2025~2026学年浙江省衢州市柯城区名校中学九年级（上）10月月考数学试题（解析版）

这是一份2025~2026学年浙江省衢州市柯城区名校中学九年级（上）10月月考数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列关于x的函数中，属于二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、不属于二次函数，故本选项不符合题意；
B、属于二次函数，故本选项符合题意；
C、不属于二次函数，故本选项不符合题意；
D、不属于二次函数，故本选项不符合题意；
故选：B
2. 下列事件中，是必然事件的是（ ）
A. 打开电视机，正在播放新闻
B. 通过长期努力学习，你会成为数学家
C. 下雨天，每个人都打雨伞
D. 抛掷两枚骰子一次，朝上面的两个点数和小于15
【答案】D
【解析】A、打开电视机，正在播放新闻是随机事件，因为打开电视时可能播放新闻，也可能播放其他节目，不是必然发生的；
B、通过长期努力学习，成为数学家是随机事件，努力学习不一定就会成为数学家，存在多种可能性；
C、下雨天，每个人都打雨伞是随机事件，下雨天有人可能打雨伞，也有人可能不打，不是必然的；
D、抛掷两枚骰子一次，骰子的最大点数是6，两枚骰子最大点数和为，所以朝上面的两个点数和必然小于15，是必然事件．
故选：D．
3. 抛物线的顶点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，
顶点坐标．
故选：B．
4. 已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P在（ ）
A. 圆内B. 圆上
C. 圆外D. 不能确定
【答案】C
【解析】由题意知，，
∴，
∴点P在外．
故选：C．
5. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的新抛物线的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：．
故选：D．
6. 二次函数的图象与x轴的交点有（ ）
A. 0个B. 1个
C. 2个D. 3个
【答案】C
【解析】令，
则，
，
方程有2个不相等的实数根，
所以二次函数的图象与x轴的交点有2个．
故选：C．
7. 已知点，，在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵点关于对称轴的对称点为，，
∴，
故选A．
8. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种，
∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为．
故选：B．
9. 二次函数图象上的两点与关于对称轴对称，则（ ）
A. ；
B.
C. ；
D. ；
【答案】A
【解析】在二次函数中，，所以对称轴为，
因为点与关于对称轴对称，所以两点到对称轴的距离相等，即，由此得，
又因为关于对称轴对称的点纵坐标相等，所以．
故选：A．
10. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设为x（单位：），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项不正确的是（ ）
A. B.
C. 点在该函数图象上D. 点C的纵坐标为240
【答案】D
【解析】如图，作，当时，动点运动到点的位置，
则由题意和图象可知，当点运动到点的时候，最小，
即：，，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，故选项A正确；
∴，，
当时，点运动到点，则，
∴，
∵，
∴，
∴，故选项B正确；
当时，点运动到点，则：，
∴，
∴，
∴点在该函数图象上，故选项C正确；
∴当，即点在点时，
∴；
∴点的纵坐标为；故选项D错误；
故选：D．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
11. 一个不透明的袋子里装有3个红球和2个黑球，他们除了颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为________．
【答案】
【解析】一个不透明的袋子里装有3个红球和2个黑球，他们除了颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为．
故答案为：．
12. 二次函数的对称轴为直线______．
【答案】
【解析】在二次函数中，，，
∴其对称轴方程为．
故答案为：．
13. 实验小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次实验后获得如表数据：
由此可以估计任意抛掷一次图钉钉尖朝上的概率约为________．
【答案】
【解析】表中图钉钉尖朝上的频率分别为，，，，
图钉钉尖朝上频率逐渐稳定在左右，
估计任意抛掷一枚图钉，图钉钉尖朝上的概率约为．
故答案为：．
14. 直角三角形两直角边长分别为2和3，那么它的外接圆的直径是________．
【答案】
【解析】如图，中，,
由勾股定理得：，
∵，
∴是的直径，
∴这个三角形的外接圆直径是；
故答案为：．
15. 小徐在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小徐此次的实心球成绩为______米．

【答案】10
【解析】在函数中，当时，，
解得（舍去），，
即小强此次成绩为10米，
故答案为：10．
16. 如图，抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，点在抛物线上，则______，点在直线上，若，则点的坐标是______．
【答案】 ①. ②. 或
【解析】在中，当时，，则有，
令，则有，
解得：，，
∴，，
根据点坐标，有，
所以点坐标，

设所在直线解析式，其过点、，
得，
解得，
∴所在直线的解析式为，
当点在线段上时，设，
，
而，
∴，
∴，
因为：，，，
有，
解得：，，
所以点的坐标为：，
当在的延长线上时，
在中，，，，
∴，
∴，
如图延长至，取，

则有为等腰三角形，，
∴，
又∵，
∴，
则为符合题意的点，
∵，
∴，
的横坐标：，纵坐标为；
综上点的坐标为：或，
故答案为：；或．
三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知抛物线经过点．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）判断点B是否在此抛物线上．
解：（1）将点代入，
得，
解得，
∴抛物线的函数解析式为，
（2）当时，，
∴点不在此抛物线上．
18. 已知二次函数图象的顶点坐标是，并经过点求：
（1）二次函数表达式．
（2）当x取何值时，y随x的增大而减小？
解：（1）∵二次函数图象的顶点坐标是，
∴设二次函数表达式为，
∵二次函数经过点，
∴，
解得：，
∴；
（2）∵中，
∴抛物线开口向下，
又∵抛物线的对称轴为，
∴当时，随的增大而减小．
19. 从温州翠微山公园到永嘉瓯北街道有51路，60路，70路三条公交路线．小芝和小冰两人分别从中任选一条公交路线坐车去瓯北．
（1）求小芝选择51路公交的概率．
（2）求小芝和小冰两人选择同一条公交路线的概率（要求列表或画树状图）．
解：（1）∵从温州翠微山公园到永嘉瓯北街道有51路，60路，70路三条公交路线，
∴小芝选择51路公交的概率：；
（2）如图所示：
由树状图可得，一共有9种可能，恰好两人选择同一条公交路线的有3种，
故恰好两人选择同一条公交路线的概率为：．
20. 如图，在矩形中，四点依次是边，，，上一点（不与各顶点重合），且，记四边形面积为S（图中阴影），．
（1）求S关于x的函数表达式．
（2）求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值．
解：（1）∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，，
∴，，
∴
．
∴S关于x的函数表达式为，自变量的取值范围是；
（2）∵，，抛物线开口向下，
∴当时，．
∴当时，S的值最大，S的最大值为．
21. 如图，交于点C，D，是半径，且于点F．
（1）求证：；
（2）若，求半径．
解：（1）∵为的弦，
，
，
，
，
；
（2）如图，连接，
为的弦，
∴，，
，
设的半径是r，
，
解得，
∴的半径是5．
22. 某商店经销一种旅行包，已知这种旅行包的成本价为每个元，物价部门规定这种旅行包的销售单价不得高于元．市场调查发现，这种旅行包每天的销售量（个）与销售单价（元）有如下关系：．设这种旅行包每天的销售利润为元．
（1）求与之间的函数解析式；
（2）该商店销售这种旅行包每天要获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？
（3）这种旅行包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
解：（1）由题意得，；
（2）当时，
∴，
整理得：，
解得：，，
∵旅行包的销售单价不得高于元，
∴，
答：销售单价应定为元；
（3）由（）得，，
∵旅行包的销售单价不得高于元，
∴，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，有最大，为（元），
答：旅行包销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．
23. 如图，二次函数y=-x2+(n-1)x+3的图像与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B(-2，0)
(1)求二次函数的解析式；
(2)点P是这个二次函数图像在第二象限内的一线，过点P作y轴的垂线与线段AB交于点C，求线段PC长度的最大值．
解：（1）将点B（-2,0）代入y=-x2+(n-1)x+3中，得-4-2（n-1）+3=0，
解得n=，
∴；
（2）当x=0时得y=3，
∴A（0,3），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
，解得，
∴直线AB的解析式为，
设点P的坐标为（x，），由题意可知点C的纵坐标是，代入，则可得点C的坐标为（， ），
因为C在P的右侧，
∴PC==，
因为点P是这个二次函数图像在第二象限内的一点，所以，
∴当时，PC长度最大值是.
24. 在二次函数中，x与y的几组对应值如下表所示，
（1）求二次函数的表达式．
（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
（3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，求n的值．
解：（1）把点代入得：
，解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2），
∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线，
∴点关于直线的对称点为，
画出函数图象，如图，
（3）根据题意得：平移后的抛物线解析式为，
∴平移后的抛物线的对称轴为直线，
当，即时，
函数的最大值在，最小值在 取到，
当时，，当时，，
∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，
∴
解得故舍去
当，即时，
当平移后抛物线的对称轴在y轴右侧和直线左侧时，此时函数的最小值为，
当时，取得最大值，最大值为，
∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，
∴，
解得：或（舍去）；
当，即时，此时最小值为，
当时，取得最大值，最大值为，
∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，
∴，
解得：或（舍去），
当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，，即，
函数的最小值在，最大值在 取到，
当时，，当时，，
∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，
∴
解得故舍去
综上所述，n的值为或．
重复实验次数
100
500
1000
5000
…
钉尖朝上次数
50
150
380
2000
…
x
…
0
1
…
y
…
1
…