浙江省杭州高级中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷（Word版附解析）

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一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 函数 的定义域为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 如图，一质点在半径为 1 圆 上以点 为起点，按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为
， 时到达点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 已知 是定义在 上的奇函数， ，当 时， ，则
（ ）
A. 3 B. 4 C. D. 5
5. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”
在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特
征，函数 的图像大致是（ ）
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A. B.
C. D.
6. 国家新能源车电池衰减规定是在质保期内，电池的性能衰减不能超过 ，否则由厂家免费为车主更换
电池．某品牌新能源车动力电池容量测试数据显示：电池的性能平均每年的衰减率为 ，该品牌设置的
质保期至多为（ ）（参考数据： ， ）
A. 12 年 B. 13 年 C. 14 年 D. 15 年
7. 当 时，若存在实数 ，使得 成立，则实数 的最小值为（ ）
A. 5 B. 8 C. 12 D. 16
8. 已知函数 恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A B. C. D.
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10. 已知函数 （ 且 ）的部分图象如图所示，则（ ）
A. B.
C. D. 函数 的零点小于 1
11. 定义在 上的函数 满足下列条件：（1） ；（2）当 时，
，则（ ）
A. B. 在 上单调递增
C. 当 时， D. 当 时，
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知实数 m，n 满足 ，则 ________．
13. 如图是在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，
由 4 个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为 ，大正
方形的面积为 1，小正方形的面积是 ，则 ___________．
14. 已知 ， ， ， ，则 __________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知 .求值：
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（1） ；
（2）
16. 已知函数 ．
（1）求 ；
（2）判断曲线 的图象是否中心对称图形，若是请写出对称中心坐标；
（3）如图所示，小杜同学画出了 在区间 上的图象，试通过图象变换，在图中画出 在
区间 上的示意图；
17. 已知函数 且 .
（1）若 ，函数 ，求 的定义域；
（2）若 ，求 取值范围.
18. 函数 ．
（1）若 ，求函数 零点；
（2）若函数 在 有两个不同的零点
①求实数 的取值范围；
②证明： ．
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19. 已知函数 ， ，其中 .
（1）判断 与 的奇偶性；
（2）证明： ；
（3）若对任意 ，存在 ，恒有 成立，求
a 的取值范围.
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