湖北省襄阳市第四中学2026届高三上学期1月月考数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数（其中i为虚数单位，）．若是纯虚数，则（ ）
A. B. C. 1D. 4
2. 已知是函数的导函数，且，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
4. 设随机变量，，，，则（ ）
A. B.
C D.
5. 中国戏曲中人物角色的行当分类，可以有生、旦、净、末、丑五大行当．现有3名男生和2名女生，每人要扮演某戏曲中的一个角色，五个行当均有人扮演，且生行、净行由男生扮演，旦行由女生扮演，则不同的人物角色扮演方式共有（ ）
A 6种B. 12种C. 24种D. 48种
6. 双曲线上存在四点，使得四边形是正方形，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，若关于的方程在上恰有一个实数根，则（ ）
A. B. C. D. 2
8. 等差数列前n项和为，已知，，则（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列关于说法正确的是（ ）
A. 抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量
B. 某人射击时命中的概率为，此人射击三次命中的次数服从两点分布
C. 小赵．小钱．小孙．小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则
D. 抛掷一枚质地均匀的骰子所得的样本空间为，令事件，，则事件A，独立
10. 如图，的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且.若点在外，，，则下列说法中正确的有（ ）

A. B.
C. 四边形面积的最大值为D. 四边形面积无最大值
11. 已知正四面体的棱长为，其外接球的球心为.点满足，，过点作平面行于和，平面分别与该正四面体的棱，，相交于点，，，则（ ）
A. 四边形的周长为定值
B. 四棱锥的体积的最大值为
C. 当时，平面截球所得截面的周长为
D. 当时，将正四体绕旋转后与原四面体的公共部分体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 集合，，则集合的子集个数为______．
13. 已知是单调递减等比数列，其前项和为，若，则___________．
14. 已知正实数满足，则的最小值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角对边分别为.若.
（1）若，求边上的中线的长；
（2）若是锐角三角形，求的取值范围.
16. 在如图所示的五面体中，共面，是正三角形，四边形为菱形，平面，点为中点.

（1）在直线上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由；
（2）请在下列条件中任选一个，求平面与平面所成二面角的正弦值
；.
17. 在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，一款无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注，成为了进博会的“明星展品”．体积仅有维生素胶囊大小，体积比传统心脏起搏器减小93%，重量仅约2克，拥有强大的电池续航能力，配合兼容1.5T/3.0T全身核磁共振扫描检查等创新功能．在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片生产，试产期每天都需同步进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测，选择哪种检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”和“1”，连续生成4次，把4次的数字相加，若和小于3，则该天的检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式．
（1）求该企业前三天的产品检测选择智能检测的天数X的分布列；
（2）当地政府为了检查该企业是否具有一定的智能化管理水平，采用如下方案：设表示事件“第n天该企业产品检测选择的是智能检测”的概率，若恒成立，认为该企业具有一定的智能化管理水平，将给予该企业一定的奖励资金，否则将没有该项奖励资金．请问该企业能拿到奖励资金吗？请说明理由．
18. 设，已知函数.
（1）若，判断在区间上的单调性；
（2）若，判断的零点个数，并给出证明；
（3）若，求正整数a的值.
19. 由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆“相似”，并将特征三角形的相似比称为这两个椭圆的相似比.已知椭圆，椭圆与的焦点在同一坐标轴上，且经过点，并与椭圆相似.
（1）求椭圆的方程.
（2）若直线与椭圆相切，且与椭圆交于两点，求证：的面积是定值.
（3）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点（在的上方），直线与椭圆交于两点（S在的上方）.是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.