2024^2025学年江苏省无锡市高一上学期（9月）月考数学试题【解析】

这是一份2024^2025学年江苏省无锡市高一上学期（9月）月考数学试题【解析】，共21页。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.
3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知正数满足，则（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
4. 已知，且．若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5. 设，且，则的最小值为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
6. 若不等式的解集为，则实数的值分别是（ ）
A. B.
C. D.
7. 关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
8. 如果对于任意实数，表示不超过的最大整数.例如，.那么“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知集合，若，则实数a的值可以是（ ）．
A. B. C. 0D.
10. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 不等式的解集为或
D. 的最小值为6
11 设，且，那么（ ）.
A. 有最小值
B. 有最大值
C. 有最大值
D. 有最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是_________.
13. 已知集合，有下列三个关系①；②；③，若三个关系中有且只有一个正确的，则_______________.
14. 已知关于方程（其中均为实数）有两个不等实根．若满足，且，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）计算：；
（2）化简.
16. 已知关于的不等式的解集为，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若___________，求的取值范围.
请①；②；③这三个条件中任选一个补充在横线处然后作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
17. 已知正数，满足.
（1）求的最小值；
（2）若恒成立，求实数取值范围.
18. 2010年上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为200 m2的十字型地域，计划在正方形上建一座“观景花坛”，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角(如等)上铺草坪，造价为80元/m2．设AD长为x m，DQ长为y m．
（1）试找出与满足的等量关系式；
（2）设总造价为元，试建立与的函数关系；
（3）若总造价不超过元，求长的取值范围．
19. 已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有．
（1）直接写出中所有元素之积的所有可能值；
（2）若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求；
（3）若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值．
2024-2025学年江苏省无锡市高一上学期9月月考数学阶段检测试卷
注 意 事 项
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.
3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】化简集合，根据交集运算法则求.
【详解】不等式的解集为，
所以，又，
所以，
故选：B.
2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据不等式的性质，结合特值法，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】A选项，当，时，，不等式不成立；
B选项，若时，，则不等式不成立；
C选项，若， 时，则不等式不成立；
D选项，若，则，不等式成立；
若，则，，不等式成立，
故选：D.
3. 已知正数满足，则（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【正确答案】B
分析】
根据题中条件，结合指数幂运算的性质，即可求出结果.
【详解】因为正数满足，
所以，即，则，
所以，即，因此.
故选：B.
4. 已知，且．若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由已知等式可得，由，利用基本不等式可求得，根据恒成立的思想可得，解不等式即可求得结果.
【详解】由，，得：，
（当且仅当，时取等号），
恒成立，，解得：，
即实数的取值范围为.
故选：D.
5. 设，且，则的最小值为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【正确答案】B
【分析】由基本不等式的乘“1”法即可求解.
【详解】，
等号成立当且仅当，
所以的最小值为4.
故选：B.
6. 若不等式的解集为，则实数的值分别是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用不等式和方程之间的关系，再利用韦达定理即可得解.
【详解】由题意得，、为方程的两个根，由韦达定理可得
解得.
故选：C.
本题考查了方程与不等式的关系，属于基础题.
7. 关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
分析】分类讨论，与三种情况下原不等式的解集，结合题意可得该整数，列不等式即可得到的取值范围．
【详解】由可得，
当时，，即原不等式无解，不满足题意；
当时，原不等式解得，由于解集中恰有2个整数，所以该整数解为2和3，因此可得，即；
当时，原不等式解得，由于解集中恰有2个整数，所以该整数解为和0，因此由数轴法可得，即；
综上：或，所以实数的取值范围为或．
故选：C．
8. 如果对于任意实数，表示不超过的最大整数.例如，.那么“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】B
【分析】根据所给定义以及充分条件与必要条件的定义推导即可.
【详解】如果，比如，则有，
根据定义，，
即“”不是“”的充分条件，
如果，则有，
，所以“”是“”的必要条件；
故“”是“”的必要而不充分条件.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知集合，若，则实数a的值可以是（ ）．
A. B. C. 0D.
【正确答案】BCD
【分析】根据题意，求得，再分和，求得集合，结合，即可求解.
【详解】由方程，解得或，即，
当时，则方程无实数解，此时，满足，符合题意；
当时，由，可得 此时，
要使得，可得或，解得或.
综上可得，实数的值为或或.
故选：BCD.
10. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 不等式的解集为或
D. 的最小值为6
【正确答案】BCD
【分析】根据含参的一元二次不等式的解法，分析可得a的正负，即可判断A的正误；根据二次函数性质，可判断B的正误；根据根与系数的关系，可得且，代入所求，化简计算，即可判断C的正误；将代入，根据基本不等式，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】A选项，依题可得函数开口向下与轴交点横坐标为2，3，故A错误；
B选项，依题可得时，函数值小于0，即，故B正确；
C选项，因为开口向下与轴交点横坐标为2，3，
所以，即，且，
所以不等式可化为，即，
解集为或，故C正确；
D选项，，
当且仅当时，即时取等，故D正确.
故选：BCD.
11. 设，且，那么（ ）.
A. 有最小值
B. 有最大值
C. 有最大值
D. 有最小值
【正确答案】AD
【分析】
利用可求得有最小值，无最大值，利用可求得有最小值，无最大值，从而可得答案.
【详解】因为，且，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，解得或（舍），
所以有最小值，无最大值，故正确、不正确；
因为，当且仅当时等号成立，
所以，解得或（舍），
所以，所以有最小值，无最大值，故不正确，正确.
故选：AD
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是_________.
【正确答案】
【分析】依题意，，判断方程无解条件即可.
【详解】命题：“，”为假命题，
则有，，得，解得，
所以实数的取值范围是.
故
13. 已知集合，有下列三个关系①；②；③，若三个关系中有且只有一个正确的，则_______________.
【正确答案】5
【分析】依次讨论①②③正确性，确定的值，得到答案.
【详解】若①正确，②③错误，则，，，矛盾，不成立；
若②正确，①③错误，则，，，矛盾，不成立；
若③正确，①②错误，则，，，成立，；
综上所述.
故答案为.
本题考查了逻辑推理，相等集合，意在考查学生的计算能力和逻辑推理能力.
14. 已知关于的方程（其中均为实数）有两个不等实根．若满足，且，则的取值范围是______．
【正确答案】
【分析】根据根与系数关系和韦达定理得到不等式和，结合题目条件得到方程，求出，将其代入不等式，求出的取值范围.
【详解】由题意得，
，，
故，
又，所以，即，
将代入中得，
解得
故
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）计算：；
（2）化简.
【正确答案】（1）3；（2）.
【分析】
（1）利用指数运算的知识化简，求得表达式的值；
（2）结合指数式的运算法则以及根式与分数指数幂的转换关系求得结果.
【详解】（1）原式；
（2）原式.
方法点睛：该题考查的是有关指数式的化简求值问题，解题方法如下：
（1）利用指数式运算法则化简；
（2）遇到小数化为分数；
（3）遇到指数是负数，可以对调底数的分子和分母，将负指数化为正指数.
16. 已知关于的不等式的解集为，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若___________，求的取值范围.
请在①；②；③这三个条件中任选一个补充在横线处然后作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【正确答案】（1）或；（2）答案见解析.
【分析】（1）由题意，二次方程有解，由判别式求解即可；
（2）如选①：
因为，所以，分与两种结合二次方程的根的情况讨论即可求解；
如选②：
因为，所以，所以时，所以只需和时即可，代入即可求解；
如选③：分与两种情况讨论即可求解；
【详解】（1）因为，二次方程有解
所以Δ≥0，即，
解得或；
（2）
如选①：
因为，所以
当时，即，解得；
当时，即或，
所以的两个根在区间[1，3]内，
即，解得，
综上，；
如选②：
因为，所以，
所以时，
所以只需和时即可，
即，解得；
如选③：
当时，即，解得；
当时，即或，
所以的两个根均大于3或均小于1，
即或，
解得，
综上，；
17. 已知正数，满足.
（1）求的最小值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）8；（2）.
【分析】（1），根据基本不等式，即可求得答案.
（2）原式可化为，令，，条件可化为，代入所求，根据基本不等式，可求得最小值，根据一元二次不等式的解法，即可得答案.
【详解】（1），
解得，
当且仅当，即，时取等，
所以的最小值为8；
（2）原式可化为，
令，，条件可化为，
因为，
所以，
则
，
当且仅当，即，时取等，
所以，解得.
18. 2010年上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为200 m2的十字型地域，计划在正方形上建一座“观景花坛”，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角(如等)上铺草坪，造价为80元/m2．设AD长为x m，DQ长为y m．
（1）试找出与满足的等量关系式；
（2）设总造价为元，试建立与的函数关系；
（3）若总造价不超过元，求长的取值范围．
【正确答案】（1）；
（2）；
（3）﹒
【分析】(1)由已知，十字形区域面积为矩形面积的四倍与正方形面积之和，得出；
(2)由(1)得，，即可建立与的函数关系．
(3)利用总造价不超过元，建立不等式，即可求长的取值范围．
【小问1详解】
由已知，十字形区域面积为矩形面积的四倍与正方形面积之和，
得出与满足的等量关系式为：；
【小问2详解】
由(1)得
；
【小问3详解】
由，得，
，即，
∴长的取值范围是，．
19. 已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有．
（1）直接写出中所有元素之积的所有可能值；
（2）若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求；
（3）若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值．
【正确答案】（1）或
（2）
（3）
【分析】（1）根据集合中元素构成可得集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，从而可得结论；
（2）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，从而可得结论；
（3）由（1）（2）可得集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环，从而根据得元素个数，可确定的元素个数的最小值．
【小问1详解】
已知非空实数集满足：任意，均有，且在实数范围内无解，所以，
所以，又
则集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，组和组不相交，且，
又，则S中所有元素之积的所有可能值为或；
【小问2详解】
已知非空实数集满足：任意，均有，且
所以，且，又
则集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交，且，
若由四个元素组成，则，且所有元素之和为3
所以，整理得
解得或
当或或或时，
综上，；
【小问3详解】
由（1）（2）集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环，
且当时，同一周期内其余元素不相等，
因而和互素，所以和中的各组最多只能有一个公共元素，
因为有五个元素，若要使的元素个数最小，要使相同的元素尽量在同一个周期内，
若，此时从中选出5个元素属于，此时T包含20个元素，中包含，
若，此时从中选出5个元素属于，此时S包含15个元素，中包含，
所以的元素个数最小值为.
关键点点睛：本题考查集合中元素的性质，综合性强.解题关键是确定集合中元素的构成以及元素个数关系，例如本题中集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交.