福建省莆田市莆田第八中学高二下学期第一次月考考试数学卷-A4

这是一份福建省莆田市莆田第八中学高二下学期第一次月考考试数学卷-A4，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在四面体OABC中，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．四边形的周长为
D．四边形的面积为
4．若m，n，l为空间三条不同的直线，为空间三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知向量，，则向量在向量方向上的投影数量为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．若对任意的，都有，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ）
A．①B．②C．③D．④
10．已知函数f（x）=（x-a）（x-3）2，当x=3时，f（x）有极大值，则a的取值可以是（ ）
A．6B．5C．4D．3
11．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是（ ）
A．若两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B．若直线的方向向量，平面的法向量是，则
C．若两个不同平面，的法向量分别为，，则
D．若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为，如图所示，则该地球仪的半径是 cm.
13．已知O为坐标原点，向量，点若点E在直线AB上，且，则点E的坐标为 ．
14．如图，将一边长为的正方形铁皮四角各截去一个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起，得到一个无盖长方体容器，若要求所得容器的容积最大，则截去的小正方形边长为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知函数，而且.
(1)求；
(2)若l是曲线的切线，且经过点，求l的方程.
16．已知函数在处取得极大值，且极大值为3.
(1)求的值：
(2)求在区间上不单调，求的取值范围.
17．已知函数其中为常数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上为单调函数, 求的取值范围.
18．在直三棱柱中，，点是的中点．
(1)求异面直线所成角的余弦值；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求直线到平面的距离．
19．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数有两个极值点，．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）证明：．
2024-2025学年莆田八中高二年级下学期第一次月考考试卷
参考答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B2．A3．D4．D5．C6．D7．D8．B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．ABD10．ABC11．ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13. 14．1
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．(1)
(2)或
【详解】（1），则，
所以，得.
（2）由(1)可得，，
设切点为，所以切线的斜率为，又因为，
所以直线l的方程为：
将代入上式并整理，可得，由此可解得或，
因此，切点为或，切线方程为或，
即l的方程为或.
16．(1)
(2)
【详解】（1）解：因为，可得，
因为函数在处取得极大值，且极大值为，
所以，解得.
（2）解：由题意，函数在区间上不单调，可得，解得，
又由，
当时，；当时，；时，，
所以函数在单调递增，在上单调递减，
因为在区间上不单调，则满足，解得，
即实数的取值范围为.
17．（1）递增区间，递减区间；（2）.
【详解】（1）若时，，定义域为，
则，
当，，函数单调递增，
当，，函数单调递减．
（2），
若函数在区间上是单调函数，
即在上或恒成立，
即或在上恒成立，
即或在上恒成立，
令，因函数在上单调递增，
所以或，
即或解得或或，
故的取值范围是.
（2）或恒成立，求参数值的范围的方法：
①分离参数法：或.
②若不能分离参数，就是求含参函数的最小值，使；或是求含参函数的最大值，使得.
18．(1)
(2)
(3)．
【详解】（1）以为轴建立按直角坐标系，
则．
所以，
所以．
故异面直线和所成角的余弦值为．
.
（2），，
设平面的法向量为．
则即，取，得
设直线与平面所成角为，
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
（3）连接交于点，连接，易得，
又平面，平面，所以平面．
故点到平面的距离即为所求直线到平面的距离．
记点到平面的距离为，又
则．
所以直线到平面的距离为．
19．(1)答案见解析；
(2)（i），（ii）证明见解析.
【详解】（1）由定义域为，且，
令得，或，
①当时，，，单调递增，
，，单调递减，
，，单调递增，
②当时，，在单调递增，
③当时，，，单调递增，
，，单调递减，
，，单调递增，
综上：
当时，的单调递增区间为、，的单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为、，的单调递减区间为.
（2）（i）由已知，，则，
函数有两个极值点，，即在上有两个不等实根，
令，只需，故，
（ii）由（i）知，，，且，
，
要证，即证，只需证，
令，，则，
因为恒成立，所以在上单调递减，
又，，
由零点存在性定理得，使得，即，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
则，
∵在上显然单调递增，
∴，
∴，即，得证．