2022-2023学年浙江省衢州市柯城区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年浙江省衢州市柯城区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列事件中，属于不可能事件的是( )
A. 一匹马奔跑的速度是100米/秒
B. 射击运动员射击一次，命中10环
C. 班里有两名同学的生日在同一天
D. 在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下
2.已知ab=23，则a+bb的值是( )
A. 35B. 53C. 25D. 52
3.如图，△ABC内接于⊙O，∠A=45∘，则∠BOC的度数为( )
A. 45∘
B. 60∘
C. 75∘
D. 90∘
4.如图，DE//BC，AD：DB=3：4，CE=8，则AE=( )
A. 6
B. 7
C. 8
D. 14
5.已知圆的半径为6，120∘的圆心角所对的弧长是( )
A. 2πB. 4πC. 6πD. 12π
6.将抛物线y=−3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的新的抛物线的解析式为( )
A. y=−3(x+1)2+2B. y=−3(x−1)2−2
C. y=−3(x+1)2−2D. y=−3(x−1)2+2
7.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为α的斜坡，从A滑行到B.已知AB=200m，则这名滑雪运动员的高度下降了m.( )
A. 200sinαB. 200csαC. 200tanαD. 200tanα
8.用长为8m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设AB为x(m)，则窗框的透光面积y(m2)关于x(m)的函数表达式为( )
A. y=x(4−x)B. y=x(8−3x)C. y=12x(8−3x)D. y=13x(8−3x)
9.如图，在△ABC中，∠ABC=90∘，∠C=30∘.以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AB于点D.连接BD.再分别以点B，D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连结DE，则下列结论中错误的是( )
A. ∠BAE=∠CAEB. AE=CE
C. S△CDES△CBA= 33D. AB2=BE⋅BC
10.已知二次函数y=(x−a)2+1，当−1≤x≤2时，y的最小值为a+1，则a的值为( )
A. 0或1B. 0或4C. 1或4D. 0或1或4
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是______.
12.九(1)班同学到基地参加实践活动，第一天的活动安排如表，若每半天的活动项目随机抽签决定，则九(1)班同学上午抽到“旱地冰壶”，下午抽到“甜品派对”的概率是______ .
13.如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为______ .
14.为测量河宽AB，康康采用如下方法：如图，从点A出发沿垂直于AB的方向前行45米到达点C，继续沿AD方向前行15米到达点D，再沿垂直于AD的方向前行到达点E，使B，C，E三点共线.已知DE=20米，则河宽AB=______ m.
15.如图，二次函数y1=x2+bx+c与一次函数为y2=mx+n的图象相交于A，B两点，则不等式x2+bx+c16.四巧板由一块长方形分成的四块不规则图形组成，如图1所示.其中有大小不同的直角梯形两块，等腰直角三角形一块，凹五边形一块，这几个多边形的内角除直角外，其余为45∘或135∘的角，康康用这副四巧板拼成了如图2所示的“T”形(BC≠DF).
(1)设AB=1，则HE=______ .
(2)若“T”形中的线段AG=DM，那么图1中的长方形的长与宽的比值是______ .
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：|− 2|−2sin45∘+20220.
18.(本小题8分)
如图，△ABC是格点三角形.
(1)将图1中的△ABC绕点B顺时针旋转90∘，得△A1B1C1，请在图1中画出△A1B1C1.
(2)在图2中画出与△ABC相似但相似比不为1的格点△A2B2C2.
19.(本小题8分)
如图，点A(−1,0)，B(2,−3)都在二次函数y=ax2+bx−3的图象上.
(1)求a，b的值.
(2)若二次函数的图象经过点(−2,y1)，(0,y2)，(52,y3)，比较y1，y2，y3的大小，并简述理由.
20.(本小题8分)
在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共10个，这些球除颜色外都相同．小颖将球搅匀，从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子，不断重复上述过程．下表是多次摸球试验中的一组统计数据：
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近______(精确到0.1)；
(2)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值是______；
(3)小明用转盘来代替摸球做试验．如图是一个可以自由转动的转盘，小明将转盘分为红色、白色2个扇形区域，转动转盘，当转盘停止后，指针落在白色区域的概率与摸球试验中摸到白球的概率相同．请你在转盘上用文字“红色”、“白色”注明两个区域的颜色，并求出白色区域的扇形的圆心角的度数．
21.(本小题8分)
如图1.在△ABC中，∠ABC=120∘，AB=BC=1.
(1)求AC长.
(2)如图2，若点D是AC上一动点(不与A、C重合)，在BC上取一点E，使∠BDE=30∘.
①求证：△ABD∽△CDE.
②设AD=x，BE=y，求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围，并求出当AD为何值时，BE的值最小？
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆O分别交BC，AC于点D，E，连结EB，OD，DE.
(1)求证：OD⊥EB.
(2)若DE= 10，AB=10，求AE的长.
23.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，F为BC边上一动点，将△ABF沿AF折叠得到△APF.若直线PF恒过点O，直线FP，AD交于点E.
(1)求证：OE=OF.
(2)若点P在矩形ABCD内，
①当OE=5时，求AE长.
②当OE=2PE时，求ABAD的值.
24.(本小题10分)
康康发现超市里有一种长方体包装的果冻礼盒，四个果陈连续放置(如图2).每个果冻高为6cm，底面直径为4cm，其轴截面的轮廓可近似地看作一段抛物线，如图1所示.
(1)在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求出左侧第一条抛物线的函数表达式.
(2)为了节省包装成本，康廉设计了一种新的包装方案，将相邻的果冻上下颠倒放置(相邻果冻紧贴于一点，
但果冻之间无挤压)，如图3所示.
①康康发现相邻两条紧贴于一点的抛物线成中心对称.请在你建立的坐标系中，求左侧两条抛物线的对称中心的坐标.
②按照康康的方案，包装盒的长度节省了多少厘米？
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.一匹马奔跑的速度是100米/秒，是不可能事件，不符合题意；
B.射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，不符合题意；
C.班里有两名同学的生日在同一天，是随机事件，不符合题意；
D.在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下，是必然事件，符合题意．
故选：A.
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2.【答案】B
【解析】解：∵ab=23，
∴a+bb=2+33=53.
故选：B.
根据合比性质即可求解．
本题考查了比例的基本性质，是基础题，掌握合比性质：若ab=cd，则a+bb=c+dd是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵∠A是BC所对的圆周角，∠BOC是BC所对的圆心角，∠A=45∘，
∴∠BOC=2∠A=2×45∘=90∘.
故选：D.
直接根据圆周角定理进行解答即可．
本题考查三角形的外接圆与外心，圆心角，弧，弦之间的格线，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4.【答案】A
【解析】解：∵DE//BC，
∴△AED∽△ACB，
∴AEAC=ADAB，
∴AEEC=ADDB，
∴AE8=34，
∴AE=6.
故选：A.
证明△AED∽△ACB，利用相似三角形的性质得出AEAC=ADAB，进而求出AEEC=ADDB，再代入计算即可．
此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练利用相似三角形的判定和性质定理是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：半径为6，圆心角为120∘所对的弧长为120π×6180=4π.
故选：B.
根据弧长公式求出答案即可．
本题考查了弧长的计算，能熟记弧长公式是解此题的关键，注意：圆心角为n∘，半径为r的扇形的弧长为nπr180.
6.【答案】D
【解析】解：将抛物线y=−3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的新的抛物线的解析式为：y=−3(x−1)2+2.
故选：D.
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：设运动员高度下降了x(m)，
由题意可知：sinα=hAB，
∴h=200sinα，
故选：A.
根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是正确理解锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
8.【答案】C
【解析】解：∵矩形窗框的周长为8m，AB为x m，
∴AD为8−3x2m，
∴y=x⋅8−3x2=−32x2+4x.
故选：C.
由题意可知窗户的透光面积为长方形，根据AB为xm，得出AD长为8−3x2m，根据长方形的面积公式即可得到y和x的函数关系式．
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，用含x的代数式表示出竖直的一边长是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：由作图可得AE平分∠BAC，AB=AD，
∵AB=AD，∠BAE=∠DAE，AE=AE，
∴△BAE≌△DAE(SAS)，
∴∠BAE=∠CAE，故A正确；
∵∠ABC=90∘，∠C=30∘，
∴AC=2AB，∠BAC=60∘，
∴∠BAE=∠DAE=30∘=∠C，
∴AE=EC，故B正确，
∵AB=AD，AC=2AB，
∴AD=CD，
∴点D为AC的中点，
∴DE垂直平分线段AC，故B正确；
在△ABC和△EDC中，∠C=∠C，∠ABC=∠EDC=90∘，
∴△ABC∽△EDC，
∴ABDE=ACEC=BCDC，
∵BCAC=cs30∘= 32，DC=12AC，
∴BCDC= 3，
∴S△ABCS△EDC=( 3)2=3，
∴S△EDCS△ABC=13，故C错误，
∵∠ABE=∠ABC，∠BAE=∠C，
∴△ABE∽△CBA，
∴AB2=BE⋅BC，故选项D正确，
故选：C.
证明△BAE≌△DAE(SAS)，即可推出A，B正确，证明△BED∽△BDC，可得D正确，证明△ABC∽△EDC，推出ABDE=ACEC=BCDC，可得C错误．
本题考查相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30∘角的直角三角形，解答的关键是对相似三角形的判定条件与性质的掌握与灵活运用．
10.【答案】B
【解析】解：∵二次函数y=(x−a)2+1，
∴当x=a时，该函数取得最小值1，
∵当−1≤x≤2时，y的最小值为a+1，
∴当a<−1时，x=−1时取得最小值，此时(−1−a)2+1=a+1，该方程无解；
当−1≤a≤2时，x=a时取得最小值，此时1=a+1，得a=0；
当a>2时，当x=2时取得最小值，此时(2−a)2+1=a+1，得a=4；
故选：B.
根据二次函数的性质和分类讨论的方法，可以求得a的值．
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．
11.【答案】(0,1)
【解析】解：二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是(0,1).
故答案为：(0,1).
根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式解析式是解题的关键．
12.【答案】14
【解析】解：根据题意得，“高空拓展”和“甜品派对”，“高空拓展”和“花样水饺”，“高空拓展”和“甜品派对”，“高空拓展”和“花样水饺”一共有4种情况，其中上午抽到“旱地冰壶”，下午抽到“甜品派对”的有1种情况，
故九(1)班同学上午抽到“旱地冰壶”，下午抽到“甜品派对”的概率是14.
故答案为：14.
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P(A)=mn.
13.【答案】3
【解析】解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=12AB=12×8=4，
在Rt△AOC中，OA=5，
∴OC= OA2−AC2= 52−42=3，
即圆心O到AB的距离为3.
故答案为：3.
作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理得到AC=BC=12AB=4，然后在Rt△AOC中利用勾股定理计算OC即可．
本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
14.【答案】60
【解析】解：如图，AC=45m，CD=15m，DE=20m，
∵AB⊥AD，DE⊥AD，
∴AB//DE，
∴△ABC∽△DEC，
∴ABDE=ACDC，即AB45=2015，
解得AB=60，
即河宽AB为60m.
故答案为：60.
先证明△ABC∽△DEC，然后利用相似三角形的性质得到ABDE=ACDC，即AB45=2015，则根据比例的性质求出AB即可．
本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，利用三角形相似的性质，对应边成比例可求出河的宽度．
15.【答案】−1【解析】解：由图象可知，y1与y2图象的交点的横坐标为−1和3，
∵当−1∴不等式x2+bx+c故答案为：−1由图象可知，y1与y2图象的交点的横坐标为−1和3，当−1本题考查二次函数与不等式(组)，能够利用函数图象判断两个函数的大小关系是解题的关键．
16.【答案】 2 4 2
【解析】解：(1)∵△ABC是等腰直角三角形，且AB=1，
∴AC= 2，
∵∠ACB=∠DEH=∠CAH，
∴AH//CE，AC//EH，
∴四边形ACEH是平行四边形，
∴HE=AC= 2，
故答案为： 2；
(2)如图1，
设AB=a，则AC=DH=AE= 2a，
由图2可知：EH= 2a，
∵AG=DM=CN，
∴CN=AH+GH=2 2a，
∴如图1，AN=4 2a，
∴图1中的长方形的长与宽的比=AN：AB=4 2a：a=4 2.
(1)根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得AC= 2，证明四边形ACEH是平行四边形，可得结论；
(2)设AB=a，则AC=DH=AE= 2a，计算AN的长，可得长与宽的比值．
本题考查直角梯形，四巧板，等腰直角三角形，图形的拼剪等知识，解题的关键是学会动手操作，培养动手能力．
17.【答案】解：原式= 2−2× 22+1
= 2− 2+1
=1.
【解析】根据绝对值的性质、特殊角的锐角三角函数值、零指数幂的意义即可求出答案．
本题考查绝对值的性质、特殊角的锐角三角函数值、零指数幂的意义，本题属于基础题型．
18.【答案】解：(1)如图1，△A1B1C1即为所求.
(2)如图2，△A2B2C2即为所求．
【解析】(1)根据旋转的性质作图即可．
(2)根据相似的性质，作△ABC与△A2B2C2的相似比为1：2即可．
本题考查作图-旋转变换、相似变换，熟练掌握旋转与相似的性质是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)∴点A(−1,0)，B(2,−3)都在二次函数y=ax2+bx−3的图象上．
∴a−b−3=04a+2b−3=−3，
解得：a=1b=−2，
∴a=1，b=−2；
(2)∵a=1，b=−2，
∴y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴对称轴为直线x=1，
∵a=1>0，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵(−2,y1)关于对称轴的对称点(4,y1)，(0,y2)关于对称轴的对称点(2,y2)，
∵2<52<4，
∴y2【解析】(1)利用待定系数法解答即可；
(2)求得抛物线的对称轴，利用二次函数图象的性质和抛物线上点的坐标的特征解答即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，数形结合法，利用待定系数法和数形结合法解答是解题的关键．
20.【答案】解：(1)0.6；
(2)0.6；
(3)∵摸到白球的频率约为0.6，
∴转盘中白色区域的扇形的圆心角的度数为360∘×0.6=216∘，如图所示：

【解析】解：(1)∵摸到白球的频率约为0.6，
∴当n很大时，摸到白球的频率约为0.6，
故答案为：0.6；
(2)∵摸到白球的频率约为0.6，
∴从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值是0.6，
故答案为：0.6；
(3)∵摸到白球的频率约为0.6，
∴转盘中白色区域的扇形的圆心角的度数为360∘×0.6=216∘，如图所示：
(1)根据表中的数据，估计得出摸到白球的频率．
(2)由表中数据即可得；
(3)根据摸到白球的频率即可得到转盘中白色区域的扇形的圆心角的度数．
本题主要考查了如何利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系，属于中考常考题型．
21.【答案】(1)解：作BH⊥AC于H，
∵∠ABC=120∘，AB=BC=1.
∴∠A=∠C=30∘，AC=2AH，
∴AH=cs30∘⋅AB= 32，
∴AC=2AH= 3；
(2)①证明：∵∠BDC=∠A+∠ABD，∠BDE=∠A，
∴∠EDC=∠ABD，
∵∠A=∠C，
∴△ABD∽△CDE；
②解：∵△ABD∽△CDE，
∴ADCE=ABCD，
∴x1−y=1 3−x，
∴y=x2− 3x+1(0当x=−− 32= 32时，y最小为14，
∴当AD= 32时，BE最小为14.
【解析】(1)作BH⊥AC于H，利用30∘角的三角函数可得AH的长，再利用等腰三角形的性质即可；
(2)①根据三角形外角的性质得∠EDC=∠ABD，且∠A=∠C，即可证明结论；
②利用相似三角形的性质和二次函数求最值即可解决问题．
本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30∘角的三角函数，二次函数的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD//AC，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90∘，
∴BE⊥AC，
∵OD//AC，
∴OD⊥EB；
(2)解：如图，
∵OD//AC，O是AB的中点，
∴D是BC的中点，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90∘，
∴∠BEC=90∘，
∴DE=DC=12BC，
∴∠DEC=∠C，
∵DE= 10，
∴BC=2 10，
∵AB=AC=10，
∴∠B=∠C，
∴∠DEC=∠ABC，
∵∠C=∠C，
∴△DEC∽△ABC，
∴ECBC=DEAB，即EC2 10= 1010，
∴EC=2，
∴AE=AC−EC=10−2=8.
【解析】(1)由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C，∠ABC=ODB，进而得出∠ODB=∠C，可证明OD//AC，由圆周角定理得出∠AEB=90∘，则BE⊥AC，根据平行线的性质可得OD⊥EB；
(2)由OD//AC，O是AB的中点，得出D是BC的中点，由圆周角定理∠BEC=90∘，直角三角形的性质结合DE= 10，得出BC=2 10，继而证明△DEC∽△ABC，由相似三角形的性质得出EC=2，进而求出AE的长度．
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的性质，平行线的判定方法，圆周角定理，相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
23.【答案】(1)证明：在矩形ABCD中，
∵BC//AD，
∴∠FBO=∠EDO，
∵O为对角线BD的中点，
∴OB=OD，
∵∠FOB=∠EOD，
∴△FOB≌△EOD(ASA)，
∴OF=OE；
(2)解：①∵OE=5，
∴OF=OE=5，
∴EF=OE+OF=10，
∵BC//AD，
∴∠BFA=∠FAE，
由折叠可知：∠BFA=∠EFA，
∴∠EFA=∠FAE，
∴AE=EF=10，
∴AE长为10；
②设PE=x，
则OE=2PE=2x=OF，
∴OP=OE−PE=x，
∴EF=4x=AE，
由折叠可知：BF=PF=OP+OF=3x，
由(1)知：△FOB≌△EOD，
∴BF=DE=3x，
∴AD=DE+EA=3x+4x=7x，
∵∠CBA=∠FPA=90∘，
∴∠APE=90∘，
∴AP= AE2−EP2= 16x2−x2= 15x，
∴AB=AP= 15x，
∴ABAD= 15x7x= 157.
【解析】(1)根据矩形的性质证明△FOB≌△EOD(ASA)，即可解决问题；
(2)①结合(1)得EF=OE+OF=10，然后利用折叠的性质即可解决问题；
②设PE=x，则OE=2PE=2x=OF，得OP=OE−PE=x，所以EF=4x=AE，结合(1)求出AD=DE+EA=3x+4x=7x，然后利用勾股定理求出AP，再根据折叠的性质可得AB=AP，进而可以解决问题．
此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定两三角形全等的方法是解本题的关键．
24.【答案】解：(1)建立如图所示坐标系：
由题意知，左侧第一条抛物线经过(0,3)，顶点为(2,0)，
∴设左侧第一条抛物线的解析式为y=a(x−2)2，
把(0,3)代入解析式得：4a=6，
解得a=32，
∴左侧第一条抛物线的解析式为y=32(x−2)2；
(2)①建立如图所示直角坐标系：
设第二个抛物线解析式为y=−32(x−a)2+6，
联立方程组y=−32(x−a)2+6y=32(x−2)2，
∴32(x−2)2=−32(x−a)2+6，
整理得：2x2+(4−2a)x+a2=0，
∵两抛物线相切，
∴Δ=(4−2a)2−4×22=0，
解得a=2±2 2，
∵a>0，
∴a=2+2 2，
∴B(2,0)，D(2+2 2,6)，
∴右侧两条抛物线的对称中心M的坐标为(2+ 2,3)；
②由①图形可知，
∴新包装盒的长度为(2+2 2−2)×3+4=(6 2+4)(cm)，
按图1包装盒的长度为4×4=16(cm)，
∴16−(6 2+4)=(12−6 2)(cm)，
∴按照康康的方案，包装盒的长度节省了(12−6 2)cm.
【解析】(1)建立坐标系，然后根据待定系数法求函数解析式；
(2)①先建立坐标系，根据相邻两条紧贴于一点的抛物线成中心对称和图形得出对称中心的坐标；
②用原包装盒的长度减去按康康方案包装盒的长度，即得结论．
本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式．时间
活动项目
上午
高空拓展
旱地冰壶
下午
甜品派对
花样水饺
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
65
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率mn
0.65
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601