2024-2025学年江苏省高一上学期12月阶段性考试数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年江苏省高一上学期12月阶段性考试数学检测试题（附解析），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合集合则（ ）
A．(-∞，0)∪[2，+∞)B．(0，2]
C．(0，2)D．(0，+∞)
2．函数为定义在上的偶函数，则实数等于（ ）
A． B．1C．0D．无法确定
3．已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
4．若，则（ ）
A．B．C．D．
5．若三个变量、、，随着变量的变化情况如下表.
则关于分别呈函数模型：、、变化的变量依次是（ ）
A．、、B．、、C．、、D．、、
6．与角的终边相同的角的集合是
A．
B．
C．
D．
7．牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度将满足，其中是环境温度，称为半衰期.现有一杯85℃的热茶，放置在25℃的房间中，如果热茶降温到55℃，需要10分钟，则欲降温到45℃，大约需要多少分钟（ ）
A．12B．14C．16D．18
8．已知函数，若函数，且函数有6个零点，则非零实数的取值范围是
A．B．
C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．若函数（且）在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．下列说法不正确的是（ ）
A．已知方程的解在内，则
B．函数的零点是，
C．函数，的图象关于对称
D．用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，，则方程的根落在区间上
11．下列结论中正确的是（ ）
A．终边经过点的角的集合是
B．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是
C．若是第三象限角，则是第二象限角
D．若，，则
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为
B．在上是增函数
C．的解集为
D．的解集为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知扇形的面积为4，半径为2，则扇形的圆心角为 弧度.
14．若对任意a＞0且a≠1，函数的图象都过定点P，且点P在角θ的终边上，则tanθ＝ .
15．设，则 .
16．设满足，满足，则 .
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（1）计算：；
（2）化简：
18．已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的值．
19．设函数．
(1)若不等式的解集，求a，b的值；
(2)若，
①，，求的最小值，并指出取最小值时a，b的值．
②求函数在区间上的最小值．
20．我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售.经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1350万元，每生产 （千台）电脑需要另投成本万元，且另外每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出.已知2021年共售出10000台平板电脑，企业获得年利润为1650万元.
(1)求该企业获得年利润（万元）关于年产量 （千台）的函数关系式;
(2)当年产量为多少千台时，该企业所获年利润最大?并求最大年利润.
21．已知函数.
（1）若，解关于x的不等式；
（2）已知为定义在R上的奇函数.
①当时，求的值域；
②若对任意成立，求m的取值范围.
22．已知函数，．
(1)求证：为R上的偶函数；
(2)若函数在R上只有一个零点，求实数的取值范围
2
1．D
解二次不等式得集合；求函数定义域得集合，再由并集的概念，即可得出结果.
【详解】因为，，
因此.
故选：D.
本题主要考查求集合的并集，涉及二次不等式，以及根式型函数的定义域，属于基础题型.
2．C
【分析】利用偶函数的定义域关于原点对称即可得解.
【详解】因为为定义在上的偶函数，
所以，解得.
故选：C.
3．D
【分析】先判断，然后根据弧度得到，最后比较大小即可.
【详解】因为，，
而 ，所以，
所以，
故选：D
4．C
【分析】根据对数的运算法则求出，结合对数的换底公式即可得出结果.
【详解】由题意知，，
所以，
所以.
故选：C
5．B
【分析】根据表中数据，结合函数的变化率，即可求解.
【详解】解：由表可知，随着的增大而迅速的增大，是指数函数型的变化，
随着的增大而增大，但是变化缓慢，是对数函数型的变化，
相对于的变化要慢一些，是幂函数型的变化.
故选：B.
6．B
【分析】在范围内找出与角终边相同的角，然后可得出与角终边相同的角的集合.
【详解】因为，所以角与角的终边相同，所以与角的终边相同的角的集合为.
故选B．
本题考查终边相同的角的集合，一般要在范围内找出终边相同的角，并以此角来表示相应的集合，属于基础题.
7．C
【分析】先计算出，再根据条件计算即可.
【详解】根据题意有：，
∴.
故选：C.
8．C
【分析】作出函数的图像，原问题转化为函数与共有6个交点，等价于与有三个交点，结合图像得出其范围.
【详解】解：作出函数的图像如下：

数，且函数有6个零点等价于有6个解，
等价于或共有6个解
等价于函数与共有6个交点，
由图可得与有三个交点，所以与有三个交点
则直线应位于之间，
所以
故选：C.
根据函数零点的情况求参数有三种常用方法：
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（2）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.
9．BC
【分析】分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，根据已知条件可得出关于实数的等式，即可求得实数的值.
【详解】当时，函数在上为减函数，
则，解得；
当时，函数在上为增函数，
则，解得.
综上所述，或.
故选：BC.
10．B
【分析】利用零点的定义，零点存在性定理，反函数的定义及函数的单调性一一判定即可.
【详解】对于选项A，令，
易知在上是增函数，且，
所以方程的解在，所以，故A正确；
对于选项B，令得或，
故函数的零点为和，故B错误；
对于选项C，函数与函数互为反函数，所以它们的图象关于对称，故C正确；
对于选项D，令，易知在上是增函数，
由于，所以由零点存在性定理可得方程的根落在区间上，故D正确.
故选：B.
11．ABD
【分析】求出角的集合表示判断A；求出旋转角的弧度数判断B；举例说明判断C；分析两个集合判断D.
【详解】对于A，当时，角终边为射线，该角的集合为，
当时，角终边为射线，该角的集合为，
所以所求角的集合为，A正确；
对于B，将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是，B正确；
对于C，取，满足是第三象限角，而是第四象限角，C错误；
对于D，，，
是整数，是整数，而是奇数，因此，D正确.
故选：ABD
12．AD
【分析】分析可知为偶函数，研究时的函数的单调性和最值，即可得出AB的正确与否；研究函数的零点，结合单调性，奇偶性，即可判定C错误；分类讨论求解，即可得到不等式的解集，从而判定D正确.
【详解】，
所以是偶函数，
在时，,
图象为开口向下的抛物线的部分，
对称轴为,
在内单调递增，在上单调递减，
最大值为,
∴函数在R上的最大值为,
在内单调递增，在内单调递减，
故A正确，B错误；

由于,
结合函数的单调性和偶函数的性质画出图象如图所示.
可知的解集为,
故C错误；
画出图象如图所示：

由图象可得不等式的解集为，故D正确.
故选：AD.
13．2
【分析】根据扇形的面积公式求解即可.
【详解】设扇形的圆心角为，
由题意得，，解得，
所以扇形的圆心角为2弧度.
故2.
14．-2
【分析】利用指数函数的性质可得函数的图象经过定点的坐标，进而根据任意角的三角函数的定义即可求解.
【详解】令x＋1＝0，求得x＝－1，y＝2，
可得函数（a＞0，a≠1）的图象经过定点P(－1,2)，
所以点P在角θ的终边上，则tanθ＝＝－2.
故－2.
15．
【分析】利用三角函数诱导公式化简所求代数式后，利用齐次化切法求值即可解决.
【详解】
又，则
故
16．
【分析】根据给定条件，构造函数并探讨其单调性，借助函数零点确定与得解.
【详解】令函数，而函数在上都是增函数，因此函数是增函数，
由满足，得，即，于是，
由满足，得，因此，而函数在上递增，
于是，即，所以.
故
关键点睛：构造函数是基本的解题思路，观察题目所给式子的结构特点，合理构造函数，借助单调性是解题的关键.
17．（1）；（2）1.
【分析】（1）利用指数运算及对数的换底公式计算即得.
（2）利用同角公式及诱导公式化简即得.
【详解】（1）.
（2）
.
18．(1)
(2)
【分析】（1）化简集合，根据补集和交集的概念运算可得结果；
（2）由求出，再求出，然后根据列式可求出结果.
【详解】（1）由得，得，
所以，
当时，由，得，
所以，
所以或，
所以.
（2）因为，
所以，
所以，即，
由得，得，，
所以，
因为，所以，，
解得.
19．(1)
(2)①，时，取最小值2 ；②当时，的最小值为，当时，的最小值为．
【分析】（1）根据题意可知−1，1是方程的两根，结合韦达定理求解；（2）根据题意得，①利用基本不等式进行处理运算，注意“1”得运用；②分类讨论判断单调性求解．
【详解】（1）由的解集是知−1，1是方程的两根，
由根与系数的关系可得
解得
（2）由得，
①，，
，
当且仅当，即，时取等号，
的最小值是2．
②由于，得，则，
函数的图象对称轴为，
当时，在区间上单调递增，
则的最小值为，
当时，在区间上单调递减，
则的最小值为．
20．(1)
(2)100千台，最大年利润为5 900万元.
【分析】（1）由已知的条件知道该函数为一个分段函数，所以分两种情况把表达式分别求出来即可
（2）由（1）知当时，为二次函数，利用二次函数的性质求它在该区间上的最大值，当时，利用基本不等式性质求最大值.
【详解】（1）解：10 000台=10千台,则，根据题意得：，解得，
当时，，
当时，
，
综上所述.
（2）当时，
当时， 取得最大值；
当时，
，
当且仅当时，
因为，
故当年产量为100千台时,该企业所获年利润最大,最大年利润为5 900万元.
21．（1）；（2）①；②.
（1）将代入函数解析式，不等式即为，令，不等式即为，解得，即，进而求得不等式的解集；
（2）①根据其为奇函数，得到，求得，再根据，解得，从而求得函数解析式，利用换元思想，结合函数单调性求得函数值域；
②利用函数单调性的定义证明其为增函数，结合奇函数的条件，将转化为相应不等式组，求得结果.
【详解】（1），时，由可得，令，得，
解得，即，所以.
（2）①因为为上的奇函数，所以，即，则，
所以，根据为上的奇函数可得.
所以，即对任意恒成立，
所以，
令，令，则.
所以原函数的值域转化为的值域，
又因为在上单调递增，所以的值域为.
②，设任意，且，
则，
所以在上单调递增.
又因为对任意成立，且为上的奇函数，
所以对任意成立，
所以对任意成立.
当时，满足题意；
当时，解得，
综上所述，.
方法点睛：该题考查的是有关函数性质的问题，解题方法如下：
（1）将参数代入函数解析式，解不等式即可得结果；
（2）①根据奇函数的定义，求得参数值，进而求得函数的值域；
②利用单调性的定义证明函数的单调性，结合函数单调性以及奇偶性，将不等式转化，得到结果.
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据偶函数定义，结合指数、对数的运算性质，即可得证
（2）在R上只有一个零点，转化为有唯一实数根，令，可得在上有唯一实数根，分别讨论三种情况，根据二次函数的性质，即可得答案.
【详解】（1）证明：对任意的，
，
因此，函数为偶函数．
（2）解：．
因为在R上只有一个零点，
所以关于的方程（※）有唯一的实数解．
方程（※）即，
即，化简得．
令 ，研究关于的方程（※※）．
当时，，符合条件；
当时，则，且，
故方程（※※）有异号的两个实根，符合条件；
当时，则，故只需，解得，
此时方程（※※）有两个相等的正根，符合条件．
综上所述，实数的取值范围为．
解题的关键是熟练掌握偶函数的定义、指数、对数的运算性质，并灵活应用，难点在于需讨论三种情况，并结合二次函数性质求解，属中档题.