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【解析版】2022年北京市门头沟区八年级上期末数学试卷
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这是一份【解析版】2022年北京市门头沟区八年级上期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了填空题，计算，解方程，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022学年北京市门头沟区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，请将答案填写在下面表格内．
1．25的算术平方根是（ ）
A． 5 B． ±5 C． ± D．
2．下列实数中，是无理数的是（ ）
A． B． ﹣0.3 C． D．
3．下列计算中正确的是（ ）
A． ÷3=3 B． 2+3=5 C． 2×3=6 D． （）2=﹣4
4．下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．方程x2﹣4x﹣6=0的根的情况是（ ）
A． 有两个相等实根 B． 有两个不等实根
C． 没有实根 D． 以上答案都有可能
6．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A． 2，2，3 B． 2，3，4 C． 3，4，5 D． 5，8，13
7．下列根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
8．下列各式中，正确的是（ ）
A． =x3 B． =
C． =﹣ D． +=
9．如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（ ）
A． 12 B． 4 C． 8 D． 不确定
10．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A． 6条 B． 7条 C． 8条 D． 9条
二、填空题（本题共20分，每小题2分）
11．如果分式的值为0，那么x= ．
12．使有意义的x的取值范围是 ．
13．如图，点D、E分别在线段AB、AC上，AB=AC，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是 （只写一个条件即可）．
14．将一元二次方程x2﹣6x﹣5=0化成（x﹣3）2=b的形式，则b= ．
15．一个三角形两边长分别为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为 ．
16．当1＜x＜2时，化简+= ．
17．已知x=1是关于x的一元二次方程2x2+kx﹣1=0的一个根，则实数k的值是 ．
18．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．若∠BAE=40°，则∠C= °．
19．=+是物理学中的一个公式，其中各个字母都不为零且R1+R2≠0．用R1，R2表示R，则R= ．
20．如图，已知点P在锐角∠AOB内部，∠AOB=α，在OB边上存在一点D，在OA边上存在一点C，能使PD+DC最小，此时∠PDC= ．
三、计算（本题共10分，每小题5分）
21．．
22．计算：4÷（﹣）×．
四、解方程（本题共15分，每小题15分）
23．（15分）（2014秋•门头沟区期末）（1）3x2﹣6x﹣2=0
（2）3x（x+2）=2x+4
（3）+=1．
五、解答题（本题共17分，其中26-27每小题5分，28题7分）
26．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求证：AE=FC．
27．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BD，∠C=65°，求∠BAC的度数．
28．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）请在线段BC上作一点D，使点D到边AC、AB的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，若AC=6，BC=8，请求出CD的长度．
六、解答题（本题共18分，每小题6分）
29．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
30．先化简，再求值：﹣（÷），其中x2﹣3x﹣4=0．
31．列方程解应用题
为了迎接春运高峰，铁路部门日前开始调整列车运行图，2015年春运将迎来“高铁时代”．甲、乙两个城市的火车站相距1280千米，加开高铁后，从甲站到乙站的运行时间缩短了11小时，大大方便了人们出行．已知高铁行使速度是原来火车速度的3.2倍，求高铁的行驶速度．
七、解答题（本题10分）
32．在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：
已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形ACE和BCD，联结AD、BE交于点P．
（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD 与BE的数量关系是： ．
（2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．此时∠APE是否随着∠ACB的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形△ABF，联结AD、BE和CF交于点P，求证：PB+PC+PA=BE．
2022学年北京市门头沟区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，请将答案填写在下面表格内．
1．25的算术平方根是（ ）
A． 5 B． ±5 C． ± D．
考点： 算术平方根．
分析： 根据算术平方根的定义即可解决问题．
解答： 解：∵52=25，
∴25的算术平方根是5，
故选A．
点评： 本题考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
2．下列实数中，是无理数的是（ ）
A． B． ﹣0.3 C． D．
考点： 无理数．
分析： 根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的选项．
解答： 解：﹣0.3，，=﹣2，都是有理数，
只有是无理数．
故选A．
点评： 本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
3．下列计算中正确的是（ ）
A． ÷3=3 B． 2+3=5 C． 2×3=6 D． （）2=﹣4
考点： 二次根式的乘除法；二次根式的加减法．
分析： 根据二次根式的乘法法则和除法法则求解．
解答： 解：A、÷3=，原式计算错误，故本选项错误；
B、2和3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、2×3=6，计算正确，故本选项正确；
D、（）2=4，计算错误，故本选项错误．
故选C．
点评： 本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则和除法法则．
4．下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 轴对称图形．
分析： 根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断．
解答： 解：A、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故本选项错误；
B、有六条对称轴，是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故本选项错误．
故选B．
点评： 本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5．方程x2﹣4x﹣6=0的根的情况是（ ）
A． 有两个相等实根 B． 有两个不等实根
C． 没有实根 D． 以上答案都有可能
考点： 根的判别式．
分析： 直接根据一元二次方程根的判别式求出△的值即可作出判断．
解答： 解：∵方程x2﹣4x﹣6=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×（﹣6）=16+24=40＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选B．
点评： 本题考查的是一元二次方程根的判别式，即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
6．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A． 2，2，3 B． 2，3，4 C． 3，4，5 D． 5，8，13
考点： 三角形三边关系．
分析： 判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
解答： 解：A、22+22≠32，故不能组成直角三角形，故此选项错误；
B、22+32≠42，故不能组成直角三角形，故此选项错误；
C、32+42=52，故能组成直角三角形，故此选项正确；
D、52+82≠132，故不能组成直角三角形，故此选项错误．
故选C．
点评： 本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
7．下列根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
考点： 最简二次根式．
分析： 判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
解答： 解：A、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；
B、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；
C、=2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
D、，符合最简二次根式的定义，
故选D．
点评： 本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
8．下列各式中，正确的是（ ）
A． =x3 B． =
C． =﹣ D． +=
考点： 分式的混合运算．
分析： 根据同底数幂的除法、分式的通分进行计算即可．
解答： 解：A、=x4；故A错误；
B、不能化简，故B错误；
C、=﹣，故C错误；
D、+=+=，故D正确，
故选D．
点评： 本题考查了分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．
9．如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（ ）
A． 12 B． 4 C． 8 D． 不确定
考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
分析： 根据角平分线的定义可得∠ABE=∠CBE，∠ACE=∠BCE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE=∠BEM，∠BCE=∠CEN，然后求出∠ABE=∠BEM，∠ACE=∠CEN，根据等角对等边可得BM=ME，CN=NE，然后求出△AMN的周长=AB+AC．
解答： 解：∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，
∴∠ABE=∠CBE，∠ACE=∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠CBE=∠BEM，∠BCE=∠CEN，
∴∠ABE=∠BEM，∠ACE=∠CEN，
∴BM=ME，CN=NE，
∴△AMN的周长=AM+ME+AN+NE=AB+AC，
∵AB=AC=4，
∴△AMN的周长=4+4=8．
故选C．
点评： 本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键．
10．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A． 6条 B． 7条 C． 8条 D． 9条
考点： 作图—应用与设计作图；等腰三角形的判定．
专题： 压轴题．
分析： 利用等腰三角形的性质分别利用AB，AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可．
解答： 解：如图所示：当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7时，都能得到符合题意的等腰三角形．
故选：B．
点评： 此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．
二、填空题（本题共20分，每小题2分）
11．如果分式的值为0，那么x= ．
考点： 分式的值为零的条件．
分析： 根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
解答： 解：由分式的值为零的条件得2x﹣1=0，
由2x﹣1=0，得x=，
故答案为．
点评： 本题考查了分式值为0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
12．使有意义的x的取值范围是 x≥2 ．
考点： 二次根式有意义的条件．
专题： 计算题．
分析： 二次根式的被开方数是非负数，所以2x﹣4≥0，通过解该不等式即可求得x的取值范围．
解答： 解：根据题意，得
2x﹣4≥0，
解得，x≥2；
故答案是：x≥2．
点评： 本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
13．如图，点D、E分别在线段AB、AC上，AB=AC，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是 AD=AE （只写一个条件即可）．
考点： 全等三角形的判定．
专题： 开放型．
分析： 添加条件：AD=AE，再由已知条件AB=AC和公共角∠A可利用SAS定理证明△ABE≌△ACD．
解答： 解：添加条件：AD=AE，
在△AEB和△ADC中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
故答案为：AD=AE．
点评： 此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
14．将一元二次方程x2﹣6x﹣5=0化成（x﹣3）2=b的形式，则b= 14 ．
考点： 解一元二次方程-配方法．
分析： 移项，配方，再变形，即可得出答案．
解答： 解：x2﹣6x﹣5=0，
x2﹣6x=5，
x2﹣6x+9=5+9，
（x﹣3）2=14，
故答案为：14．
点评： 本题考查了解一元二方程的应用，解此题的关键是能正确配方．
15．一个三角形两边长分别为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为 7或9 ．
考点： 三角形三边关系．
分析： 能够根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是奇数，进行求解．
解答： 解：根据三角形的三边关系，得
第三边应＞5，而＜11．
又第三边是奇数，则第三边应是7或9．
点评： 此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
16．当1＜x＜2时，化简+= 1 ．
考点： 二次根式的性质与化简．
分析： 利用完全平方公式的定义，结合二次根式的性质化简求出即可．
解答： 解：∵1＜x＜2，
∴+
=+
=2﹣x+x﹣1
=1．
故答案为：1．
点评： 此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简是解题关键．
17．已知x=1是关于x的一元二次方程2x2+kx﹣1=0的一个根，则实数k的值是 ﹣1 ．
考点： 一元二次方程的解．
专题： 计算题．
分析： 已知x=1是关于x的一元二次方程2x2+kx﹣1=0的一个根，把x=1代入方程，即可得到一个关于k的方程，解方程即可求出k值．
解答： 解：把x=1代入方程得：2+k﹣1=0，
解方程得k=﹣1．
故答案为：1
点评： 本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．
18．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．若∠BAE=40°，则∠C= 25 °．
考点： 线段垂直平分线的性质．
分析： 根据线段垂直平分线性质得出AE=EC，推出∠C=∠EAC，根据三角形内角和定理求出即可．
解答： 解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴∠C=∠EAC，
∵∠B=90°，∠BAE=40°，
∴2∠C=90°﹣40°=50°，
∴∠C=25°，
故答案为：25．
点评： 本题考查了线段垂直平分线性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
19．（2分）（2014秋•门头沟区期末）=+是物理学中的一个公式，其中各个字母都不为零且R1+R2≠0．用R1，R2表示R，则R= ．
考点： 分式的加减法．
分析： 先找出最简分母，方程两边同乘以最简公分母，再求R即可．
解答： 解：方程两边同乘RR1R2，
R1R2，=RR2+RR1，
R1R2，=R（R2+R1），
R=，
故答案为．
点评： 本题考查了分式的加减，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
20．如图，已知点P在锐角∠AOB内部，∠AOB=α，在OB边上存在一点D，在OA边上存在一点C，能使PD+DC最小，此时∠PDC= 2α ．
考点： 轴对称-最短路线问题．
分析： 过P的作关于OB的对称点P'，作P′C⊥OA于C，交OB于D，此时PD+DC=P'C最短，即可求得∠PDC的度数．
解答： 解：过P的作关于OB的对称点P'，作P′C⊥OA于C，交OB于D，此时PD=PD′，根据点到直线的距离最短可知PD+DC=P′C最短，
∵∠PDB=∠P′DB，∠CDO=∠P′DB，
∴∠CDO=∠PDB，
∵P′C⊥OA，∠AOB=α，
∴∠CDO=90°﹣α，
∴∠PDC=180°﹣2（90°﹣α）=2α．
故答案为：2α．
点评： 本题考查了轴对称﹣最短路线问题的应用、点到直线的距离最短，关键是确定D、C的位置．
三、计算（本题共10分，每小题5分）
21．．
考点： 分式的加减法．
专题： 计算题．
分析： 原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果．
解答： 解：原式=+===．
点评： 此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．计算：4÷（﹣）×．
考点： 二次根式的乘除法．
分析： 根据二次根式的乘法法则和除法法则求解．
解答： 解：原式=﹣2÷×
=﹣×
=﹣．
点评： 本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则和除法法则．
四、解方程（本题共15分，每小题15分）
23．（15分）（2014秋•门头沟区期末）（1）3x2﹣6x﹣2=0
（2）3x（x+2）=2x+4
（3）+=1．
考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法；解分式方程．
分析： （1）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）把分式方程转化整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．
解答： 解：（1）3x2﹣6x﹣2=0，
∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，
∴b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×3×（﹣2）=60，
∴x=，
x1=，x2=；
（2）3x（x+2）=2x+4，
3x（x+2）﹣2（x﹣2）=0，
（x﹣2）（3x﹣2）=0，
x﹣2=0，3x﹣2=0，
x1=2，x2=；
（3）方程两边都乘以（x+2）（x﹣2）得：x（x+2）+6（x﹣2）=（x+2）（x﹣2），
解得：x=1，
检验：当x=1时，（x+2）（x﹣2）≠0，
所以x=1是原方程的解，
即原方程的解为x=1．
点评： 本题考查了解一元二次方程和解分式方程的应用，解一元二次方程的关键是能把一元二次方程准化成一元一次方程，解分式方程的关键是能把分式方程转化成整式方程．
五、解答题（本题共17分，其中26-27每小题5分，28题7分）
26．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求证：AE=FC．
考点： 全等三角形的判定与性质；平行线的性质．
专题： 证明题．
分析： 根据BE∥DF，可得∠ABE=∠D，再利用ASA求证△ABC和△FDC全等即可．
解答： 证明：∵BE∥DF，
∴∠ABE=∠D，
在△ABE和△FDC中，
∠ABE=∠D，AB=FD，∠A=∠F
∴△ABE≌△FDC（ASA），
∴AE=FC．
点评： 此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质等知识点的理解和掌握，此题的关键是利用平行线的性质求证△ABC和△FDC全等．
27．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BD，∠C=65°，求∠BAC的度数．
考点： 等腰直角三角形．
分析： 先根据△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BD求出∠BAD的度数，再由∠C=65°求出∠CAD的度数，进而可得出结论．
解答： 解：∵△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BD，
∴∠BAD=45°，
∵∠C=65°，
∴∠CAD=90°﹣65°=25°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=45°+25°=70°．
点评： 本题考查的是等腰直角三角形，熟知两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形是解答此题的关键．
28．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）请在线段BC上作一点D，使点D到边AC、AB的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，若AC=6，BC=8，请求出CD的长度．
考点： 角平分线的性质；勾股定理；作图—基本作图．
分析： （1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等知作出∠A的平分线即可；
（2）设CD的长为x，然后用x表示出DB、DE、BF利用勾股定理得到有关x的方程，解之即可．
解答： 解：（1）如图所示：所以点D为所求；
（2）过点D做DE⊥AB于E，设DC=x，则BD=8﹣x
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8
∴由勾股定理得AB==10…（3分）
∵点D到边AC、AB的距离相等
∴AD是∠BAC的平分线
又∵∠C=90°，DE⊥AB
∴DE=DC=x，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE=AC=6，
∴BE=4，
Rt△DEB中，∠DEB=90°，
∴由勾股定理得DE2+BE2=BD2，
即x2+42=（8﹣x）2，
解得x=3．
答：CD的长度为3．
点评： 本题考查了勾股定理的应用，通过本题使同学们明白勾股定理不但可以在直角三角形中求线段的长，而且可以根据其列出等量关系．
六、解答题（本题共18分，每小题6分）
29．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
考点： 根的判别式．
分析： 首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m的值，即可确定原一元二次方程，进而可求出方程的根．
解答： 解：由题意可知△=0，即（﹣4）2﹣4（m﹣1）=0，解得m=5．
当m=5时，原方程化为x2﹣4x+4=0．解得x1=x2=2．
所以原方程的根为x1=x2=2．
点评： 总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
30．先化简，再求值：﹣（÷），其中x2﹣3x﹣4=0．
考点： 分式的化简求值．
专题： 计算题．
分析： 原式括号中利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
解答： 解：原式=﹣[•]=﹣==﹣，
∵x2﹣3x﹣4=0，
∴x2﹣3x=4，即x（x﹣3）=4，
∴原式=﹣．
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
31．列方程解应用题
为了迎接春运高峰，铁路部门日前开始调整列车运行图，2015年春运将迎来“高铁时代”．甲、乙两个城市的火车站相距1280千米，加开高铁后，从甲站到乙站的运行时间缩短了11小时，大大方便了人们出行．已知高铁行使速度是原来火车速度的3.2倍，求高铁的行驶速度．
考点： 分式方程的应用．
分析： 根据题意，设原来火车的速度是x千米/时，进而利用从甲站到乙站的运行时间缩短了11小时，得出等式求出即可．
解答： 解：设原来火车的速度是x千米/时，根据题意得：
﹣=11，
解得：x=80，
经检验，是原方程的根且符合题意．
故80×3.2=256（km/h）．
答：高铁的行驶速度是256km/h．
点评： 此题主要考查了分式的方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．
七、解答题（本题10分）
32．在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：
已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形ACE和BCD，联结AD、BE交于点P．
（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD 与BE的数量关系是： AD=BE ．
（2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．此时∠APE是否随着∠ACB的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形△ABF，联结AD、BE和CF交于点P，求证：PB+PC+PA=BE．
考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
分析： （1）直接写出答案即可．
（2）证明△ECB≌△ACD，得到∠CEB=∠CAD，此为解题的关键性结论；借助内角和定理即可解决问题．
（3）如图，作辅助线，证明△CPA≌△CHE，即可解决问题．
解答： 解：（1）∵△ACE、△CBD均为等边三角形，
∴AC=EC，CD=CB，∠ACE=∠BCD，
∴∠ACD=∠ECB；
在△ACD与△ECB中，
，
∴△ACD≌△ECB（SAS），
∴AD=BE，
故答案为AD=BE．
（2）AD=BE成立，∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°．
证明：∵△ACE和△BCD是等边三角形
∴EC=AC，BC=DC，
∠ACE=∠BCD=60°，
∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD；
在△ECB和△ACD中，
∴△ECB≌△ACD（SAS），
∴∠CEB=∠CAD；
设BE与AC交于Q，
又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ=∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180°
∴∠APQ=∠ECQ=60°，即∠APE=60°．
（3）由（2）同理可得∠CPE=∠EAC=60°；在PE上截取PH=PC，连接HC，
则△PCH为等边三角形，
∴HC=PC，∠CHP=60°，
∴∠CHE=120°；
又∵∠APE=∠CPE=60°，
∴∠CPA=120°，
∴∠CPA=∠CHE；
在△CPA和△CHE中，
，
∴△CPA≌△CHE（AAS），
∴AP=EH，
∴PB+PC+PA=PB+PH+EH=BE．
点评： 该题以等边三角形为载体，主要考查了全等三角形的判定及其性质、等边三角形的性质等几何知识点的应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
2022学年北京市门头沟区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，请将答案填写在下面表格内．
1．25的算术平方根是（ ）
A． 5 B． ±5 C． ± D．
2．下列实数中，是无理数的是（ ）
A． B． ﹣0.3 C． D．
3．下列计算中正确的是（ ）
A． ÷3=3 B． 2+3=5 C． 2×3=6 D． （）2=﹣4
4．下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．方程x2﹣4x﹣6=0的根的情况是（ ）
A． 有两个相等实根 B． 有两个不等实根
C． 没有实根 D． 以上答案都有可能
6．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A． 2，2，3 B． 2，3，4 C． 3，4，5 D． 5，8，13
7．下列根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
8．下列各式中，正确的是（ ）
A． =x3 B． =
C． =﹣ D． +=
9．如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（ ）
A． 12 B． 4 C． 8 D． 不确定
10．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A． 6条 B． 7条 C． 8条 D． 9条
二、填空题（本题共20分，每小题2分）
11．如果分式的值为0，那么x= ．
12．使有意义的x的取值范围是 ．
13．如图，点D、E分别在线段AB、AC上，AB=AC，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是 （只写一个条件即可）．
14．将一元二次方程x2﹣6x﹣5=0化成（x﹣3）2=b的形式，则b= ．
15．一个三角形两边长分别为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为 ．
16．当1＜x＜2时，化简+= ．
17．已知x=1是关于x的一元二次方程2x2+kx﹣1=0的一个根，则实数k的值是 ．
18．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．若∠BAE=40°，则∠C= °．
19．=+是物理学中的一个公式，其中各个字母都不为零且R1+R2≠0．用R1，R2表示R，则R= ．
20．如图，已知点P在锐角∠AOB内部，∠AOB=α，在OB边上存在一点D，在OA边上存在一点C，能使PD+DC最小，此时∠PDC= ．
三、计算（本题共10分，每小题5分）
21．．
22．计算：4÷（﹣）×．
四、解方程（本题共15分，每小题15分）
23．（15分）（2014秋•门头沟区期末）（1）3x2﹣6x﹣2=0
（2）3x（x+2）=2x+4
（3）+=1．
五、解答题（本题共17分，其中26-27每小题5分，28题7分）
26．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求证：AE=FC．
27．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BD，∠C=65°，求∠BAC的度数．
28．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）请在线段BC上作一点D，使点D到边AC、AB的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，若AC=6，BC=8，请求出CD的长度．
六、解答题（本题共18分，每小题6分）
29．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
30．先化简，再求值：﹣（÷），其中x2﹣3x﹣4=0．
31．列方程解应用题
为了迎接春运高峰，铁路部门日前开始调整列车运行图，2015年春运将迎来“高铁时代”．甲、乙两个城市的火车站相距1280千米，加开高铁后，从甲站到乙站的运行时间缩短了11小时，大大方便了人们出行．已知高铁行使速度是原来火车速度的3.2倍，求高铁的行驶速度．
七、解答题（本题10分）
32．在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：
已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形ACE和BCD，联结AD、BE交于点P．
（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD 与BE的数量关系是： ．
（2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．此时∠APE是否随着∠ACB的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形△ABF，联结AD、BE和CF交于点P，求证：PB+PC+PA=BE．
2022学年北京市门头沟区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，请将答案填写在下面表格内．
1．25的算术平方根是（ ）
A． 5 B． ±5 C． ± D．
考点： 算术平方根．
分析： 根据算术平方根的定义即可解决问题．
解答： 解：∵52=25，
∴25的算术平方根是5，
故选A．
点评： 本题考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
2．下列实数中，是无理数的是（ ）
A． B． ﹣0.3 C． D．
考点： 无理数．
分析： 根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的选项．
解答： 解：﹣0.3，，=﹣2，都是有理数，
只有是无理数．
故选A．
点评： 本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
3．下列计算中正确的是（ ）
A． ÷3=3 B． 2+3=5 C． 2×3=6 D． （）2=﹣4
考点： 二次根式的乘除法；二次根式的加减法．
分析： 根据二次根式的乘法法则和除法法则求解．
解答： 解：A、÷3=，原式计算错误，故本选项错误；
B、2和3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、2×3=6，计算正确，故本选项正确；
D、（）2=4，计算错误，故本选项错误．
故选C．
点评： 本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则和除法法则．
4．下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 轴对称图形．
分析： 根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断．
解答： 解：A、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故本选项错误；
B、有六条对称轴，是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故本选项错误．
故选B．
点评： 本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5．方程x2﹣4x﹣6=0的根的情况是（ ）
A． 有两个相等实根 B． 有两个不等实根
C． 没有实根 D． 以上答案都有可能
考点： 根的判别式．
分析： 直接根据一元二次方程根的判别式求出△的值即可作出判断．
解答： 解：∵方程x2﹣4x﹣6=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×（﹣6）=16+24=40＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选B．
点评： 本题考查的是一元二次方程根的判别式，即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
6．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A． 2，2，3 B． 2，3，4 C． 3，4，5 D． 5，8，13
考点： 三角形三边关系．
分析： 判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
解答： 解：A、22+22≠32，故不能组成直角三角形，故此选项错误；
B、22+32≠42，故不能组成直角三角形，故此选项错误；
C、32+42=52，故能组成直角三角形，故此选项正确；
D、52+82≠132，故不能组成直角三角形，故此选项错误．
故选C．
点评： 本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
7．下列根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
考点： 最简二次根式．
分析： 判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
解答： 解：A、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；
B、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；
C、=2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
D、，符合最简二次根式的定义，
故选D．
点评： 本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
8．下列各式中，正确的是（ ）
A． =x3 B． =
C． =﹣ D． +=
考点： 分式的混合运算．
分析： 根据同底数幂的除法、分式的通分进行计算即可．
解答： 解：A、=x4；故A错误；
B、不能化简，故B错误；
C、=﹣，故C错误；
D、+=+=，故D正确，
故选D．
点评： 本题考查了分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．
9．如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（ ）
A． 12 B． 4 C． 8 D． 不确定
考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
分析： 根据角平分线的定义可得∠ABE=∠CBE，∠ACE=∠BCE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE=∠BEM，∠BCE=∠CEN，然后求出∠ABE=∠BEM，∠ACE=∠CEN，根据等角对等边可得BM=ME，CN=NE，然后求出△AMN的周长=AB+AC．
解答： 解：∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，
∴∠ABE=∠CBE，∠ACE=∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠CBE=∠BEM，∠BCE=∠CEN，
∴∠ABE=∠BEM，∠ACE=∠CEN，
∴BM=ME，CN=NE，
∴△AMN的周长=AM+ME+AN+NE=AB+AC，
∵AB=AC=4，
∴△AMN的周长=4+4=8．
故选C．
点评： 本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键．
10．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A． 6条 B． 7条 C． 8条 D． 9条
考点： 作图—应用与设计作图；等腰三角形的判定．
专题： 压轴题．
分析： 利用等腰三角形的性质分别利用AB，AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可．
解答： 解：如图所示：当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7时，都能得到符合题意的等腰三角形．
故选：B．
点评： 此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．
二、填空题（本题共20分，每小题2分）
11．如果分式的值为0，那么x= ．
考点： 分式的值为零的条件．
分析： 根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
解答： 解：由分式的值为零的条件得2x﹣1=0，
由2x﹣1=0，得x=，
故答案为．
点评： 本题考查了分式值为0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
12．使有意义的x的取值范围是 x≥2 ．
考点： 二次根式有意义的条件．
专题： 计算题．
分析： 二次根式的被开方数是非负数，所以2x﹣4≥0，通过解该不等式即可求得x的取值范围．
解答： 解：根据题意，得
2x﹣4≥0，
解得，x≥2；
故答案是：x≥2．
点评： 本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
13．如图，点D、E分别在线段AB、AC上，AB=AC，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是 AD=AE （只写一个条件即可）．
考点： 全等三角形的判定．
专题： 开放型．
分析： 添加条件：AD=AE，再由已知条件AB=AC和公共角∠A可利用SAS定理证明△ABE≌△ACD．
解答： 解：添加条件：AD=AE，
在△AEB和△ADC中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
故答案为：AD=AE．
点评： 此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
14．将一元二次方程x2﹣6x﹣5=0化成（x﹣3）2=b的形式，则b= 14 ．
考点： 解一元二次方程-配方法．
分析： 移项，配方，再变形，即可得出答案．
解答： 解：x2﹣6x﹣5=0，
x2﹣6x=5，
x2﹣6x+9=5+9，
（x﹣3）2=14，
故答案为：14．
点评： 本题考查了解一元二方程的应用，解此题的关键是能正确配方．
15．一个三角形两边长分别为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为 7或9 ．
考点： 三角形三边关系．
分析： 能够根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是奇数，进行求解．
解答： 解：根据三角形的三边关系，得
第三边应＞5，而＜11．
又第三边是奇数，则第三边应是7或9．
点评： 此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
16．当1＜x＜2时，化简+= 1 ．
考点： 二次根式的性质与化简．
分析： 利用完全平方公式的定义，结合二次根式的性质化简求出即可．
解答： 解：∵1＜x＜2，
∴+
=+
=2﹣x+x﹣1
=1．
故答案为：1．
点评： 此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简是解题关键．
17．已知x=1是关于x的一元二次方程2x2+kx﹣1=0的一个根，则实数k的值是 ﹣1 ．
考点： 一元二次方程的解．
专题： 计算题．
分析： 已知x=1是关于x的一元二次方程2x2+kx﹣1=0的一个根，把x=1代入方程，即可得到一个关于k的方程，解方程即可求出k值．
解答： 解：把x=1代入方程得：2+k﹣1=0，
解方程得k=﹣1．
故答案为：1
点评： 本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．
18．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．若∠BAE=40°，则∠C= 25 °．
考点： 线段垂直平分线的性质．
分析： 根据线段垂直平分线性质得出AE=EC，推出∠C=∠EAC，根据三角形内角和定理求出即可．
解答： 解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴∠C=∠EAC，
∵∠B=90°，∠BAE=40°，
∴2∠C=90°﹣40°=50°，
∴∠C=25°，
故答案为：25．
点评： 本题考查了线段垂直平分线性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
19．（2分）（2014秋•门头沟区期末）=+是物理学中的一个公式，其中各个字母都不为零且R1+R2≠0．用R1，R2表示R，则R= ．
考点： 分式的加减法．
分析： 先找出最简分母，方程两边同乘以最简公分母，再求R即可．
解答： 解：方程两边同乘RR1R2，
R1R2，=RR2+RR1，
R1R2，=R（R2+R1），
R=，
故答案为．
点评： 本题考查了分式的加减，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
20．如图，已知点P在锐角∠AOB内部，∠AOB=α，在OB边上存在一点D，在OA边上存在一点C，能使PD+DC最小，此时∠PDC= 2α ．
考点： 轴对称-最短路线问题．
分析： 过P的作关于OB的对称点P'，作P′C⊥OA于C，交OB于D，此时PD+DC=P'C最短，即可求得∠PDC的度数．
解答： 解：过P的作关于OB的对称点P'，作P′C⊥OA于C，交OB于D，此时PD=PD′，根据点到直线的距离最短可知PD+DC=P′C最短，
∵∠PDB=∠P′DB，∠CDO=∠P′DB，
∴∠CDO=∠PDB，
∵P′C⊥OA，∠AOB=α，
∴∠CDO=90°﹣α，
∴∠PDC=180°﹣2（90°﹣α）=2α．
故答案为：2α．
点评： 本题考查了轴对称﹣最短路线问题的应用、点到直线的距离最短，关键是确定D、C的位置．
三、计算（本题共10分，每小题5分）
21．．
考点： 分式的加减法．
专题： 计算题．
分析： 原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果．
解答： 解：原式=+===．
点评： 此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．计算：4÷（﹣）×．
考点： 二次根式的乘除法．
分析： 根据二次根式的乘法法则和除法法则求解．
解答： 解：原式=﹣2÷×
=﹣×
=﹣．
点评： 本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则和除法法则．
四、解方程（本题共15分，每小题15分）
23．（15分）（2014秋•门头沟区期末）（1）3x2﹣6x﹣2=0
（2）3x（x+2）=2x+4
（3）+=1．
考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法；解分式方程．
分析： （1）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）把分式方程转化整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．
解答： 解：（1）3x2﹣6x﹣2=0，
∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，
∴b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×3×（﹣2）=60，
∴x=，
x1=，x2=；
（2）3x（x+2）=2x+4，
3x（x+2）﹣2（x﹣2）=0，
（x﹣2）（3x﹣2）=0，
x﹣2=0，3x﹣2=0，
x1=2，x2=；
（3）方程两边都乘以（x+2）（x﹣2）得：x（x+2）+6（x﹣2）=（x+2）（x﹣2），
解得：x=1，
检验：当x=1时，（x+2）（x﹣2）≠0，
所以x=1是原方程的解，
即原方程的解为x=1．
点评： 本题考查了解一元二次方程和解分式方程的应用，解一元二次方程的关键是能把一元二次方程准化成一元一次方程，解分式方程的关键是能把分式方程转化成整式方程．
五、解答题（本题共17分，其中26-27每小题5分，28题7分）
26．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求证：AE=FC．
考点： 全等三角形的判定与性质；平行线的性质．
专题： 证明题．
分析： 根据BE∥DF，可得∠ABE=∠D，再利用ASA求证△ABC和△FDC全等即可．
解答： 证明：∵BE∥DF，
∴∠ABE=∠D，
在△ABE和△FDC中，
∠ABE=∠D，AB=FD，∠A=∠F
∴△ABE≌△FDC（ASA），
∴AE=FC．
点评： 此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质等知识点的理解和掌握，此题的关键是利用平行线的性质求证△ABC和△FDC全等．
27．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BD，∠C=65°，求∠BAC的度数．
考点： 等腰直角三角形．
分析： 先根据△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BD求出∠BAD的度数，再由∠C=65°求出∠CAD的度数，进而可得出结论．
解答： 解：∵△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BD，
∴∠BAD=45°，
∵∠C=65°，
∴∠CAD=90°﹣65°=25°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=45°+25°=70°．
点评： 本题考查的是等腰直角三角形，熟知两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形是解答此题的关键．
28．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）请在线段BC上作一点D，使点D到边AC、AB的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，若AC=6，BC=8，请求出CD的长度．
考点： 角平分线的性质；勾股定理；作图—基本作图．
分析： （1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等知作出∠A的平分线即可；
（2）设CD的长为x，然后用x表示出DB、DE、BF利用勾股定理得到有关x的方程，解之即可．
解答： 解：（1）如图所示：所以点D为所求；
（2）过点D做DE⊥AB于E，设DC=x，则BD=8﹣x
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8
∴由勾股定理得AB==10…（3分）
∵点D到边AC、AB的距离相等
∴AD是∠BAC的平分线
又∵∠C=90°，DE⊥AB
∴DE=DC=x，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE=AC=6，
∴BE=4，
Rt△DEB中，∠DEB=90°，
∴由勾股定理得DE2+BE2=BD2，
即x2+42=（8﹣x）2，
解得x=3．
答：CD的长度为3．
点评： 本题考查了勾股定理的应用，通过本题使同学们明白勾股定理不但可以在直角三角形中求线段的长，而且可以根据其列出等量关系．
六、解答题（本题共18分，每小题6分）
29．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
考点： 根的判别式．
分析： 首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m的值，即可确定原一元二次方程，进而可求出方程的根．
解答： 解：由题意可知△=0，即（﹣4）2﹣4（m﹣1）=0，解得m=5．
当m=5时，原方程化为x2﹣4x+4=0．解得x1=x2=2．
所以原方程的根为x1=x2=2．
点评： 总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
30．先化简，再求值：﹣（÷），其中x2﹣3x﹣4=0．
考点： 分式的化简求值．
专题： 计算题．
分析： 原式括号中利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
解答： 解：原式=﹣[•]=﹣==﹣，
∵x2﹣3x﹣4=0，
∴x2﹣3x=4，即x（x﹣3）=4，
∴原式=﹣．
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
31．列方程解应用题
为了迎接春运高峰，铁路部门日前开始调整列车运行图，2015年春运将迎来“高铁时代”．甲、乙两个城市的火车站相距1280千米，加开高铁后，从甲站到乙站的运行时间缩短了11小时，大大方便了人们出行．已知高铁行使速度是原来火车速度的3.2倍，求高铁的行驶速度．
考点： 分式方程的应用．
分析： 根据题意，设原来火车的速度是x千米/时，进而利用从甲站到乙站的运行时间缩短了11小时，得出等式求出即可．
解答： 解：设原来火车的速度是x千米/时，根据题意得：
﹣=11，
解得：x=80，
经检验，是原方程的根且符合题意．
故80×3.2=256（km/h）．
答：高铁的行驶速度是256km/h．
点评： 此题主要考查了分式的方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．
七、解答题（本题10分）
32．在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：
已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形ACE和BCD，联结AD、BE交于点P．
（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD 与BE的数量关系是： AD=BE ．
（2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．此时∠APE是否随着∠ACB的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形△ABF，联结AD、BE和CF交于点P，求证：PB+PC+PA=BE．
考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
分析： （1）直接写出答案即可．
（2）证明△ECB≌△ACD，得到∠CEB=∠CAD，此为解题的关键性结论；借助内角和定理即可解决问题．
（3）如图，作辅助线，证明△CPA≌△CHE，即可解决问题．
解答： 解：（1）∵△ACE、△CBD均为等边三角形，
∴AC=EC，CD=CB，∠ACE=∠BCD，
∴∠ACD=∠ECB；
在△ACD与△ECB中，
，
∴△ACD≌△ECB（SAS），
∴AD=BE，
故答案为AD=BE．
（2）AD=BE成立，∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°．
证明：∵△ACE和△BCD是等边三角形
∴EC=AC，BC=DC，
∠ACE=∠BCD=60°，
∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD；
在△ECB和△ACD中，
∴△ECB≌△ACD（SAS），
∴∠CEB=∠CAD；
设BE与AC交于Q，
又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ=∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180°
∴∠APQ=∠ECQ=60°，即∠APE=60°．
（3）由（2）同理可得∠CPE=∠EAC=60°；在PE上截取PH=PC，连接HC，
则△PCH为等边三角形，
∴HC=PC，∠CHP=60°，
∴∠CHE=120°；
又∵∠APE=∠CPE=60°，
∴∠CPA=120°，
∴∠CPA=∠CHE；
在△CPA和△CHE中，
，
∴△CPA≌△CHE（AAS），
∴AP=EH，
∴PB+PC+PA=PB+PH+EH=BE．
点评： 该题以等边三角形为载体，主要考查了全等三角形的判定及其性质、等边三角形的性质等几何知识点的应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
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