，
即 ，
则 ，
所以 .
故选：B．
6. 已知函数 ，则满足不等式 的 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性，结合函数单调性的判定方法，求得 为单调递增函数，再根据奇函数
的定义确定其为奇函数，由不等式 转化为 ，进而求得实数 的取值范围.
【详解】由函数 ，可得其定义域为 ，设 ，且 ，
则 ，
由指数函数 为单调递增函数，所以 ，
又因为 ， ，所以 ，
即 ，所以函数 为单调递增函数，
另一方面， ，
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故 也是奇函数，不等式 转化为 ，即 ，解得
，
故选：A.
7. 已知函数 ，函数 ，若任意的 ，均存在 ，
使得 ，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别计算出 在 上的值域及 在 上的值域，则可得 ，计算即可
得解.
【详解】 ，
由 ，则 ，
当 时，则 ，
则 ，
由任意的 ，均存在 ，使得 ，
则有 ，即 .
故选：C.
8. 若函数 在区间 上单调
递减，则实数 a 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由二倍角公式化简函数的解析式，求出函数的导数，通过函数的单调性，转化为不等式恒成立，
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构造函数，由二次函数的性质列出关于 a 的不等式组求解即可.
【详解】函数
，对
恒成立.
， 当 时， .
令 ，欲使 恒成立，
只需满足 ，当 时，恒成立，即 ，
设 ， ，
，当 时，等号成立，
即 .
故选：D
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 若 最小值为 3
B. 和 表示同一个函数
C. 若集合 满足 ，那么这样的集合 有 8 个
D 函数 过定点
【答案】AC
【解析】
【分析】根据基本不等式，分析计算，可判断 A 的正误；根据同一函数的定义，可判断 B 的正误；根据元
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素与集合的关系及子集个数的求法，可判断 C 的正误；由指数函数的性质可判断 D.
【详解】对于 A：由 ，
当且仅当 即 时取等号，故 A 正确；
选项 B： 与 定义域相同，对应关系不同，故不是同一个函数，故 B 错误；
选项 C：若集合 满足 ，
则集合 M 中一定含有元素 1,2，可能含有元素 3,4,5，
所以集合 M 的个数即为集合 的子集个数，有 个，故 C 正确；
对于 D，当 时， ，即过定点 ，故 D 错误.
故选：AC
10. 如图，点 是函数 图象与直线 相邻的三个交点，且
，则（ ）
A.
B.
C. 函数 在 上单调递减
D. 若将函数 的图象沿 轴平移 个单位，得到一个偶函数的图像，则 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
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【分析】令 求得 根据 求得 ，根据 求得 的
解析式，再逐项验证 BCD 选项.
【详解】令 得， 或 ， ，
由图可知： ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，故 A 选项正确，
所以 ，由 且 处在减区间，得 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
，故 B 错误.
当 时， ，
因为 在 为减函数，故 在 上单调递减，故 C 正确；
将函数 的图象沿 轴平移 个单位得 ，（ 时向右平移， 时向左
平移），
为偶函数得 ， ，
所以 ， ，则 的最小值为 ，故 D 正确.
故选：ACD.
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11. 函数 的定义域为 ，且对任意的实数 ，都有 ，且 ，则下
列说法正确的是（ ）
A. 为偶函数 B. 为周期函数且周期为 12
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用赋值法和偶函数的定义、周期函数的定义判断 ABC，利用周期性求和判断 D.
【详解】因为 ，
用 代替 可得 ，
令 ，得 ，即 ，
令 ，得 ，所以 ，C 正确；
用 替换 ，可得 ，所以 ，
所以函数 为偶函数，A 正确；
用 替换 ，可得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 ．
所以 ，
故 是以 12 为周期的周期函数，B 正确；
，所以 ；
，
所以 ，D 错误．
故选：ABC．
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
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12. 已知角 始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点 ，则
____________．
【答案】
【解析】
【分析】由任意三角函数定义可得 ，然后由二倍角余弦公式可得答案.
【详解】因为角 的始边与 x 轴的非负半轴重合，
终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点 ，
所以 ，则 ．
故答案为： .
13. 已知函数 ，若 ，则 ____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，利用指数和对数的运算求得答案.
【详解】由 ，可得 ，
即 ，也即 ，
且 ， ，
两边取对数得： ，解得 .
故答案为： .
14. 已知 ，函数 ，若对于任意实数 a，方程 有且只有一个实
数根，且 ，函数 的图象与函数 的图象有三个不同的交点，则 t 的取值范围
为______．
【答案】
【解析】
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【分析】先根据 有且只有一个实数根，结合 可求出 的值，画出 的图象，利用与
直线 有且只有三个不同的交点，可根据相切和过定点求出两个交点临界位置的 ，进而求出 的
取值范围.
【详解】因为对于任意实数 a， 有且只有一个实数根，且 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，则 的图象如图所示，
令 ，解得 （舍去），或 ，
若直线 过点 时，得 ，
此时直线 与 的图象有两个交点，
由 ，得 ，
当 ，即 时，直线 与 的图象有两个交点，
因为函数 的图象与函数 的图象有三个不同的交点，
所以 ，即 t 的取值范围为 ，
故答案 ：
【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查函数图象的应用，解题的关键是根据题意画
出函数图象，利用图象求解，考查数形结合的思想，属于较难题.
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 .
（1）求 的单调递减区间；
（2）求 在区间 上的值域.
【答案】（1） （ ）
（2）
【解析】
【分析】（1）用二倍角正弦公式结合辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的单调减区间计算求解；
（2）整体代换求出函数的最值进而得出值域.
【小问 1 详解】
由题意可得 .
令 （ ），
解得 （ ），
故 的单调递减区间为 （ ）.
【小问 2 详解】
，
因为 ，所以 .
当 ，即 时， 取得最大值，
最大值为 ；
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当 ，即 时， 取得最小值，
最小值为 .
故 在区间 上的值域为 .
16. 已知函数 ．
（1）若 ，求 在区间 上的值域；
（2）若 ，设 ，若对任意实数 ，不等式 恒成立，求实数 的
取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用换元法设 ，结合指数函数和二次函数的单调性可得；
（2）先由指数幂的运算得到 为奇函数，再判断其单调性，然后利用奇函数的性质结合二次函数的单
调性可得.
【小问 1 详解】
根据题意，若 ， ，
设 ，由于 ，则 ，
则 ，易得 ，即函数的值域为 .
【小问 2 详解】
根据题意，若 ， ，
易得 的定义域为 ，且 ，则 为奇函数
为 上的增函数， 为 上的减函数，故 在 上为增函数
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故
变形可得： ，即 恒成立
又由 ，必有 ，即 的取值范围为 .
17. 已知函数 ， ．
（1）求方程 的解；
（2）判断函数 的奇偶性与单调性；
（3）对 ， ，使得 ，求实数 m 的取值范围．
【答案】（1）
（2） 是奇函数，则 在 上单调递减
（3）
【解析】
【分析】（1）由对数运算性质结合题意可得 ，解之可得答案；
（2）由奇函数定义结合题意可判断 奇偶性，然后由复合函数单调性可得答案；
（3）设函数 ， 的值域为 A，由题可得 ，然后分类讨论 在 上的单
调性，可得 在 上的值域，据此可得答案.
【小问 1 详解】
由题意得 ，所以函数 的定义域为
由 ，得 ，解得 ．所以方程 的解为
【小问 2 详解】
，
所以函数 是奇函数.当 时， ，
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易知 在 上单调递增，又 在 上单调递减，
结合复合函数单调性，可得 在 上单调递减.
又函数 是奇函数，则 在 上单调递减；
【小问 3 详解】
由（2）易得 ，
设函数 ， 的值域为 A，由题意得 ．
.
当 ，即 时，函数 在 上递增，则 ，解得 ；
当 ，即 时， ，
令 ，得 ，无解：
当 ，即 时，函数 在 上递减，则 ，解得 ；
综上， .
18. 我们知道，若 ，则有不等式 成立（当且仅当 时等号
成立）．从
可以得到．即正数 a，b，c 的算
术平均数的平方不大于 a，b，c 平方的算术平均数．请运用这个结论解答下列三道题：
（1）求代数式 的最大值；
（2）已知 ，若不等式 恒成立，求实数 m 的取值范围；
（3）若 a，b， ，证明： ．
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【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由 ，即 ，由三个正
数的算术几何平均不等式求解即可；
（2）由 ，得 ，然后由
恒成立，分离参数求解即可；
（3）作差之后与零比较大小，结合三个正数的算术几何平均不等式证明即可.
【小问 1 详解】
当 时，有 ，
即 ，当且仅当 ，即 时等号成立．
而 ，故代数式 的最大值为 ．
【小问 2 详解】
当 时，有 ，
所以 ，即 ，当且仅当 时等号成立．
因此 的最小值为 ．
恒成立 恒成立 ．
故实数 m 的取值范围是 ．
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小问 3 详解】
因为 ，
所以
，
当且仅当 时等号成立．
故 a，b， ．
19. 如图是函数 图象的一部分．
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 的单调区间；
（3）记方程 在 上的根从小到大依次为 ，若
，试求 与 的值．
【答案】（1）
（2）单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ，
（3） ，
【解析】
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【分析】（1）根据函数图象可得 ，由周期求出 ，再根据函数过点 求出 ，即可得到函数解
析式；
（2）根据正弦函数的性质计算可得；
（3）依题意可得 ，由 的取值范围求出 的取值范围，令 ，
，即 ，结合正弦函数的图象及对称性计算可得.
【小问 1 详解】
由图可得 ，
函数 的最小正周期为 ，又 ，
则 ，所以 ，
又函数过点 ，所以 ，则 ，
则 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．
【小问 2 详解】
令 ， ，解得 ， ，
令 ， ，解得 ， ．
因此函数 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ， ．
【小问 3 详解】
方程 ，即 ，即 ，
因为 ，所以 ，
设 ，其中 ，即 ，
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结合正弦函数 的图象，可得方程 在区间 有 个解，即 ，
又 的对称轴为 ，
不妨设 个解从小到大依次为 ，
则 关于 对称， 关于 对称， 关于 对称，
所以 ， ， ，
即 ， ， ，
解得 ， ， ．
所以 ，
所以 ， ．
【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是换元转化为方程 在区间 上的解的个数，结合正
弦函数的图象及对称性计算得解.
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