2022-2023学年湖北省襄阳市第四中学高一上学期1月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省襄阳市第四中学高一上学期1月月考数学试题

一、单选题

1．已知全集，，（    ）

A． B．或

C． D．或

【答案】D

【分析】根据集合补集的运算法则即可求解.

【详解】因为，，

所以或，

故选：D.

2．（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】把要求的式子化简为，再由诱导公式代入即可得出答案.

【详解】.

故选：B.

3．若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用函数的定义，数形结合即可对选项进行判断.

【详解】选项A中，当时，，不符合题意，排除A；选项C中，存在一个x对应多个y值，不是函数的图象，排除C；选项D中，x取不到0，不符合题意，排除D.

故选：B.

4．下列不等式中成立的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】B

【分析】A，如时，，所以该选项错误；BCD，利用作差法比较大小分析得解.

【详解】A. 若，则错误，如时，，所以该选项错误；    

B. 若，则，所以该选项正确；

C. 若，则，所以该选项错误；

D. 若，则，所以该选项错误.

故选：B

5．命题“若，则”的否定是（    ）

A．若，则

B．存在一个实数，满足，但

C．若，则

D．存在一个实数，满足，但

【答案】B

【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可求解.

【详解】由题意知：原命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，

所以命题“若，则”的否定是：存在一个实数，满足，但，

故选：B.

6．若，，且，则的最小值为（    ）

A．9 B．6 C．3 D．12

【答案】A

【分析】根据基本不等式可得，解出，即可得出答案.

【详解】因为，，所以有，当且仅当时，等号成立.

又，所以有，整理可得，

解得或（舍去）.

所以，所以.所以当时，有最小值9.

故选：A.

7．已知，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用诱导公式求，再利用同角三角函数关系式求的值.

【详解】，

，，

.

故选：D

8．已知，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】对，，进行变形，构造，，求导后得到其单调性，从而判断出，，的大小.

【详解】，，，

令，，

则，

因为，所以，

令，，

在上恒成立，

故，

所以在上恒成立，

故在上单调递减，

所以，即

故选：D

【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中变形得到，，，所以构造，，达到比较大小的目的.

二、多选题

9．以下命题中不正确的是（    ）

A．用列举法表示为

B．的对称中心

C．周期函数不一定都有最小正周期

D．钟的时针和分针一天内会重合24次

【答案】ABD

【分析】根据集合的特征即可判断选项；利用正切函数的对称中心判断选项；利用周期的概念判断选项；根据钟的时针和分针的特点判断选项.

【详解】对于，因为，所以选项错误；

对于，因为正切函数的对称中心为，故选项错误；

对于，因为周期函数不一定有最小正周期，例如：常函数为常数，，所有非零实数都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以周期函数不一定都有最小正周期，故选项正确；

对于，因为一天小时中时针转圈，分针转圈，所以分针要超过时针的圈数是：（圈），故一天小时中时针与分针重合次，故选项错误，

故选：.

10．若实数，，满足．以下选项中正确的有（    ）

A．的最大值为

B．的最小值为

C．的最小值为

D．的最小值为

【答案】AD

【分析】利用基本不等式逐项进项检验即可求解.

【详解】因为实数，，所以（当且仅当时，也即时取等），整理可得：，故选项正确；

因为（当且仅当，也即时取等号），故选项错误；

因为，则有，

所以

（当且仅当，也即时取等号）因为，所以等号取不到，故选项错误；

因为，则有，

所以（当且仅当，也即时取等号），故选项正确，

故选：.

11．我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则为的对称中心

B．若，则为偶函数

C．函数图像的对称中心为

D．函数的图像关于成轴对称的充要条件是函数为偶函数

【答案】BCD

【分析】根据题目中的定义和函数的奇偶性，对称性特点即可求解.

【详解】对于选项A：

，为的对称中心，

则为奇函数，

而，

令，

易证不为奇函数，

故选项A错误；

，，

令，

易证为偶函数，

所以为偶函数.

故选项B正确；

函数若图像的对称中心为，

为奇函数，

令，

所以，

故选项C正确；

函数的图像关于成轴对称关于轴对称，所以函数为偶函数，

反之亦成立，

故选项D正确.

故选：BCD.

12．已知函数，下列说法正确的有（    ）

A．若，则在上单调递减

B．若在上有且仅有3个零点，则

C．若把的图象向右平移个单位长度后得到的函数为偶函数，则的最小值为

D．若，且在区间上有最大值无最小值，则或

【答案】ABD

【分析】根据三角函数的单调性、零点、图象变换、奇偶性、最值等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项：当时，，由得，

在上单调递减，正确；

B选项：若在上有且仅有3个零点，令，解得，，

所以，解得，正确；

C选项：平移后解析式为，由题意得，，解得，

当时，，错误；

D选项：因为，所以是的一条对称轴，且在处取得最大值，

所以且，，所以，，或，正确.

故选：ABD

三、填空题

13．学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.那么只参加游泳一项比赛的有____人.

【答案】9

【分析】根据韦恩图计算得到答案.

【详解】只参加游泳一项比赛的有：.

故答案为：

14．若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为________.

【答案】

【分析】对分成和两种情况进行分类讨论，结合判别式，求得的取值范围.

【详解】当时，，满足题意；

当时，

则，即，

解得：，

综上：.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查一元二次方程恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.

15．三个变量随变量变化的数据如下表：

其中关于呈指数增长的变量是_____

【答案】

【分析】根据指数函数的性质得到答案.

【详解】指数型函数呈“爆炸式”增长.

从表格中可以看出，三个变量，，，的值随着的增加都是越来越大，

但是增长速度不同，相比之下，变量的增长速度最快，可知变量关于x呈指数型函数变化.

故答案为：

16．已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】由题意可得函数在[2，＋∞）时的值域包含于函数在（−∞，2）时的值域，利用基本不等式先求出函数在x∈[2，＋∞）时的值域，当x∈（−∞，2）时，对a分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而求出a的取值范围．

【详解】解：设函数的值域为，函数的值域为，

因为对任意的，都存在唯一的，满足，

则，且中若有元素与中元素对应，则只有一个.

当时，，

因为，当且仅当，即时，等号成立，

所以，

当时，

①当时，，此时，

，解得，

②当时，，

此时在上是减函数，取值范围是，

在上是增函数，取值范围是，

，解得，

综合得.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题即有恒成立问题，又有存在性问题，最后可转化为函数值域之间的包含关系问题，最终转化为最值问题，体现了转化与化归的思想.

四、解答题

17．求下列各式的值：

(1)；

(2)；

(3)．

【答案】(1)

(2)

(3)0

【分析】（1）根据有理数指数幂的运算的法则，即可求解.

（2）利用对数的运算法则和换底公式即可求解.

（3）利用诱导公式化简表达式，即可求解.

【详解】（1）原式.

（2）原式

.

（3）原式

.

18．已知函数，．

(1)若的解集为，求a的值；

(2)求关于x的不等式的解集．

【答案】(1)2

(2)答案见解析

【分析】（1）由不等式的解集得到和1是的两个根，由韦达定理得到方程组，求出a的值；

（2）对不等式进行变形得到，分，和三种情况，求出不等式的解集.

【详解】（1）若的解集为，则和1是的两个根，

则，解得a＝2；

（2）由得，即，

当，即时，不等式的解集为或；

当，即时，不等式可化为，不等式的解集为；

当，即时，不等式的解集为或；

综上：当时，不等式的解集为或；

当时，不等式解集为；

当时，不等式的解集为或.

19．已知函数，.

(1)求的最小正周期及单调递增区间；

(2)求在区间上的最大值和最小值．

【答案】(1)，（）

(2)最大值为，最小值为

【分析】（1）根据正弦函数的性质求解即可；

（2）令，，结合正弦函数的图象和性质即可求解.

【详解】（1）函数，，

所以函数的最小正周期，

因为的单调递增区间为，，

令，，解得：，，

所以函数的单调递增区间为（）.

（2）当时，，

令，，

则在上单调递增，在上单调递减，

所以，

又当时，，当时，，

所以，

综上：在区间上的最大值为，最小值为.

20．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数．应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其它扣除．

其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元．税率与速算扣除数见下表：

(1)设全年应纳税所得额为（不超过300000元）元，应缴纳个税税额为元，求；

(2)小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳的基本养老金、基本医疗保险费、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其它扣除是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？

(3)设小王全年综合所得收入额为（不超过521700元）元，应缴纳综合所得个税税额为元，求关于的函数解析式；并计算小王全年综合所得收入额由189600元增加到249600元，那么他全年缴纳多少综合所得个税？

注：“综合所得”包括工资、薪金，劳务报酬，稿酬，特许权使用费；“专项扣除”包括居民个人按照国家规定的范围和标准缴纳的基本养老保险、基本医疗保险费、失业保险等社会保险费和住房公积金等；“专项附加扣除”包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等支出；“其他扣除”是指除上述基本减除费用、专项扣除、专项附加扣除之外，由国务院决定以扣除方式减少纳税的优惠政策规定的费用．

【答案】(1)

(2)元

(3)；5712元

【分析】（1）由税率与速算扣除数表列分段函数即可；

（2）根据公式计算即可；

（3）先求出小王全年应纳税所得额（注意讨论的情况），再结合分类讨论即可.

【详解】（1）根据税率与速算扣除数表，可得.

（2）小王应纳税所得额为元.

则小王全年应缴纳综合所得个税为：.

（3）小王全年应纳税所得额为，

由，则有.

则当；

当；

当；

当.

故关于的函数解析式为.

故当时，.

∴小王全年应缴纳综合所得个税为5712元.

21．已知函数是定义域为的奇函数，当时，．

(1)求出函数的解析式；

(2)从奇函数的定义出发，证明函数是奇函数的充要条件是它的图像关于原点对称；

(3)已知奇函数在上单调递减，证明在上单调递减．

【答案】(1)；

(2)证明见详解；

(3)证明见详解.

【分析】（1）由奇函数的性质，即可得出在时的解析式；

（2）先证充分性，设为任一点，则根据已知可得关于原点对称点也在的图象上，进而推得，即可证明奇函数；再证必要性，由奇函数性质可得满足函数解析式，即在函数的图象上；

（3），由已知可得，根据奇函数的性质可得，又，根据函数的单调性即可证明在上单调递减．

【详解】（1）解：，则，.

因为函数是定义域为的奇函数，所以有，

所以，

所以函数的解析式为.

（2）证明：充分性：设是函数图象上任意一点，则.

因为函数的图象关于原点对称，所以点关于原点的对称点也在的图象上，即，即.

所以对，都有，即.

所以函数是奇函数；

必要性：设是函数图象上任意一点，则.

记点关于原点对称的点为，则.

因为函数是奇函数，所以，即，所以，所以，所以点在函数的图象上，所以的图像关于原点对称.

（3）证明：.

因为在上单调递减，所以有.

又，所以.

因为是奇函数，所以，，

又，所以，所以.

即，有成立，

所以在上单调递减．

22．已知为偶函数，为奇函数，且满足.

（1）求、；

（2）若方程有解，求实数的取值范围；

（3）若，且方程有三个解，求实数的取值范围.

【答案】（1），；（2）；（3）.

【分析】（1）由已知条件可得出、的等式组，由此可解得这两个函数的解析式；

（2）令，分析可知函数在上有零点，分、两种情况讨论，结合二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围；

（3）作出函数的图象，分析可知方程有两个不等的实根，从而方程有且只有一个根，数形结合可求得实数的取值范围.

【详解】（1）因为为偶函数，为奇函数，由已知可得，

即，所以，，解得；

（2）由可得，

令，当且仅当时，等号成立，则，

故有，其中，

令，其中，则函数在上有零点，

①当时，即当时，则在上单调递增，所以，，不合乎题意；

②当时，即当时，则有，解得，此时.

综上所述，实数的取值范围是；

（3），作出函数的图象如下图所示：

由可得，

由图可知，方程有两个不等的实根，

由题意可知，方程有且只有一个根，故或，解得或.

因此，实数的取值范围是.