2023-2024学年北京市门头沟区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市门头沟区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列垃圾分类的标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）芝麻是世界上最古老的油料作物之一，如果一粒芝麻质量约为0.00000201千克，将0.00000201用科学记数法表示为（ ）
A．20.1×10﹣5B．2.01×10﹣6
C．0.201×10﹣7D．2.01×10﹣5
3．（2分）要使分式有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x≠2B．x＝2C．x＞2D．x＜2
4．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．x3•x2•x＝x5B．（x2）3＝x5
C．D．x2+x3＝x5
5．（2分）如果一个多边形的内角和是540°，那么该多边形的边数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
6．（2分）下列各式，从左到右变形正确的是（ ）
A．（x≠0）B．
C．D．
7．（2分）同学们用木棍摆三角形，木棍的长度有10cm，15cm，20cm和25cm四种，小明已经取了10cm和15cm两根木棍，那么第三根木棍不可能取（ ）
A．10cmB．15cmC．20cmD．25cm
8．（2分）设a，b是实数，定义一种新运算a☆b＝（a﹣b）2，下面有四个推断：
①a☆b＝b☆a；
②（a☆b）2＝a2☆b2；
③（﹣a）☆b＝a☆（﹣b）；
④a☆（b+c）＝a☆b+a☆c；
其中所有正确推断的序号是（ ）
A．①②③④B．①③④C．①②D．①③
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）如果分式的值为零，那么x的值为 ．
10．（2分）分解因式：a3﹣a＝ ．
11．（2分）计算：（5xy+4y）÷y＝ ．
12．（2分）如图，AB＝AC，点D在BC上，添加一个条件使△ABD≌△ACD，该条件是 ．
13．（2分）当x2﹣x﹣3＝0时，代数式（x﹣1）2+（x﹣1）（2x+1）的值为 ．
14．（2分）如果等腰三角形的两边长分别是4和9，那么它的周长为 ．
15．（2分）在平面直角坐标系xOy中，A（0，3），B（8，3），点C是x轴上的一个动点，当AC+BC最小时，点C的坐标是 ．
16．（2分）如图，在△ABC中，AB＜AC，∠BAC的平分线与外角∠BCD的平分线相交于点M，作AB的延长线得到射线AE，再作射线BM．下面有四个结论：
①∠MCD＞∠MAB；
②射线BM是∠EBC的角平分线；
③BM＝CM；
④∠BMC＝90°﹣∠BAC．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每个小题6分，第27～28题每题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（5分）计算：|﹣5|+2﹣2﹣（π﹣2024）0．
18．（5分）如图，点A、B、C、D在同一直线上，BE∥DF，∠A＝∠F，AB＝FD．求证：AE＝FC．
19．（5分）计算：a3•a+（﹣3a3）2÷a2．
20．（5分）解分式方程：．
21．（5分）已知，求代数式的值．
22．（5分）如图，AD是△ABC的高，CE是△ADC的角平分线．若∠BAD＝∠ECD，∠B＝70°，求∠CAD的度数．
23．（6分）阅读材料，并回答问题：
问题：（1）上述计算过程中，从 步开始出现错误（填序号）；
（2）发生错误的原因是： ；
（3）在下面的空白处，写出正确解答过程．
24．（6分）下面是小东设计的尺规作图过程．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
求作：点D，使点D在BC边上，且到AB和AC的距离相等．
作法：①如图，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M、N；
②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P；
③画射线AP，交BC于点D．
所以点D即为所求．
根据小东设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：过点D作DE⊥AC于点E，连接MP，NP．
在△AMP与△ANP中，
∵AM＝AN，MP＝NP，AP＝AP，
∴△AMP≌△ANP（SSS）．
∴∠ ＝∠ ．
∵∠ABC＝90°，
∴DB⊥AB．
又∵DE⊥AC，
∴DB＝DE（ ）（填推理的依据）
25．（6分）列方程或方程组解应用题：
小马自驾私家车从A地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动汽车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．
26．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，3），B（2，4），连接AB．
（1）画线段A1B1，使得线段A1B1与线段AB关于x轴对称，并写出A1B1的坐标：A1 ，B1 ；
（2）写出一个点C的坐标，使△ABC为等腰三角形：C ；
（3）如果点C在坐标轴上，且△ABC是等腰三角形，这样符合条件的所有点C共有 个．
27．（7分）如图，△ABC为等边三角形，在∠BAC内作射线AP（∠BAP＜30°），点B关于射线AP的对称点为点D，连接AD，作射线CD交AP于点E，连接BE．
（1）依题意补全图形；
（2）设∠BAP＝α，求∠BCE的大小（用含α的代数式表示）；
（3）用等式表示EA，EB，EC之间的数量关系，并证明．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：如果点P满足PA＝PB，那么点P就是线段AB的“关联点”．其中，当0°＜∠APB＜60°时，称P为线段AB的“远关联点”；当60°≤∠APB≤180°时，称P为线段AB的“近关联点”．
（1）如图1，当点A，B坐标分别为（﹣2，0）和（2，0）时，在P1（﹣1，3），P2（0，2），P3（0，﹣1），P4（0，4）中，线段AB的“近关联点”有 ．
（2）如图2，点A的坐标为（0，3），点B在x轴正半轴上，∠OAB＝60°．
①如果点P在y轴上，且为线段AB的“关联点”，那么点P的坐标为 ；
②如果点P为线段AB的“远关联点”，那么点P的纵坐标t的取值范围是 ．
2023-2024学年北京市门头沟区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）下列垃圾分类的标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（2分）芝麻是世界上最古老的油料作物之一，如果一粒芝麻质量约为0.00000201千克，将0.00000201用科学记数法表示为（ ）
A．20.1×10﹣5B．2.01×10﹣6
C．0.201×10﹣7D．2.01×10﹣5
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000201＝2.01×10﹣6．
故选：B．
【点评】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，掌握形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10是关键．
3．（2分）要使分式有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x≠2B．x＝2C．x＞2D．x＜2
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零，列不等式解答即可．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣2≠0，
∴x≠2．
故选：A．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握使分式有意义的条件是分母不等于0是关键．
4．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．x3•x2•x＝x5B．（x2）3＝x5
C．D．x2+x3＝x5
【分析】利用同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，分式的乘方法则和合并同类项的法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵x3•x2•x＝x3+2+1＝x6，
∴A选项的结论不符合题意；
∵（x2）3＝x2×3＝x6，
∴B选项的结论不符合题意；
∵（）2＝，
∴C选项的结论符合题意；
∵x2，x3不是同类项，不能合并，
∴D选项的结论不符合题意，
故选：C．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，分式的乘方法则和合并同类项的法则，正确利用上述法则进行解答是解题的关键．
5．（2分）如果一个多边形的内角和是540°，那么该多边形的边数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式进行计算即可求解．
【解答】解：设多边形的边数是n，则
（n﹣2）•180°＝540°，
解得n＝5．
故选：B．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
6．（2分）下列各式，从左到右变形正确的是（ ）
A．（x≠0）B．
C．D．
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变判断即可．
【解答】解：A选项，∵6x≠0，
∴x≠0，
分式的分子和分母同时除以3x，分式的值不变，故该选项符合题意；
B选项，分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0的整式，不能都加1，故该选项不符合题意；
C选项，﹣＝﹣＝＝，故该选项不符合题意；
D选项，分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0的整式，不可以分子乘n，分母乘m，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了分式的基本性质，分式的加减法，掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键．
7．（2分）同学们用木棍摆三角形，木棍的长度有10cm，15cm，20cm和25cm四种，小明已经取了10cm和15cm两根木棍，那么第三根木棍不可能取（ ）
A．10cmB．15cmC．20cmD．25cm
【分析】先设第三根木棒的长为x cm，再根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出不符合条件的x的值即可．
【解答】解：设第三根木棒的长为x cm，
∵已经取了10cm和15cm两根木棍，
∴15﹣10＜x＜15+10，即5＜x＜25．
∴四个选项中只有D不在其范围内，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
8．（2分）设a，b是实数，定义一种新运算a☆b＝（a﹣b）2，下面有四个推断：
①a☆b＝b☆a；
②（a☆b）2＝a2☆b2；
③（﹣a）☆b＝a☆（﹣b）；
④a☆（b+c）＝a☆b+a☆c；
其中所有正确推断的序号是（ ）
A．①②③④B．①③④C．①②D．①③
【分析】先根据新运算进行变形，再根据乘法公式进行判断即可．
【解答】解：①a☆b＝（a﹣b）2，b☆a＝（b﹣a）2＝（a﹣b）2，故①正确；
②（a☆b）2＝[（a﹣b）2]2＝（a﹣b）4，a2☆b2＝（a2﹣b2）2＝（a+b）2（a﹣b）2，故②错误；
③（﹣a）☆b＝（﹣a﹣b）2＝（a+b）2，a☆（﹣b）＝（a+b）2，故③正确；
④a☆（b+c）＝（a﹣b﹣c）2＝a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac+2bc，a☆b+a☆c．＝（a﹣b）2+（a﹣c）2＝a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2＝2a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac，故④错误；
即正确的为①③，
故选：D．
【点评】本题考查了整式的混合运算和乘法公式，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）如果分式的值为零，那么x的值为 2 ．
【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．
【解答】解：依题意，得
x﹣2＝0，且x≠0，
解得，x＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
10．（2分）分解因式：a3﹣a＝ a（a+1）（a﹣1） ．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：a3﹣a，
＝a（a2﹣1），
＝a（a+1）（a﹣1）．
故答案为：a（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意要分解彻底．
11．（2分）计算：（5xy+4y）÷y＝ 5x+4 ．
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝5xy÷y+4y÷y
＝5x+4．
故答案为：5x+4．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
12．（2分）如图，AB＝AC，点D在BC上，添加一个条件使△ABD≌△ACD，该条件是 BD＝CD ．
【分析】由题意可得∠ABC＝∠ACD，AB＝AC，即添加一组边对应相等，可证△ABD与△ACD全等．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACD，
添加BD＝CD，
在△ABD与△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
故答案为：BD＝CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
13．（2分）当x2﹣x﹣3＝0时，代数式（x﹣1）2+（x﹣1）（2x+1）的值为 9 ．
【分析】求出x2﹣x＝3，再根据完全平方公式和多项式乘多项式进行计算，合并同类项，最后代入求出答案即可．
【解答】解：∵x2﹣x﹣3＝0，
∴x2﹣x＝3，
∴（x﹣1）2+（x﹣1）（2x+1）
＝x2﹣2x+1+2x2+x﹣2x﹣1
＝3x2﹣3x
＝3（x2﹣x）
＝3×3
＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
14．（2分）如果等腰三角形的两边长分别是4和9，那么它的周长为 22 ．
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：（1）若4为腰长，9为底边长，
由于4+4＜9，则三角形不存在；
（2）若9为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为9+9+4＝22．
故答案为：22．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
15．（2分）在平面直角坐标系xOy中，A（0，3），B（8，3），点C是x轴上的一个动点，当AC+BC最小时，点C的坐标是 （4，0） ．
【分析】作A关于x轴的对称点A′，连接A'B，AB与x轴的交点C满足AC+BC最小，求出AB，设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A′（0，﹣3），B，8，3）代入得求出y＝x﹣3，将y＝0代入得x＝4，则点C的坐标是（4，0）．
【解答】解：作A关于x轴的对称点A′，连接A'B，
AB与x轴的交点C满足AC+BC最小，
此时A′（0，﹣3），B（8，3），
AB＝＝10，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
将A′（0，﹣3），B，8，3）代入得k＝，b＝﹣3，
∴y＝x﹣3，
将y＝0代入得x＝4，
∴点C的坐标是（4，0）．
故答案为：（4，0）．
【点评】本题考查轴对称—最短路线，坐标与图形的性质，解题的关键是求出AB所在直线的解析式．
16．（2分）如图，在△ABC中，AB＜AC，∠BAC的平分线与外角∠BCD的平分线相交于点M，作AB的延长线得到射线AE，再作射线BM．下面有四个结论：
①∠MCD＞∠MAB；
②射线BM是∠EBC的角平分线；
③BM＝CM；
④∠BMC＝90°﹣∠BAC．
其中所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【分析】根据角平分线的定义和性质，三角形的边角不等关系逐项进行判断即可．
【解答】解：∵∠MCD是△ACM的外角，
∴∠MCD＞∠MAC，
∵AM平分∠BAC，
∴∠MAB＝∠MAC，
∴∠MCD＞∠MAB，
因此①正确；
如图，过点M分别作MN⊥BC，MP⊥AB，MQ⊥AC，垂足分别为N、P、Q，
∵AM平分∠BAC，CM平分∠BCD，
∴MN＝MQ，MP＝MQ，
∴MN＝MP，
∴BM平分∠CBE，
因此②正确；
∵AB＜AC，
∴∠ACB＜∠ABC，
∴∠MBC＜∠MCB，
∴MB＞MC，
因此③不正确；
由上述证明可知，点M是△ABC的内角∠BAC，外角∠BCD，外角∠CBE的平分线的交点，
∴∠BMC＝180°﹣∠MBC﹣∠MCB
＝180°﹣（∠BCD+∠CBE）
＝180°﹣（∠BAC+∠BCA+∠CBA+∠BAC）
＝180°﹣（180°+∠BAC）
＝90°﹣∠BAC，
因此④正确；
综上所述，正确的结论有：①②④，
故答案为：①②④．
【点评】本题考查角平分线的性质，掌握角平分线的定义和性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提．
三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每个小题6分，第27～28题每题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（5分）计算：|﹣5|+2﹣2﹣（π﹣2024）0．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可．
【解答】解：|﹣5|+2﹣2﹣（π﹣2024）0
＝5+﹣1
＝4+
＝．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．
18．（5分）如图，点A、B、C、D在同一直线上，BE∥DF，∠A＝∠F，AB＝FD．求证：AE＝FC．
【分析】根据BE∥DF，可得∠ABE＝∠D，再利用ASA求证△ABC和△FDC全等即可．
【解答】证明：∵BE∥DF，
∴∠ABE＝∠D，
在△ABE和△FDC中，
，
∴△ABE≌△FDC（ASA），
∴AE＝FC．
【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质等知识点的理解和掌握，此题的关键是利用平行线的性质求证△ABC和△FDC全等．
19．（5分）计算：a3•a+（﹣3a3）2÷a2．
【分析】根据整式的乘除运算以及加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝a4+9a6÷a2．
＝a4+9a4
＝10a4．
【点评】本题考查整式加减运算与乘除运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则与乘除运算法则，本题属于基础题型．
20．（5分）解分式方程：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边都乘以最简公分母x（x+2），
得（x﹣1）（x+2）+3x＝x（x+2），
解这个方程，得：x＝1，
检验：当x＝1时，最简公分母x（x+2）≠0，
∴原方程的解是x＝1．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21．（5分）已知，求代数式的值．
【分析】将所求式子通分，分子、分母分解因式，再约分，化简后整体代入即可
【解答】解：原式＝•
＝•
＝
＝1﹣，
∵＝，
∴＝2，
∴原式＝1﹣2＝﹣1．
【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式通分、约分，把分式化简．
22．（5分）如图，AD是△ABC的高，CE是△ADC的角平分线．若∠BAD＝∠ECD，∠B＝70°，求∠CAD的度数．
【分析】在△ABD中，先利用三角形的内角和求出∠BAD，再利用角平分线的性质求出∠ACD，最后利用三角形的内角和求出∠DAC．
【解答】解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵∠B＝70°，
∴∠BAD＝20°．
∵CE是△ADC的角平分线，
∴．
∵∠BAD＝∠ECD＝20°，
∴∠ACD＝40°．
在△ACD中，∠CAD＝90°﹣40°＝50°．
【点评】本题考查了三角形的内角和、高、角平分线等知识点，掌握三角形的内角和定理及三角形的高和角平分线的性质，是解决本题的关键．
23．（6分）阅读材料，并回答问题：
问题：（1）上述计算过程中，从 ③ 步开始出现错误（填序号）；
（2）发生错误的原因是： 把分式的分母去掉了 ；
（3）在下面的空白处，写出正确解答过程．
【分析】（1）根据分式的加法法则得出答案即可；
（2）根据分式的加法法则得出答案即可；
（3）先通分，再根据分式的加法法则进行计算，最后求出答案即可．
【解答】解：（1）上述计算过程中，从第③步开始出现错误，
故答案为：③；
（2）发生错误的原因是把分式的分母去掉了，
故答案为：分式的分母去掉了；
（3）+
＝+
＝+
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
24．（6分）下面是小东设计的尺规作图过程．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
求作：点D，使点D在BC边上，且到AB和AC的距离相等．
作法：①如图，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M、N；
②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P；
③画射线AP，交BC于点D．
所以点D即为所求．
根据小东设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：过点D作DE⊥AC于点E，连接MP，NP．
在△AMP与△ANP中，
∵AM＝AN，MP＝NP，AP＝AP，
∴△AMP≌△ANP（SSS）．
∴∠ PAM ＝∠ PAN ．
∵∠ABC＝90°，
∴DB⊥AB．
又∵DE⊥AC，
∴DB＝DE（ 角平分线上的点到角的两边的距离相等 ）（填推理的依据）
【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；
（2）根据全等三角形的性质和角平分线的性质即可完成证明．
【解答】解：（1）如图，即为补全的图形；
（2）证明：过点D作DE⊥AC于点E，连接MP，NP．
在△AMP与△ANP中，
∵AM＝AN，MP＝NP，AP＝AP，
∴△AMP≌△ANP（SSS）．
∴∠PAM＝∠PAN．
∵∠ABC＝90°，
∴DB⊥AB．
又∵DE⊥AC，
∴DB＝DE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．
故答案为：PAM，PAN，角平分线上的点到角的两边的距离相等．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
25．（6分）列方程或方程组解应用题：
小马自驾私家车从A地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动汽车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．
【分析】设新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为x元，则原来的燃油汽车所需的油费为（x+0.54）元，根据驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动汽车所需电费27元，所行的路程相等列出方程解决问题．
【解答】解：设新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为x元，则原来的燃油汽车所需的油费为（x+0.54）元，由题意得
＝，
解得：x＝0.18
经检验x＝0.18为原方程的解
答：纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元．
【点评】此题考查分式方程的应用，找出题目蕴含的数量关系，列出方程解决问题．
26．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，3），B（2，4），连接AB．
（1）画线段A1B1，使得线段A1B1与线段AB关于x轴对称，并写出A1B1的坐标：A1 （﹣1，﹣3） ，B1 （2，﹣4） ；
（2）写出一个点C的坐标，使△ABC为等腰三角形：C （1，2） ；
（3）如果点C在坐标轴上，且△ABC是等腰三角形，这样符合条件的所有点C共有 7 个．
【分析】（1）依据线段A1B1与线段AB关于y轴对称，即可得到线段A1B1，并得到A1、B1的坐标；
（2）利用等腰三角形的定义，并结合轴对称的性质，找到一点C即可；
（3）依据点C在坐标轴上，且△ABC是等腰△ABC，即可得出所有符合条件的C点．
【解答】解：（1）如图所示，线段A1B1即为所求，A1（﹣1，﹣3）、B1（2，﹣4）；
故答案为：（﹣1，﹣3）；（2，﹣4）；
（2）如图所示，使△ABC成为等腰三角形，点C（1，2）；
故答案为：（1，2）（答案不唯一）；
（3）如图所示，点C在坐标轴上，且满足△ABC是等腰三角形的C点有7个．
x轴上有3个点，y轴上有4个点，共7个．
故答案为：7．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
27．（7分）如图，△ABC为等边三角形，在∠BAC内作射线AP（∠BAP＜30°），点B关于射线AP的对称点为点D，连接AD，作射线CD交AP于点E，连接BE．
（1）依题意补全图形；
（2）设∠BAP＝α，求∠BCE的大小（用含α的代数式表示）；
（3）用等式表示EA，EB，EC之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）依题意补全图形；
（2）先得出∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，再得出∠BAP＝∠DAP＝α，AB＝AD，进而得出∠CAD＝60°﹣2α，AD＝AC，得出∠ACD＝60°+α，即可得出结论；
（3）如图2，在EA上取一点F，使EF＝EB，先判断出△BEF是等边三角形，得出BF＝BE，∠EBF＝60°，再判断出△ABF≌△CBE（ASA），得出AF＝CE，即可得出结论．
【解答】解：（1）补全图形如图1所示，
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
∵点B关于射线AP的对称点为点D，
∴∠BAP＝∠DAP＝α，AB＝AD，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠DAP＝60°﹣2α，AD＝AC，
∴∠ACD＝（180°﹣∠CAD）＝[180°﹣（60°﹣2α）]＝60°+α，
∴∠BCE＝∠ACD﹣∠ACB＝α；
（3）EA＝EB+EC，
证明：如图2，在EA上取一点F，使EF＝EB，
由（2）知，∠ACD＝60°+∠BAP，
∵∠CAE＝60°﹣∠BAP，
∴∠ACD+∠CAE＝120°，
∴∠AEC＝60°，
由折叠知，∠AEB＝∠AEC＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴BF＝BE，∠EBF＝60°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABC＝∠EBF＝60°，
∴∠ABF＝∠CBE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝CB，
由（2）知，∠BAP＝∠BCE，
∴△ABF≌△CBE（ASA），
∴AF＝CE，
∴EA＝EF+AF＝EB+CE．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了对称性，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解（3）的关键．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：如果点P满足PA＝PB，那么点P就是线段AB的“关联点”．其中，当0°＜∠APB＜60°时，称P为线段AB的“远关联点”；当60°≤∠APB≤180°时，称P为线段AB的“近关联点”．
（1）如图1，当点A，B坐标分别为（﹣2，0）和（2，0）时，在P1（﹣1，3），P2（0，2），P3（0，﹣1），P4（0，4）中，线段AB的“近关联点”有 P2、P3 ．
（2）如图2，点A的坐标为（0，3），点B在x轴正半轴上，∠OAB＝60°．
①如果点P在y轴上，且为线段AB的“关联点”，那么点P的坐标为 （0，﹣3） ；
②如果点P为线段AB的“远关联点”，那么点P的纵坐标t的取值范围是 t＞6或t＜﹣3 ．
【分析】（1）根据关联点的定义可知P在AB的垂直平分线上，在根据当∠APB＝60°时，P点的坐标判断“近关联点”即可；
（2）①根据P在AB的垂直平分线上，以及∠OAB＝60°，可以得到△APB是等边三角形，从而得到P点坐标；
②求出∠APB＝60°时，P点坐标，由①已知P在AB下方时的坐标，根据等边三角形的性质，求出P在AB上方时的坐标，两个坐标之间的点是“近关联点”，其他的为“远关联点”，从而可以求出t的取值范围．
【解答】解：（1）∵PA＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，即y轴，
∴P点坐标为（0，y），
当∠APB＝60°，△APB为等边三角形，
∴OP＝OB＝2，
∴当y＞2或y＜﹣2时，为“远关联点”，当﹣2≤y≤2时，为“近关联点”，
∴线段AB的“近关联点”为P2、P3；
故答案为：P2、P3；
（2）①∵PA＝PB，∠OAB＝60°，
∴△ABP为等边三角形，
∴AP＝AB，
∵OA＝3，∠OAB＝60°，
∴AB＝6，
∴AP＝6，
∴P（0，﹣3）；
故答案为：（0，﹣3）；
②当P在AB上方时，如图：
∵∠ABP＝60°，∠ABO＝30°，
∴BP⊥x轴，
∵∠OAB＝60°，AO＝3，
∴OB＝3，
又∵BP＝AB＝6，
∴P（3，6），
∴t＞6或t＜﹣3．
故答案为：t＞6或t＜﹣3．
【点评】本题主要考查了三角形的综合题，合理运用等边三角形的性质是本题解题的关键．小亮在学习分式运算过程中，计算解答过程如下：
解：
＝ ①
＝ ②
＝6+a﹣3 ③
＝a+3 ④
小亮在学习分式运算过程中，计算解答过程如下：
解：
＝ ①
＝ ②
＝6+a﹣3 ③
＝a+3 ④