福建省莆田市第八中学高二下学期期中考试数学试卷-A4

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数学试卷
2025.04
（考试时间120分钟 考试满分150分）
选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的）
1．在四面体中，（ ）
A．B．C．D．
2．若＝18，则m等于（ ）
A．9B．8C．7D．6
2．函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（ ）
A．1B．12C．2D．-12
3．的展开式中的系数为（ ）
A．-1B．-2C．-3D．4
5．已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．若，，，则以下不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（ ）
A．21717 B．61717 C．101717 D．141717
8．已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．若，则下列结论中正确的是（ ）
A．a0=1 B．a1+a2+a3+a4+a5=2
C．a1+a3+a5=-122 D．
10．甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．事件与事件相互独立
C．D．
11．已知函数，则（ ）
A．是的极小值点 B．的图象关于点对称
C．在上单调递减 D．当时，
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．已知向量，，若，则实数等于 .
13．已知，则a被10除所得的余数为 .
14．小明喜爱踢足球和打羽毛球．在周末的某天，他下午去踢足球的概率为．若他下午去踢足球，则晚上一定去打羽毛球；若下午不去踢足球，则晚上去打羽毛球的概率为．已知小明在某个周末晚上去打羽毛球，则下午踢足球的概率为 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．在的展开式中，若第3项的二项式系数为28，求：
(1)展开式中所有项的二项式系数之和；
(2)展开式中的有理项；
(3)展开式中系数最大的项．
16．甲乙丙丁戊五个同学
(1)排成一排，甲乙不相邻，共有多少种不同的排列方法？
(2)排成一排，甲不在首位，乙不在末位，共有多少种不同排列方法？
(3)去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？
(4)分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有多少种不同分配方法？
17．如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，点E为棱PC的中点，．
(1)证明：平面PAD；
(2)在棱PC上是否存在点F，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
18．教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．
(1)求5名优秀教师中的“甲”，在第一批次支教活动中就被抽选到的概率；
(2)求第一次抽取到无支教经验的教师人数的分布列；
(3)求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由．
19．已知函数.
（1）求函数的图象在（为自然对数的底数）处的切线方程；
（2）若对任意的，均有，则称为在区间上的下界函数，为在区间上的上界函数.
①若，求证：为在上的上界函数；
②若，为在上的下界函数，求实数的取值范围. 参考答案
一、单选题
二、多选题
三、填空题
12．
【详解】由题意，
∵，∴，．
故答案为：．
13．1
【详解】，
，
所以被10除所得的余数为1.
故答案为：1
14．
【详解】设小明周末晚间去打羽毛球为事件，下午去踢足球为事件，
则，，
依题意，.
故答案为:．
四、解答题
15．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用给定的二项式系数求出，再利用二项式系数的性质求得答案.
（2）求出二项式的展开式的通项，由的幂指数为有理数求解即得.
（3）由展开式通项的系数，列出不等式组并求解即得.
【详解】（1）依题意，，而，解得，
所以展开式中所有项的二项式系数之和为.
（2）二项式展开式通项为，
当为整数时，为有理项，则，
因此当时，；当时，；当时，，
所以展开式中的有理项为．
（3）设第项的系数最大，则，即，
整理得，解得，由，得或，
所以展开式中系数最大的项为．
16．(1)72；
(2)78；
(3)243；
(4)150.
【分析】（1）根据给定条件，利用不相邻问题插空法列式计算即得.
（2）求出无限制条件的排列数，去掉甲在首位或者乙在末位的排列数即可.
（3）根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算即得.
（4）把5人按或分组，再把每一种分组方法安排到三个城市即可得解.
【详解】（1）排成一排，甲乙不相邻，先将丙丁戊排成一列有种方法，再将甲乙插空隙中，有种方法，
所以共有不同排法数为（种）.
（2）排成一排，无限制条件的排列有，甲不在首位，乙不在末位的反面是甲在首位或乙在末位，共有，
则甲不在首位，乙不在末位的不同排法有（种）.
（3）去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，因此每个人都有种选择，
所以不同游览方法有（种）.
（4）分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，则先把5人按分组，有种分组方法，
按分组，有种分组方法，因此不同分组方法数为，
再把每一种分组安排到三个城市，有种方法，
所以不同分配方法种数是.
17．(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）作出辅助线，得到四边形ABEG为平行四边形，从而证明，线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，设，利用二面角大小列出方程，求出，得到答案.
【详解】（1）在PD上找中点G，连接AG，EG，如图：
∵G和E分别为PD和PC的中点，
∴，且，
又∵底面ABCD是直角梯形，，，
∴且．即四边形ABEG为平行四边形，
∴，
∵平面PAD，平面PAD，
∴平面PAD；
（2）因为平面，平面，
所以，又，
以A为原点，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
可得，，，，，
由F为棱PC上一点，设，
，
设平面FAD的法向量为，
由可得，解得：，
令，则，则，
取平面ADC的法向量为，
则二面角的平面角满足：,
解得：，解得：或（舍去），
故存在满足条件的点F，此时．
18．(1)
(2)分布列见解析
(3)1，理由见解析
【分析】（1）由古典概率公式求解即可；
（2）求出的可能取值及其对应的概率，即可求出的分布列；
（3）设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，求出的可能取值及其对应的概率，即可得出答案.
【详解】（1）5名优秀教师中的“甲”在第一批次支教活动中就被抽选到的概率：
．
（2）表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，的可能取值有0，1，2．
；；．
所以分布列为：
（3）设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有，则有：
因为，
故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人．
19．（1）；（2）①证明见解析；②.
【分析】（1）求出和的值，利用点斜式可求得所求切线的方程；
（2）①利用导数得出，，可得出，结合题中定义可得出结论；
②由题意得出对任意的恒成立，利用参变量分离法得出，设，利用导数求出函数在上的最小值，由此可求得实数的取值范围.
【详解】（1）因为，所以，
所以函数的图象在处的切线斜率.
又因为，所以函数的图象在处的切线方程为；
（2）①由题意得函数的定义域为.
令，得.
所以当时，；当时，.
故函数在上单调递增，在上单调递减.
所以.
因为，所以，
故当时，在上恒成立，所以在上单调递增，
从而，所以，即，
所以函数为在上的上界函数；
②因为函数为在上的下界函数，
所以，即.
因为，所以，故.
令，，则.
设，，则，
所以当时，，从而函数在上单调递增，
所以，
故在上恒成立，所以函数在上单调递增，
从而.
因为在上恒成立，所以在上恒成立，
故，即实数的取值范围为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
A
B
A
D
D
B
题号
9
10
11
答案
AC
ACD
BD
0
1
2
0.1
0.6
0.3