2025-2026学年浙江省衢州市柯城区名校九年级上学期期中数学试卷（解析版）

这是一份2025-2026学年浙江省衢州市柯城区名校九年级上学期期中数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1.“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是( )
A.必然事件B.随机事件
C.确定事件D.不可能事件
【答案】B
【解析】随机事件.
根据随机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断：
抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件.故选B.
2.若，则的值为（ ）
A.B.3
C.D.4
【答案】C
【解析】∵，
设，，
∴．
故选：C．
3.已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A.3B.4
C.5D.6
【答案】D
【解析】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d>r.
当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符.
故选D.
4.已知圆内接四边形中，：：：：则的大小是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】圆内接四边形对角互补，
，．
：：：：，设，，．
，
解得．
．
故选：B．
5.在中，，，，则的值是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】如图：
∵在中，，，，
∴，
∴，
故选：C．
6.如图，在△ABC中，DE∥AC，若AD=4，BD=8，CE=3，则BC的长为（ ）．
A.9B.8
C.6D.4
【答案】A
【解析】∵DE∥AC，AD=4，BD=8，CE=3，
∴，即，
∴BE=6，
∴BC=BE+CE=9，
故选：A．
7.如图，二次函数为常数的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程为常数的两实数根是（ ）
A.，B.，
C.，D.，
【答案】B
【解析】二次函数为常数的图象的对称轴为直线，
二次函数为常数的图象与x轴的一个交点为，
二次函数为常数的图象与x轴的另一个交点为，
关于x的一元二次方程为常数的两实数根是，．
故选：B．
8.如图，将以点为中心顺时针旋转得到，若点的对应点恰为边的中点，，则的长为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】∵点D是的斜边的中点，
∴，
由旋转可得，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴由旋转可得，
∵点D是的中点，
∴，
∴在中，，
∴．
故选：C
9.《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深等于1寸，锯道长1尺，则圆形木材的直径是（ ）（1尺=10寸）
A.12寸B.13寸
C.24寸D.26寸
【答案】D
【解析】连接OA、OC，如图：
由题意得：C为AB的中点，
则O、C、D三点共线，OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝5（寸），
设圆的半径为x寸，则OC＝（x﹣1）寸．
在Rt△OAC中，由勾股定理得：52+（x﹣1）2＝x2，
解得：x＝13．
∴圆材直径为2×13＝26（寸）．
故选：D
10.如图，在平面直角坐标系中，等腰顶点A在x轴的正半轴上， 且， 将绕点O逆时针旋转，每次旋转，第次旋转结束时，点B的坐标为 （ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】将绕点O逆时针旋转，每次旋转，
∵，
∴每旋转4次回到初始位置，
∵，
即次旋转相当于旋转个周期后再旋转2次，即如图的位置．
∵绕点O逆时针旋转得到，
∴，
∴，
过点作轴于点H，
，
在中，，
∴，
，
∴的坐标为．
故选：D．
二、填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分）
11.已知一个正多边形的内角是，它是______边形．
【答案】9
【解析】
设正多边形的边数是，由内角和公式，得，
，
解得：，
故答案为：9．
12.把抛物线向上平移个单位后得到抛物线解析式是：________．
【答案】
【解析】∵抛物线y=2x2的顶点坐标是（0，0），
∴平移后的抛物线的顶点坐标是（0，1），
∴得到的抛物线解析式是y=2x2+1.
故答案为y=2x2+1.
13.在一个不透明的口袋中装有3个绿球、2个黑球和1个红球，它们除颜色外其余均相同，若从中随机摸出一个球，它是黑球的概率为______．
【答案】
【解析】∵袋中装有3个绿球，2个黑球和1个红球，它们除颜色外其余都相同，
∴从袋中摸出一个黑球的概率是：
，
故答案为：．
14.如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，点在轴正半轴上，是以点为位似中心，在第三象限内与的相似比为的位似图形．若点的坐标为，则点的坐标为 __．
【答案】
【解析】是以点为位似中心，在第三象限内与的相似比为的位似图形．若点的坐标为，
点的坐标为，，即点的坐标为，
故答案为：．
15.设二次函数，当时，函数有最小值，则的值为 _______．
【答案】
【解析】，
二次函数的对称轴为直线，
，
抛物线开口向上，
分三种情况讨论：
①当时，
即时，此时时，函数有最小值，
将代入，得：
，
解得：，
与相矛盾，不符合题意，故舍去；
②当时，
即时，顶点处取最小值，
，
解得：或（不符合题意，故舍去），
；
③当时，
即时，此时时，函数有最小值，
将代入，得：
，
解得：，
与相矛盾，不符合题意，故舍去；
综上，的值为，
故答案为：．
16.在中，，，斜边上一点E满足，连结．
（1）的长为______．
（2）点F是射线上的点，连结，的一个内角与相等，则的长为______．
【答案】 ①. ②.或
【解析】（1）过点C作于点D，如图1所示：
在中，，，，
由勾股定理得：，
由三角形的面积公式得：，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：；
（2）是一个外角，
，
当点F在射线上，的一个内角与相等时，有以下两种情况：
①当时，过点A作于点K，过点B作，交的延长线于点H，如图2所示：
，
由（1）可知：，，，，，
，
由的面积公式得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在和中，
，，
，
，
，
，
，
；
②当时，过点B作于点H，如图3所示：
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，即，
由①可知：，
综上所述：的长为或
三、解答题（本大题共有8小题，共72分．第17~21题每题8分，第22~23题每题10分，第24题12分）
17.（）计算：
（）已知线段是线段的比例中项线段，若，，求线段的长．
解：（1）
．
（）∵线段是线段的比例中项线段，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴线段的长为．
18.防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园．
（1）小明从A测温通道通过的概率是________；
（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率．
解：(1) 因为共开设了A、B、C三个测温通道，小明从A测温通道通过的概率是，
故答案为：．
(2)由题意画出树状图：
由图可知，小明和小丽从同一个测温通道通过的概率=．
19.在的网格中，的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图．
（1）在图1网格中画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上．
（2）图2网格中，在线段上找到点Q，使（保留画图痕迹，不写画法）．
解：（1）如图所示，即为所求：
（2）如图所示，点Q即为所求：
20.已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，．
（1）求函数表达式．
（2）判断点是否在这个二次函数图象上，并说明理由．
解：（1）∵二次函数（b，c为常数）的图象经过点，，
∴，
解得：，
∴二次函数表达式为；
（2）点不在这个二次函数图象上，理由如下：
当时，，
∴点不在这个二次函数图象上．
21.如图，在中，是边上的一点，且．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
解：（1）证明：，，
．
（2），
，即，
，
．
22.如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
解：（1）证明：连接，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
而，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
23.已知抛物线
（1）抛物线的对称轴为直线，且经过点
①求抛物线的函数表达式．
②若点，都在此抛物线上，求m的值．
（2）若点落在此抛物线上，求证：．
解：（1）①抛物线的对称轴为直线，且经过点，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
②∵点，都在此抛物线上，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵点落在此抛物线上，
∴，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，∴．
24.[初步探究]
（1）如图1，在等腰中，，D是上的点，连结，将绕点A逆时针旋转并延长，交延长线于点，
①求证：；
②若，求值．
[拓展提升]
（2）如图2，在等腰中，，点D，E为边上两点，，连结，，求的长．
解：（1）①证明：在等腰中，，
∴，
，，
，
又，；
②，
故设，，，
由勾股定理可得，
设，由，
∴，∴，
即，解得，
故；
（2）为等腰，，
，
，，
又，，
作于点F，如图2所示，
设，
，
，，，
，
，即，
整理可得，
解得或（不合题意，舍去），
故的长为．