精品解析：江苏省盐城市七校联盟2025-2026学年高三上学期1月第三次学情检测数学试题+答案

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2026.01
注意事项：
1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷；
2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分；
3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.
选择题部分（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出集合中不等式的解集，然后根据并集的定义求解即可.
【详解】因为集合，，
所以.
故选：B.
2. 若复数z满足，则在复平面内z对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的运算法则及几何意义求解即可.
【详解】由，得，
所以在复平面内z对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
3. 向量、不平行，则存在两个非零常数、，使是、、共面的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件与必要条件的概念，结合共面向量与向量运算的性质，可得答案.
【详解】充分性证明：由不平行，则可作为所在平面内的一组基底，
由，则必定共面，所以充分性成立；
必要性证明：由共面，且不平行，当共线时，，
则不存在两个非零常数，使得，所以必要性不成立.
综上，该条件是充分非必要条件.
故选：A.
4. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ）
A. 1B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意求出，再由函数的奇偶性代值计算即得.
【详解】因函数是定义在上的奇函数，当时，
则，解得，则当时，，
故.
故选：C.
5. 目前你手头上做的这份数学试卷含有多选题的考查，多选题一般有多个选项正确，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.现已知一道多选题有四个选项，其中有三个选项是正确的，且得分细则为选对2个得4分.小丁不会做这道题，若他决定随机选择两个选项作答，则他最后该题得4分的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合组合数的运算，利用古典概型概率公式求解即可.
【详解】由题意四个选项中有三个选项正确，小丁最后该题得4分，
故小丁随机选两个且都正确，其概率.
故选：B
6. 展开式的二项式系数和64，则展开式中的有理项个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】利用二项式定理性质与通项求解即可.
【详解】解：二项系数和为，则，所以的通项为：，其中，
则展开式中的有理项满足，故，共3项.
故选：D.
7. 已知，，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先将已知等式进行变形得到，然后将目标式变形为，然后根据基本不等式的性质进行求解即可.
【详解】因，所以，所以.
那么.
因为，所以.
所以根据基本不等式的性质得，
当且仅当，即时等号成立.
此时取最小值为1.
故选：C.
8. 已知双曲线与平行于轴的动直线交于，两点，点在点左侧，为双曲线的左焦点，延长至点，使，连接交轴于点，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】利用直线平行于轴，可得三角形相似，得出，再利用已知条件中的线段的关系进行转化列出等式，结合双曲线的定义，化简后即可求解.
【详解】
根据题意设，其中，
则，，，
直线平行于轴，，
，
，
即
，
点在双曲线上，，
.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在中，角、、所对的边分别为、、，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的长可以是（ ）
A. 1B. C. D. 4
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据不同条件下三角形的解的个数分析判断即得.
【详解】在中，当已知边和锐角，判断三角形的个数时，若，有且只有一个解；
当时，有两个解；当时，有且只有一个解；当时，无解.
因为.
由，即，解得，故D正确；
由，可得，选项中，满足此条件，故A，B正确；
对于C，，此时三角形无解， 故C错误.
故选：ABD
10. 通常把半径相等的圆称为等圆.在平面上过同一点有个等圆，其中任何两个圆都有两个不同的交点，但任何三个圆除点外无其他公共点，记这个等圆共有个交点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 任意且，都有
D. 存在，使得
【答案】AC
【解析】
【分析】先分析个等圆交点个数的规律，再逐一判断选项．
【详解】过同一点有个等圆，当增加第个圆时，第个圆与前个圆，
各有一个除外的交点，因此递推关系为：，
即任意且，都有，C选项正确；
当时，三个等圆过同一点，每两个圆有2个交点，但是公共点，
因此除外，每两个圆有1个交点，因此，A选项正确；
由递推关系式可得：，，，
将这些式子累加得，
因此，
，因此B选项错误；
令，则，化简得．
判别式为，因为，不是整数，因此不是整数，因此D选项错误．
故选：AC．
11. 在平面直角坐标系中，已知曲线，点P在曲线C上，则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线C关于原点对称
B. 直线与曲线C有2个公共点
C. 点P的纵坐标的取值范围是
D. 的最大值为3
【答案】ACD
【解析】
【分析】将代入方程即可判断A；联立方程求解交点坐标判断B；由题意有非负根，利用判别式法求解范围判断C；结合给定条件并利用二次函数性质求得的最大值为，即可求得距离最大值判断D.
【详解】对于A，结合曲线，将代入，
方程不变，即曲线的图象关于原点对称，A正确；
对于B，由消去并化简得，
解得或，所以直线与曲线有3个公共点，B错误.
对于C，由整理得，
令，则有非负根，
而其对称轴，
所以，
则，解得， C正确.
对于D，令，则，代入，
化简得，设.
由于开口向上，对称轴为，
所以在上单调递增，
由解得（负根舍去），所以的最大值为，
所以的最大值为，D正确.
故选：ACD
非选择题部分（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 已知随机变量满足，且，则_____.
【答案】##
【解析】
【分析】利用二项分布公式，方差性质直接计算即可.
【详解】因为，所以，
又因为，所以.
故答案为：.
13. 小林体检后，遵照医嘱：在疗程内每天需要饮水.若小林用的水杯近似为正四棱台，尺寸为：上口边长为，底部边长为，高为，厚度忽略不计，则小林在疗程内每天需要饮水的杯数至少是_____.（结果向上取整）
【答案】7
【解析】
【分析】利用棱台的体积公式求出正四棱台水杯的体积，依题意可求得小林每天需要饮水的杯数.
【详解】由题意，正四棱台水杯的体积为，
因在疗程内每天需要饮水，则小林在疗程内每天需要饮水的杯数在之间，
取近似值，即每天需要饮水的杯数至少是7杯（结果向上取整）.
故答案为：7.
14. 若函数在上有且仅有四个零点，则实数的范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】运用三角恒等变换，将化简为，由的范围求得的范围，再结合正弦函数零点构造不等式即可得解.
【详解】
，
当时，则，
因为在上有且仅有四个零点，故，
解得.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 随着新能源产业的发展，某地区近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究充电桩建设的情况，相关部门收集到了2021年到2025年充电桩数量（单位：万个），为方便研究，年份代码用表示（如：表示2021年），具体参考数据如下表：
（1）请根据表中数据，建立关于的回归直线方程；
（2）假设该地区现有12个充电桩，其中一半为快充桩，现对该地区现有的12个充电桩进行检查，随机抽取3个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为，求的分布列及均值.
（参考公式：，.）
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据题干数据以及回归直线方程的参数公式，可得答案；
（2）根据超几何分布的分布列计算，以及均值计算公式，可得答案.
【小问1详解】
，，
，，
所以，回归直线方程为.
【小问2详解】
的可能取值为，则：
，，
，，
所以分布列为：
故均值.
16. 已知直线恒过椭圆的一个焦点，且的短轴长为2，圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴圆”.
（1）求椭圆和其“伴圆”的方程；
（2）点为“伴圆”与轴正半轴的交点，过点作椭圆的切线，，求证：.
【答案】（1）椭圆的方程为，其“伴圆”的方程为．
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）依题意求出的值，即可求出椭圆方程及其“伴圆”方程；
（2）由（1）求出点的坐标，设切线方程，代入椭圆方程，由，即可求出切线斜率，从而证明出其互相垂直.
【小问1详解】
因为直线恒过定点，且过椭圆的一个焦点，
所以，又，即，所以，
故椭圆的方程为，
其“伴圆”的方程为．
【小问2详解】
证明：因为“伴圆” 与轴正半轴的交点为，
所以设过点且与椭圆相切的直线方程为，
将代入，整理得，
则，解得，
即直线的斜率分别为，，
因为，所以．

17. 如图，正方形中，，分别是，的中点，现沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角平面角的正切值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据折前折后位置关系可得，再由勾股定理得出，即可由线面垂直，面面垂直的判定定理得证；
（2）由（1）中平面，利用二面角的面积射影公式求解即可.
【小问1详解】
折后所得四面体如图，
在折前正方形中，
，
折成四面体后，，
不妨设正方形的边长为，则，，
所以，所以，，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面.
【小问2详解】
设二面角平面角为，
因为平面，所以在平面上的射影为，
在折前正方形中，，
折成四面体后，，
所以，
,
所以，故，
所以.
18. 已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足.
（1）若，，且，求；
（2）若数列也是公差为的等差数列.
①求数列的通项公式；②求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）①，②
【解析】
【分析】(1)根据给定条件，依次求出，列出不等式求解即得.
(2)①设，由已知借助恒成立求出，进而求出；②分为奇偶讨论求和即可.
【小问1详解】
由题意知为等差数列且公差为，
所以由等差数列公式可得，又因，，
所以可得，为的前项和，
所以，而，
所以，
若，则可得，解不等式可得，
所以可得
【小问2详解】
①因数列也是公差为的等差数列，所以可设，
又因，
所以可得，
两边同时平方可得对于任意的都成立，
所以可得且，解之可得，
所以
②由①知，所以，
当,即为偶数时，
，
当，即奇数时，
，
综上可得，即
19. 已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若在上的最大值为，求实数的值；
（3）若，的图象上是否存在两点，，（其中），使得的斜率等于曲线在其上一点（点的横坐标等于中点的横坐标）处的切线的斜率，如果存在，求出、的坐标；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时， 的单调递增区间为，单调递减区间是；
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）先求出函数的定义域和导数，然后根据的取值范围讨论导数的正负，从而确定函数的单调区间；
（2）根据（1）中函数的单调性，分情况讨论的取值，求出函数在上的最大值，进而求出的值；
（3）先求出的表达式，再根据斜率公式和导数的几何意义列出等式，通过化简等式并结合已知条件判断是否存在满足条件的、两点.
【小问1详解】
函数的定义域为，，
当时，对于，，，
所以在上单调递增；
当时，令，因为，
所以，解得或（舍），
当时，，，所以单调递增；
当时，，，所以单调递减；
因此，当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时， 的单调递增区间为，单调递减区间是；
【小问2详解】
当时， 由（1）知在上单调递增，所以，
令，不满足，舍去.
当时，由（1）可知在单调递增，在单调递减.
若，即时，在上单调递增，
，令，不满足，舍去.
若，即时，
在上单调递增，在单调递减，
，
化简后得，即，解得，
满足，因此，实数的值为.
【小问3详解】
当时，，，
已知，，，中点的横坐标为，
则，
，
化简得，
进一步化简得，即，
令，则，即，整理得，
令，对求导得，
所以在上单调递增，，
即，所以不存在满足条件的、两点.
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70.4
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