2024-2025学年江苏省高一上学期12月阶段考试数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年江苏省高一上学期12月阶段考试数学检测试题（附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，若，则a等于（ ）
A．或3B．0或C．3D．
2．若扇形的弧长是8，面积是16，则这个扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．已知，，，则的大小为（ ）
A．B．
C．D．
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．函数的部分图象可能是( )
A．B．
C．D．
7．设是定义域为R且最小正周期为的函数，且有，则（ ）
A．B．
C．0D．1
8．在平面直角坐标系中，点，，则下列说法错误的是（ ）
A．线段与的长均为1B．线段的长为1
C．当时，点关于轴对称D．当时，点关于轴对称
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知，为全集的真子集，若，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数，当时单调递增，若角A，B，C是锐角三角形的内角，则下列说法正确的是（ ）
A．；B．
C．；D．
12．定义在上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数B．的图象没有对称中心
C．的增区间为D．方程有5个实数解
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知关于的不等式的解集为，则 .
14．为了保证信息安全传输，有一种系统称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下：明文密文t密文t明文y．现在加密密钥为幂函数，解密密钥为指数函数．过程如下：发送方发送明文“9”，通过加密后得到密文“3”，再发送密文“3”，接受方通过解密密钥得到明文“27”．若接受方得到明文“9”，则发送方发送的明文为 ．
15．已知，则的值为 ．
16．定义若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知全集为R，集合，或.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
18．已知,且.
(1)求的值;
(2)求的值.
19．已知函数，．
（1）求的值域；
（2）求不等式的解集．
20．指出，倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，则第次改良后所排放的废气中的污染物数量，可由函数模型给出，其中是指改良工艺的次数.
(1)试求改良后的函数模型；
(2)依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过.试问：至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？（参考数据：取）
21．已知函数.
(1)求的值；
(2)求函数的值域；
(3)若，且对任意的、，都有，求实数的取值范围.
22．已知函数为偶函数．
(1)求实数的值；
(2)解关于的不等式；
(3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围．
1．C
【分析】依题意可得，求出的值，再检验即可.
【详解】因为，且，
即，解得或，
当时，不满足集合元素的互异性，故舍去，
当时，，符合题意.
故选：C
2．A
【分析】利用扇形的面积、弧长公式求圆心角的弧度即可.
【详解】令扇形的圆心角的弧度数为，半径为，则，即，
又，故.
故选：A
3．B
【分析】根据指数函数和对数函数的图像及单调性解题即可.
【详解】根据指数函数的图像及性质可知：，，
所以函数单调递增且，
故，
又根据指数函数的图像及性质可知：，，
所以函数单调递减且，
故，
又根据对数函数的图像及性质可知：
函数单调递增，
则当时，，
故，
综上：，
故选：B.
对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．
4．A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由，则或，解得或，
所以由推得出，即充分性成立，
由推不出，即必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5．D
【分析】根据指数幂及对数的运算性质计算.
【详解】∵，∴，
∴，
∴.
故选：D.
6．C
【分析】先确定函数奇偶性，再确定的时候的值.
【详解】因为，所以为奇函数，排除AB；
又时，所以排除D,
故选：C
7．A
【分析】利用给定函数的性质，结合分段函数解析式代入计算作答.
【详解】因为是定义域为R且最小正周期为的函数，且，
所以.
故选：A
8．B
【分析】结合同角三角函数的平方关系，计算线段与的长，判断A；利用两点间距离公式结合两角差的余弦公式，可判断B；根据三角函数特殊值求出坐标，判断C；结合诱导公式化简可得坐标，判断D.
【详解】对于A，,
，则线段与的长均为1，A说法正确；
对于B，
，B说法错误；
对于C，当时，，即，
，即，故点关于轴对称，C说法正确；
对于D，当时，，即
，即，
则点关于轴对称，D说法正确，
即说法错误的是B，
故选：B
9．BC
【分析】根据三角函数诱导公式一一化简各选项中的三角函数式，判断正误，即可得答案.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误，
故选：BC
10．BD
【分析】依题意可得，即可判断A、B、D，分和两种情况判断C.
【详解】因为，为全集的真子集且，
所以，则，，，故A错误，B、D正确；
当时，当时，故C错误；
故选：BD
11．AD
【分析】根据正弦函数的单调性及的单调性比较可得．
【详解】由题意，且，，因此，
∴，而在上递增，，
∴，同理，
故选：AD．
12．ACD
【分析】由题意可判断函数的周期，结合时的解析式，即可作出函数图象，数形结合，即可判断A，B，C；将方程的解的个数问题，转化为函数知和的图象的交点个数问题，即可判断D.
【详解】由题意知定义在上的函数满足，
即2为函数的周期，
当时，，当时，，
故结合函数的周期，作出其图象如图：

结合图象可知为偶函数，A正确；
结合图象可知为的对称中心，B错误；
对于C，结合图象知的增区间为，正确，
对于D，作出函数方程的图象，
由图象可知和的图象有5个交点，
故方程有5个实数解，D正确，

故选：ACD
关键点睛：本题考查了函数的奇偶性以及周期性和方程的解的问题，综合性较强，解答的关键是明确函数的性质，结合性质和解析式作出其图象，数形结合，解决问题.
13．
【分析】由题意得是方程的两个根，由根与系数的关系求出即可.
【详解】由题意可知，是方程的两个根，且，
由根与系数的关系得且，
解得，则.
故答案为.
14．4
【分析】根据题意求出加密密钥的幂函数以及解密密钥指数函数，再根据接受方得到明文“9”，进行逆运算，即可求得答案.
【详解】设加密密钥为幂函数，则由题意得，即
设解密密钥为指数函数，则，即，
故接受方得到明文“9”，则，则，
即发送方发送的明文为4，
故4
15．0
【分析】由已知利用三角函数的诱导公式分别求得与的值，则答案可求．
【详解】解：∵，
∴，
，
∴，
故0．
本题主要考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，属于基础题．
16．
【分析】先表示出的解析式，然后作出的图象，根据图象求解出最大值；结合图象分析值域为时定义域的情况，由此确定出的取值情况，即可求的最大值.
【详解】当时，解得或，
所以，
作出的图象如下图所示：
由图象可知：当时，有最大值，所以；
当时，解得或或；
当时，或，
由图象可知：当，时，的值域为，此时的最大值为；
当时，的值域为，此时，
由上可知，的最大值为，
故；.
思路点睛：本题考查取最小值函数的应用，处理这一类函数时，图象法是首选方法，通过数形结合的思想能高效的将问题简化.常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的数目；（2）求参数范围；（3）解不等式；（4）研究函数性质.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据，求出集合，再根据集合的交集运算，即可求出结果；
（2）先求出，再根据，可得，求解不等式即可.
【详解】（1）解：当时，或，
又，所以；
（2）因为或，所以，
又，所以，解得，即.
所以实数m的取值范围.
18．（1） （2）
（1）先求出，代入即可.（2）化简求值即可.
【详解】因为，所以
，即
解得：
又,所以
则
（2）
此题考查三角函数的化简求值，注意诱导公式的使用，属于简单题目.
19．（1）；（2）.
【分析】（1）变形得出，由结合二次函数的基本性质可求得函数的值域；
（2）将不等式变形为，结合可求得的取值范围，进而可求得的取值范围，即可得解.
【详解】（1），
，则，所以，，
所以，，因此，函数值域为；
（2）由可得，
即，即，解得或，
因为，或.
解不等式可得，
解方程可得.
因此，不等式的解集为.
方法点睛：形如型函数值域的求解，一般利用换元，将问题转化为求二次函数在区间上的值域，结合二次函数的基本性质求解.
20．(1)（）
(2)6次
【分析】（1）由题意得，，当时，求得，得到的表达式.
（2）由结合对数运算求得即可.
【详解】（1）由题意得，，所以当时，，
即，解得，
所以（），
故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为（）.
（2）由题意可得，整理得
两边同时取常用对数，得，整理得，
将代入，可得，所以，
又因为，所以，
综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.
21．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）代值计算即可得解；
（2）利用指数函数的值域以及不等式的性质可求得函数的值域；
（3）令，，分、、三种情况讨论，分析函数在上的单调性，根据题意可得出关于的不等式，综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解.
（2）解.
，则 ，则 ，所以，，
函数的值域为 .
（3）解：，
令，则，，函数的对称轴为直线.
①当时，函数在上单调递减，，
，解得，此时的取值不存在；
②当时，函数在 上单调递增，，
，解得，此时的取值不存在；
③当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
，且，
所以， ，解得，此时.
综上，实数的取值范围为.
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程，解出即可；
（2）考查函数在的单调性，根据条件转化不等式，解出即可；
（3）根据题意可知方程有两个不同的根，化简方程后，列出条件，解出即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
因为函数为偶函数．
所以，
即，
所以
，
所以；
（2）因为，
当时，，单调递增，
所以在上单调递增，又函数为偶函数，
所以函数在上单调递减；
因为，所以，
解得或，
所以不等式的解集为
（3）因为函数与图象有个公共点，
所以方程有两个不同的根，
方程即为，
可化为，
则有，，
设，则，
即，
又在上单调递增，
所以方程有两个不等的正根；
所以，
解得，
所以的取值范围为．