精品解析：江苏省2025-2026学年高三上学期1月阶段性监测数学试题+答案

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2026.1
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用集合的交集运算即可求解.
【详解】由题意得，
故选：D.
2. 设复数，则复数的虚部为（ ）
A. 17B. －17C. 23D. －23
【答案】B
【解析】
【分析】应用复数的乘法运算求得复数的代数式为，即可知虚部
【详解】∵
∴复的虚部为－17
故选：B
【点睛】本题考查了复数的乘法运算，由复数的代数式确定虚部
3. 已知是等差数列的前项和，若，，则
A. 40B. 14C. 36D. 80
【答案】A
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式可得公差d，从而得到前5项和.
【详解】设等差数列的公差为，
.
故选A
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4. 直线和直线，则“”是“”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】求出两直线垂直时参数值，再根据充分必要条件的定义判断．
【详解】，则，解得或，题中应是充分不必要条件，
故选：B．
5. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由诱导公式及余弦二倍角公式即可求解.
【详解】由题意得，．
故选：A
6. 已知展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（ ）
A. B. 252C. D. 28
【答案】B
【解析】
【分析】根据组合数的性质可得最大，进而得，即可根据通项公式求解.
【详解】由于展开式的第5项的二项式系数为最大，故，
展开式中的系数为，
故选：B
7. 如图，双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于A，B两点，且，则此双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线的性质结合勾股定理求出关系后计算离心率.
【详解】设，则，，
易得，故，
故在中，，故．
故选：D
8. 设函数和的定义域为，若存在非零实数，使得，则称函数和在上具有性质．现有四组函数：①，；②，；③，；④，．其中具有性质的组数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】①由得，符合题意；②构造函数，分析函数单调性可知不具有性质；③由可知具有性质；④构造函数，求导分析单调性可知不具有性质.
【详解】①，令，解得(舍去)或，
存在非零实数，使得.
②，令
结合指数函数的单调性，在定义域内单调递减，，故无其他零点，
不存在非零实数，使得.
③，存在，使得.
④，
，在上单调递增，又，故无其他零点，
不存在非零实数，使得.
故选：B.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列结论错误的是（ ）
A. 两个变量的相关性越强，相关系数越大
B. 利用样本点求经验回归方程，则样本点可能都不在回归直线上
C. 对于独立性检验，观测值越大，判断“两变量有关联”犯错误的概率越大
D. 在列联表中，若每个数据都变为原来的2倍，则变为原来的2倍）
【答案】AC
【解析】
【分析】根据相关系数、回归方程、的实际意义判断A、B、C；利用卡方公式判断D.
【详解】A，两个变量的相关性越强，越大，A错误；
B，由经验回归方程的实际意义，样本点有可能都不在直线上，B正确；
C，的观测值越大，判断“两变量有关联”犯错误的概率越小，C错误；
D，若，每个数据都变为原来的2倍，
则，D正确．
故选：AC
10. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点在线段上，若，且为原点则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 以为直径的圆与准线相切
C. 直线斜率为
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意作图，利用抛物线定义，结合直角三角形的性质以及圆与直线的位置关系，可得答案.
【详解】由题意，不妨设在第一象限，分别过作垂直于准线，垂足分别为，作图如下：
对于A，由图可知，，
在中，由，则，
易知，在中，，
由，则为线段的中点，即在中，，
所以，故A正确；
对于B，由A易知，由，则，
即，所以以为直径的圆的半径，
在直角梯形中，中位线的长度为，
则以为直径的圆的圆心到准线的距离，故B正确；
对于C，由A可得，则直线的倾斜角为，即斜率为，
当在第四象限时，同理可得斜率为，故C错误；
对于D，，故D正确；
故选：ABD.
11. 已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，，则在上的投影向量的坐标为
【答案】BCD
【解析】
【分析】确定是否共线判断A；由空间向量垂直的坐标表示判断B；求出向量夹角判断C；求出投影向量判断D.
【详解】对于A，当时，，显然不共线，因此与平面不垂直，A错误；
对于B，由，得，则，即，B正确；
对于C，当时，，则，C正确；
对于D，当时，，，
因此在上的投影向量为，D正确.
故选：BCD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.）
12. 焦点为的抛物线的标准方程为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意设出抛物线的方程，再根据焦点坐标求出即可得出答案.
【详解】由题意设抛物线的方程为 ，
由焦点为，则，则，
所以抛物线的方程为：.
故答案为：.
13. 若把一句话“我爱中国”的汉字顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．
【答案】23
【解析】
【分析】先计算得到四个字的全排列，减去不满足题意的即可.
【详解】“我爱中国”,这四个字的全排列有种，其中有一种是正确的，故错误的有23种.
故答案为23.
【点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：
（1）元素相邻的排列问题——“捆邦法”；
（2）元素相间的排列问题——“插空法”；
（3）元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；
（4）带有“含”、“不含”、“至多”、“至少”的排列组合问题——间接法．
14. 血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理．某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间（即从患者服药时开始到此刻的时间）为___________小时．
【答案】
【解析】
【分析】设检测第次时，给药时间为，根据等差数列的定义得，设当给药时间为小时的时候，患者血药浓度为，血药浓度峰值为，根据等比数列的定义得，进而求得，即可求给药时间.
【详解】设检测第次时，给药时间为，则是以3为首项，2为公差的等差数列，
所以，
设当给药时间为小时的时候，患者血药浓度为，血药浓度峰值为，
则数列是首项为，公比为0.4等比数列，所以，
令，即，解得，
当血药浓度为峰值的时，给药时间为．
故答案为：
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.）
15. 在中，角、、的对边分别为、、，.
（1）求角的大小；
（2）若，，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用平面向量数量积的定义可求得的值，然后利用余弦定理可求得的值.
【小问1详解】
解：因为，由正弦定理可得，
因为、，则，所以，，则，
故.
【小问2详解】
解：由平面向量数量积的定义可得，可得，
由余弦定理可得，
解得.
16. 已知数列是公比的等比数列，前三项和为39，且成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项和公比，即可得答案；
（2）利用（1）的结论化简，利用裂项求和法即可求得答案.
【小问1详解】
由题意可得，
即得，则，
即，可得，由于，故得，
则，故；
【小问2详解】
由（1）结论可得
，
故的前项和
.
17. 如图，在三棱锥中，平面，D是AC的中点，平面平面PAC，且．
（1）求证：；
（2）求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由条件结合面面垂直的性质定理证明平面，再利用面面垂直的判定定理即可证明.
（2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，利用两个平面夹角的向量公式即可求解.
【小问1详解】
如图过作于，因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，平面，
所以；
因为平面，平面，
所以，，平面，
所以平面，平面，所以.
【小问2详解】
由（1）知平面，所以，以为原点，过与平行的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，如图：建立空间直角坐标系，
则，，
设平面的法向量为，则，
即，取，则.
因为平面，取平面的一个法向量为，
，
所以平面PAC与平面PBC的夹角的余弦值为.
18. 对于两个定义域均为D的函数和，若存在，使得且，则称和“局部相等”.
（1）判断函数与是否“局部相等”，并说明理由；
（2）若函数与“局部相等”，求实数m的值；
（3）对于给定的实数m，若存在实数n，使得函数与“局部相等”，求实数m的取值范围.
【答案】（1）函数与“局部相等”，理由见解析
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）求出两函数的导函数，根据题意列方程解出值，即可得出答案；
（2）求出两函数的导函数，根据题意列方程解出值，即可得出答案；
（3）求出两函数的导函数，根据题意列方程，消去n可得关于的不等式有解，设，求导研究单调性，画出图象，即得答案.
【小问1详解】
，
根据题意可令，解得，
所以函数与是“局部相等”；
【小问2详解】
，
若函数与“局部相等”，
则，解得，；
【小问3详解】
根据题意可得关于m的不等式：有解，
消去n可得关于的不等式有解，
设，所以，
所以的符号为：
所以在单调递增，在单调递减，
所以，且时，；时，，
所以
所以
19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点.
（1）若且点在第一象限，求点的坐标；
（2）若的面积为，求直线的方程；
（3）若、两点不在轴上，设为线段的中点，于，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示计算可得；
（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理计算可得，可得直线的方程；
（3）分别讨论直线斜率是否存在的情况，若直线斜率存在，设直线，与椭圆联立方程组，可得，同理与联立可得，利用向量数量积的坐标公式结合基本不等式即可求解.
【小问1详解】
，，设，且，
则且，解得，，
因此的坐标为.
【小问2详解】
直线为水平直线时，不存在，
设直线方程为，联立，
得，，
设，，则.
由于在线段上，，其中，
因此，整理得，
所以，解得（负值舍），
因此直线方程为，即或.
【小问3详解】
由题设，直线斜率不可能为0，而直线斜率不存在时，、重合，；
若直线斜率存在，设直线，与联立得，
因此；而联立直线与可得；
所以，即取值范围是.
综上，的取值范围为.