【数学】 浙江省衢州市江山市2024-2025学年九年级上学期期末试卷 （解析版）

这是一份【数学】 浙江省衢州市江山市2024-2025学年九年级上学期期末试卷 （解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. “抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（ ）
A. 必然事件B. 随机事件C. 确定事件D. 不可能事件
【答案】B
【解析】抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件.故选B.
2. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
，
故选：B．
3. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符.
故选D.
4. 已知圆内接四边形中，：：：：则大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】圆内接四边形对角互补，
，．
：：：：，设，，．
，
解得．
．
故选：B．
5. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（ ）
A. 28°B. 30°C. 43°D. 60°
【答案】A
【解析】由题意得∠AOB=86°-30°=56°
则∠ACB∠AOB=28°
故选A.
6. 生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（ ）
A. 1．24米B. 1．38米C. 1．42米D. 1．62米
【答案】A
【解析】由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2，
∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．
故答案为：A
7. 如图，二次函数为常数的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程为常数的两实数根是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】二次函数为常数的图象的对称轴为直线，
二次函数为常数图象与x轴的一个交点为，
二次函数为常数的图象与x轴的另一个交点为，
关于x的一元二次方程为常数的两实数根是，．
故选：B．
8. 如图，将以点为中心顺时针旋转得到，若点的对应点恰为边的中点，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据旋转的性质，得，
点是的中点，
，
在中利用勾股定理，得，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
故选：C．
9. 二次函数（为常数，）的自变量与函数对应值如表：
若，则点所在象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】由表格可知，当和时，均为，则对称轴为．
当时，且，说明顶点为最低点，抛物线开口向上，因此．
当时，，代入函数得：
由和，
因此，点的坐标为，横纵坐标均为负数，位于第三象限．
故选：C．
10. 如图，赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形连结并延长，交于点，交于点连结，，若要求出的面积，只需知道（ ）
A. 的面积B. 的面积
C. 的面积D. 的面积
【答案】D
【解析】过点作于点，如图所示：

设，，，
依题意得：，，，，，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
，
，
，
，
若要求出的面积，只需知道的面积即可．
故选：D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 把抛物线向上平移个单位后得到的抛物线解析式是：________．
【答案】
【解析】∵抛物线y=2x2的顶点坐标是（0，0），
∴平移后的抛物线的顶点坐标是（0，1），
∴得到的抛物线解析式是y=2x2+1.
故答案为y=2x2+1.
12. 已知线段，，线段c是线段a，b的比例中项，则______．
【答案】4
【解析】线段c是线段a，b的比例中项，
，
，，
，
而，
故答案为：
13. “头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表：
请估计该工厂生产10000个头盔，合格的头盔数有__________个．
【答案】9600
【解析】根据表格可知，合格头盔的频率逐渐稳定在，
估计该工厂生产10000个头盔，合格的头盔数有（个），
故答案为：9600．
14. 如图，折扇的骨柄长为，扇面宽度为、，折扇张开的角度为，则折扇扇面的面积为______（结果保留）．
【答案】
【解析】，，
，
折扇张开的角度为，
折扇扇面的面积为．
故答案为：．
15. 设二次函数，当时，函数有最小值，则的值为 _______．
【答案】
【解析】，
二次函数的对称轴为直线，
，
抛物线开口向上，
分三种情况讨论：
①当时，
即时，此时时，函数有最小值，
将代入，得：
，
解得：，
与相矛盾，不符合题意，故舍去；
②当时，
即时，顶点处取最小值，
，
解得：或（不符合题意，故舍去），
；
③当时，
即时，此时时，函数有最小值，
将代入，得：
，
解得：，
与相矛盾，不符合题意，故舍去；
综上，的值为，
故答案为：．
16. 在中，，，斜边上一点E满足，连结．
（1）的长为______．
（2）点F是射线上的点，连结，的一个内角与相等，则的长为______．
解：（1）过点C作于点D，如图1所示：
在中，，，，
由勾股定理得：，
由三角形的面积公式得：，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：；
（2）是的一个外角，，
当点F在射线上，的一个内角与相等时，有以下两种情况：
①当时，过点A作于点K，过点B作，交的延长线于点H，如图2所示：
，
由（1）可知：，，，，，
，
由的面积公式得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在和中，
，，
，
，
，
，，
；
②当时，过点B作于点H，如图3所示：
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，即，
由①可知：，
综上所述：的长为或
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 小磊的一道错题如图所示，请仔细观察并解决以下问题．
（1）错误步骤：______填最先出错的步骤序号即可
（2）写出正确解答步骤．
（1）解：错误的步骤是：①，
故答案为：①；
（2）解：正确解答步骤为：
．
18. 某校举办手抄报评比，组委会将同学们交来的作品分为四组，并对每一组的件数进行统计．已知，从第一组至第四组的作品数量之比依次为，第三组的件数是，请回答以下问题：
（1）经评比，第二组和第四组分别有件和件作品获奖，那么你认为这两组中哪个组获奖率较高？为什么？
（2）手抄报评比结束后，组委会决定从件最优秀的作品，，，中选出两件进行全校展示，请用树状图或列表法求出刚好展示，的概率．
（1）解：第四组的获奖率较高．理由如下：
设第四组的作品数量为件，则第一组的作品数量为件，第二组的作品数量为件，第三组的作品数量为件，
，
解得：，
第二组的作品数量为件，
第四组的作品数量为件，
第二组的获奖率为，第四组的获奖率为，
∵，
第四组的获奖率较高；
（2）解：列表如下：
共有种等可能的结果，其中刚好展示，的结果有：，，共种，
刚好展示，的概率为．
19. 在的网格中，的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图．
（1）在图1网格中画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上．
（2）在图2的网格中作出与相似的最小格点．
（1）解：如图1，即为所求．
（2）解：如图2，即为所求．
20. 如图，等腰三角形中，，记顶角为，以腰为直径作半圆，交于点D，交于点
（1）若，求的度数．
（2）若，，求直径的长．
（1）解：连接，，
以腰为直径作半圆，
，
为，，
，
，
的度数为；
（2）解：，
设，则，
在中，，
，
在中，，
，解得负值舍去，
，
直径的长为
21. 已知抛物线
（1）抛物线的对称轴为直线，且经过点
①求抛物线的函数表达式．
②若点，都在此抛物线上，求m的值．
（2）若点落此抛物线上，求证：．
（1）解：①抛物线的对称轴为直线，且经过点，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
②∵点，都此抛物线上，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵点落在此抛物线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
22. 某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场整个赛道长．小龙从滑雪赛道顶端处下滑，滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足某种函数关系，测得部分数据如表所示：
（1）根据表格数据，在如下坐标系中描点、连线，猜想y与t之间满足哪一类函数关系，并写出y与t之间的函数表达式不要求写出自变量的取值范围
（2）小龙滑完整个赛道需要耗时多久？
（3）滑雪者小游在小龙滑行后也从滑雪赛道顶端处下滑且滑完全程，已知小游滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足函数关系在小龙到达终点前，小游能否追上小龙，若能，试计算此时小游的滑雪时间t的值；若不能，请说明理由．
解：（1）图象如下：由图象得该函数为二次函数，设，
把代入得：，
解得：，
；
（2）当时，，
解得：或不合题意，舍去，
答：小龙滑完整个赛道需要耗时10分钟；
（3）当时，
解得：或不合题意，舍去，
∵，
小游能追上小龙，此时小游的滑雪时间为
23. 【初步探究】
（1）如图1，在等腰中，，D是上的点，连结，将绕点A逆时针旋转并延长，交延长线于点，
①求证：；
②若，求的值．
【拓展提升】
（2）如图2，在等腰中，，点D，E为边上两点，，连结，，求的长．
（1）①证明：在等腰中，，
∴，
，，
，
又，
；
②解：，
故设，，，
由勾股定理可得，
设，由，
∴，
∴，
即，解得，
故；
（2）解：为等腰，，
，
，
，
又，
，
作于点F，如图2所示，
设，
，
，，，
，
，即，
整理可得，
解得或（不合题意，舍去），
故的长为．
24. 是等腰的外接圆，，的直径为10，点D是弧上的一点，连接，过点A作于点
（1）如图1，若点D在上，，求的度数（用含的代数式表示）．
（2）在（1）的条件下，若，求．
（3）若弦经过圆心O，连接，且，求的长．
解：（1）连接并延长，交于点H，如图，
，
，
，
，，
，
，
；
（2）连接并延长，交于点H，交于点F，连接，如图，
由（1）知：，
，
，
为的直径，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
；
（3）连接并延长交于点G，如图，
，
设，则，，
，
，
，
弦经过圆心O，
为的直径，
，
，
，
，
，
的直径为10，
，，，
，，
，
，
或
经检验，它们都是原方程的根，但负数不合题意，舍去，
，
，
，
，
，
…
0
…
…
…
抽查的头盔数n
100
200
300
500
800
1000
3000
合格的头盔数m
95
194
289
479
769
960
2880
合格头盔的频率







…①
…②
…③
滑行时间
0
1
2
4
滑行距离
0
2
6
20