2023-2024学年北京市门头沟区八年级下学期期末数学试题（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年北京市门头沟区八年级下学期期末数学试题（含详细答案解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 3B. 8C. 13D. 100
2.下列各点中，在直线y=2x−1上的点是( )
A. −2,−3B. −1,−1C. 0,1D. 1,1
3.下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 3 2− 2=3C. 2× 3= 6D. 10÷ 5=2
4.如果函数y=2k−6x+5是关于x的一次函数，且y随x增大而增大，那么k取值范围是( )
A. k≠0B. k<3C. k≠3D. k>3
5.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是( )
A. ∠A+∠B=90∘B. ∠A:∠B:∠C=3:4:5
C. a:b:c=3:4:5D. a=b=1,c= 2
6.某企业参加“科技创新企业百强”评选，创新能力、创新价值、创新影响三项得分分别为8分，9分，7分，若将三项得分依次按5：3：2的比例计算总成绩，则该企业的总成绩为( )
A. 8分B. 8.1分C. 8.2分D. 8.3分
7.下列命题正确的是( ).
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 有一组邻边相等的四边形是菱形
D. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
8.我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用x，y表示直角三角形的两直角边x>y，
下列四个推断：①x2+y2=49；②x−y=2；③2xy+4=49；④x+y=7.
其中所有正确推断的序号是( ).
A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ①②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若 x−4在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是__________.
10.化简： 32=__________；当x<2时， x−22=__________.
11.请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式__________.
12.如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DE=2，则BC=__________.
13.在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，如果∠ABC=60∘，AC=4，那么这个菱形的面积是__________.
14.如图，已知函数y=x+b和y=ax+3的图象交点为P，则不等式x+b>ax+3的解集为__________.
15.在平面直角坐标系xOy中，点A−2,1，B1,1.如果直线y=mx与线段AB有交点，那么m=__________(写出一个满足题意的值即可).
16.学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如下表所示：
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要__________分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要__________分钟．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.计算：3 13+ 27− 2× 6
四、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
若x= 3− 2,y= 2，求x2+xy的值.
19.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−12x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B.
(1)求A，B两点的坐标，并画出它的图象；
(2)当1(3)当y>0时，直接写出x的取值范围．
20.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD、BC上，且AE=CF，连接EF，AC交于点O.求证：OE=OF.
21.(本小题8分)
下面是证明直角三角形性质时的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种方法，完成证明．
22.(本小题8分)
如图，将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点F处，AF与BC相交于点E.
(1)求证：△ABE≌△CFE；
(2)若AB=4，AD=8，求AE的长．
23.(本小题8分)
【问题情境】大自然中植物千姿百态，如果细心观察，你会发现：植物叶子通常有着不同的特征．如果用数学的眼光来观察，会有什么发现呢？某课外小组开展了“利用树叶特征对树木进行分类”的项目化学习活动．
【实践发现】该小组的同学从收集的杨树叶、柳树叶中各随机选取了10片，通过测量它们长和宽(单位：cm)的数据后，再计算了它们的长宽比，整理数据如下：
【实践探究】分析数据如下：
【问题解决】填空：
(1)上述表格中：a=______，b=______，c=______；
(2)这两种树叶从长宽比的角度看，______树叶的形状差别比较小；
(3)一片长为11.5cm，宽为5cm的树叶，这片树叶来自于______树的可能性比较大．
24.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象平移得到，且经过点(1,2).
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．
25.(本小题8分)
有这样一个问题：探究函数y=x−k的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y=x−k的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：
(1)函数y=x−k的自变量x的取值范围是______；
(2)下表是当k=2，k=0，k=−1时，y与x的几组对应值：
上述表格中：m=______；
(3)在下面的平面直角坐标系xOy中，再画出函数y=x−2和y=x+1的图象：
(4)进一步探究发现，函数y=x−k的图象都是______图形(填“轴对称”或“中心对称”).结合函数的图象，再写出函数y=x−k的其它性质(一条即可)______.
26.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+2与直线y=x−2交于点A(3,m).
(1)求k、m的值；
(2)已知点P(n,n)，过点P作垂直于y轴的直线，交直线y=x−2于点M，过点P作垂直于x轴的直线，交直线y=kx+2于点N.
①当n=3时，求△PMN的面积；
②若227.(本小题8分)
如图，在正方形ABCD中，E是边AD上的一点(不与A，D重合)，连接CE，点B关于直线CE的对称点是点F，连接CF，DF，直线CE与直线DF交于点P，连接BF与直线CE交于点Q.

(1)依题意补全图形；
(2)求∠CPF的度数；
(3)用等式表示线段PC，PD，PF之间的数量关系，并证明．
28.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，Px1,y1，Qx2,y2，且x1≠x2，y1≠y2.如果P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，那么就称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．下图为点P，Q的“相关矩形”的示意图．
(1)已知点A的坐标为1,1，
①如果点B的坐标为4,3，求点A，B的“相关矩形”的面积；
②如果点C在x轴上，点A,C的“相关矩形”为正方形，求直线AC表达式．
(2)当D0,m，E−1,2，F−1,1时，如果在线段EF上存在一个点M，使点D，M的“相关矩形”为正方形，直接写出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
根据最简二次根式的定义判断作答即可．
【详解】解：A中 3，是最简二次根式，故符合要求；
B 中 8=2 2，不是最简二次根式，故不符合要求；
C中 13= 33，不是最简二次根式，故不符合要求；
D中 100=10，不是最简二次根式，故不符合要求；
故选：A.
2.【答案】D
【解析】【分析】分别将四个选项中的点的坐标代入已知解析式进行验证，即可得出答案．
【详解】解：A.当x=−2时，y=−5，则−2,−3不在直线y=2x−1上，故该选项不正确，
不符合题意；
B. 当x=−1时，y=−3，则−1,−1不在直线y=2x−1上，故该选项不正确，不符合题意；
C. 当x=0时，y=−1，则0,1不在直线y=2x−1上，故该选项不正确，不符合题意；
D. 当x=1时，y=1，则1,1在直线y=2x−1，故该选项正确，符合题意；
故选：D.
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．根据二次根式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
【解答】
解：A、 2与 3不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意；
B、原式=2 2，故B不符合题意；
C、原式= 6，故C符合题意；
D、原式= 2，故D不符合题意．
故选：C.
4.【答案】D
【解析】【分析】由题意y=2k−6x+5，y随x的增大而增大，可得自变量系数大于0，进而可得k的范围．
【详解】解：∵关于x的一次函数y=2k−6x+5的函数值y随着x的增大而增大，
∴2k−6>0，
∴k>3.
故选：D.
【点睛】此题考查一次函数问题，解题的关键是：掌握在y=kx+b中，k>0，y随x的增大而增大，k<0，y随x的增大而减小．
5.【答案】B
【解析】【详解】A、∵∠A+∠B=90∘
∴∠C=180∘−(∠A+∠B)=90∘,
∴△ABC是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵∠A:∠B:∠C=3:4:5,∠A+∠B+∠C=180∘,
∴∠C=180∘×53+4+5=75∘,
∴△ABC不是直角三角形，故B符合题意；
C、∵a:b:c=3:4:5
∴设a=3k,b=4k,c=5k
∴a2+b2=(3k)2+(4k)2=25k2,
c2=(5k)2=25k2
∴a2+b2=c2
∴△ABC是直角三角形
故C不符合题意；
D、∵a2+b2=12+12=2
c2=( 2)2=2
∴a2+b2=c2
∴△ABC是直角三角形，
故D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】【分析】根据加权平均数的计算方法求出该企业的总成绩即可．
【详解】8×55+3+2+9×35+3+2+7×25+3+2=8.1分．
故选B.
【点睛】本题考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．
7.【答案】D
【解析】【分析】根据平行四边形的判定方法对A进行判断；根据矩形的判定方法对B进行判断；根据菱形的判定方法对C进行判断；根据正方形的判定方法对D进行判断．
【详解】A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以A选项为假命题；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项为假命题；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以C选项为假命题；
D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，所以D选项为真命题．
故选：D.
【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．熟练掌握特殊四边形的判定定理是关键．
8.【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查了勾股弦图、完全平方公式等知识点，正确运用完全平方公式变形求值成为解题的关键．
由题意可得大正方形的边长为7，小正方形的边长为2，再结合图形和勾股定理可得x2+y2=49、x−y=2可判定①②；然后通过完全平方公式变形求值可判定③④．
【详解】解：∵大正方形面积为49，小正方形面积为4，
∴大正方形的边长为7，小正方形的边长为2，
∴x2+y2=49，x−y=2，即①、②正确；
∴x−y2=x2+y2−2xy=49−2xy=4，则：xy=252，2xy+4=49，即③正确；
∴x+y2=x2+y2+2xy=49+2xy=49+25=64，
∴x+y=8，即④错误；
综上，正确的有①②③．
故选B.
9.【答案】x≥4
【解析】解：由题意得：x−4≥0，
解得：x≥4，
故答案为：x≥4.
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
10.【答案】3
2−x/−x+2

【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握 a2=a, a2=a成为解题的关键．
根据 a2=a, a2=a即可解答．
【详解】解： 32=3，
∵x<2，
∴x−2<0，
∴ x−22=x−2=2−x.
故答案为：3，2−x.
11.【答案】y=x(答案不唯一)
【解析】【详解】试题分析：设此正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，
∵此正比例函数的图象经过一、三象限，∴k>0.
∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y=x(答案不唯一).
12.【答案】4
【解析】【分析】
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】
解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，DE=2，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=4，
故答案为：4.
13.【答案】8 3
【解析】【分析】首先由四边形ABCD是菱形，求得AC⊥BD，OA=12AC，∠ABO=12∠ABC，然后在直角三角形AOB中，利用30∘角所对的直角边等于斜边的一半与勾股定理即可求得OB的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得该菱形的面积．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=12AC=12×4=2，∠ABO=12∠ABC=12×60∘=30∘，
∴在Rt△AOB中，
AB=2OA=4，OB= AB2−OA2= 42−22=2 3，
∴BD=2OB=4 3，
∴该菱形的面积是：12AC⋅BD=12×4×4 3=8 3，
故答案为：8 3.
【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质．解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用，注意菱形的面积等于其对角线积的一半．
14.【答案】x>1
【解析】【分析】根据图象直接解答即可．
【详解】解：从图象上得到函数y=x+b和y=ax+3的图象交点P，点P的横坐标为1，
在x>1时，函数y=x+b的值大于y=ax+3的函数值，
故可得不等式x+b>ax+3的解集x>1.
故答案为：x>1.
【点睛】此题考查了一次函数与一元一次不等式，认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系是解决本题的关键．
15.【答案】1
【解析】【分析】本题考查了正比例函数解析式．理解题意是解题的关键．
由直线y=mx与线段AB有交点，可知线段AB上的点满足y=mx即可，将线段AB上一点代入y=mx，计算求解即可．
【详解】解：∵直线y=mx与线段AB有交点，
∴线段AB上的点满足y=mx，
将B1,1代入得，m=1，
故答案为：1.
16.【答案】53
28

【解析】【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A，乙学生同时做工序B；然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，然后可得答案．
【详解】解：由题意得：9+9+7+9+7+10+2=53(分钟)，
即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟．
假设这两名学生为甲、乙．
∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟完成，
∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟．
然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9分钟，
最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟，
∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要9+9+10=28(分钟)，
故答案为：53，28；
17.【答案】 解：3 13+ 27− 2× 6
=3× 33+3 3− 2×6
= 3+3 3−2 3
=2 3.

【解析】【分析】先化简二次根式，再算乘除，最后算加减．
18.【答案】 解：∵x= 3− 2,y= 2
∴x2+xy=x(x+y)
=( 3− 2)( 3− 2+ 2)
=3− 6.

【解析】【分析】先将代数式，提公因式x，因式分解，然后将字母的值代入进行计算即可求解．
19.【答案】(1)解：∵y=−12x+2，
∴当x=0时，y=2，当y=0时，x=4，
∴A4,0,B0,2，
画出图象如图：
(2)由图象可知，y随x的增大而减小，
当x=1时，y=−12+2=32，
当x=3时，y=−32+2=12，
∴当1(3)由图象可知，当y>0时，x<4.

【解析】【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，画一次函数的图象，一次函数的性质：
(1)分别令x=0,y=0，进行求解即可；
(2)根据一次函数的增减性，进行求解即可；
(3)图象法求自变量的范围即可．
20.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，
∵AE=CF，
∴△AEO≌△CFOASA，
∴OE=OF.

【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．首先根据平行四边形的性质得到AD//BC，证明出∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，然后证明出△AEO≌△CFOASA，即可得到OE=OF.
21.【答案】证明：(法一)∵点D是AB的中点，
∴AD=BD.
∵DE=CD，
∴四边形ACBE是平行四边形．
∵∠ACB=90∘，
∴▱ACBE是矩形．
∴AB=CE.
∵CD=12CE，
∴CD=12AB.
(法二)∵点D是AB的中点，
∴AD=BD.
∵点E是BC的中点，
∴CE=BE.
∴DE//AC.
∴∠DEB=∠ACB，
∵∠ACB=90∘，
∴∠DEB=90∘.
∴DE是BC的垂直平分线．
∴CD=DB.
∵BD=12AB，
∴CD=12AB.

【解析】【分析】方法一：证明四边形ACDE为矩形，即可得证；方法二：利用是三角形的中位线定理，推出DE是BC的中垂线，即可得证．
【点睛】本题考查矩形的判定和性质，三角形的中位线定理以及中垂线的判定和性质．解题的关键是熟练掌握相关判定和性质．
22.【答案】(1)证明：∵长方形ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点F处，
∴∠F=∠D=∠B=90 ∘，CD=CF=AB，
∵∠AEB=∠CEF，
∴△ABE≌△CFE(AAS).
(2)设AE=x，
∵△ABE≌△CFE，
∴EC=AE=x，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=90 ∘，BC=AD=8，BE=8−x，
在Rt△ABE中，则有(8−x)2+42=x2，
解得x=5，
∴AE=5.

【解析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理和全等三角形的判定与性质的知识点；熟练掌握翻折变换，并能进行推理计算是解决问题的关键．
(1)根据折叠的性质，利用AAS证明△ABE≌△CFE即可；
(2)设AE=x，由△ABE≌△CFE得EC=AE=x，在Rt△ABE中，根据勾股定理得出方程，解方程即可．
23.【答案】(1)解：将杨树叶的长宽比按从小到大的顺序排序为：
1.7，1.8，2，2.1，2.1，2.2，2.4，2.4，2.4，2.8
则其中位数是第5和第6的平均数，即：中位数b=2.1+2.22=2.15；
柳树叶的长宽比的平均数为：a=1.5+1.6+1.5+1.4+1.5+1.4+1.7+1.5+1.6+1.410=1.51，柳树叶的长宽比出现的次数最多的为1.5，众数为c=1.5.
故答案为：1.51，2.15，1.5.
(2)解：杨树叶的长宽比的方差为0.0949大于柳树叶的长宽比的方差0.0089，柳树叶的形状差别较小．
故答案为：柳．
(3)解：∵该小组收集的树叶中有一片长为11.5cm，宽为5cm的树叶，则长宽比为2.3，
∴这片树叶来自于杨树的可能性大．
故答案为：杨．

【解析】【分析】本题考查了众数、中位数、平均数、方差等知识点，掌握相关定义是关键．
(1)根据中位数、众数、方差的定义即可解答；
(2)根据题目给出的方差判定即可；
(3)根据树叶的长宽比判定即可．
24.【答案】解：(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由直线y=x平移得到，
∴k=1，
将点(1,2)代入y=x+b，
得1+b=2，解得b=1，
∴一次函数的解析式为y=x+1；
(2)把点(1,2)代入y=mx求得m=2，
∵当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=x+1的值，
∴m≥2.
【解析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
(1)先根据直线平移时k的值不变得出k=1，再将点A(1,2)代入y=x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；
(2)根据点(1,2)结合图象即可求得．
25.【答案】(1)解：由题意知，函数y=x−k的自变量x的取值范围是任意实数，
故答案为：任意实数；
(2)解：由题意知，m=2+1=3，
故答案为：3；
(3)解：作函数图象如下；
(4)解：由题意知，函数y=x−k的图象都是轴对称图形，
由图象可知，当xk时，y随着x的增大而增大；
故答案为：轴对称；当xk时，y随着x的增大而增大．

【解析】【分析】(1)由题意知，函数y=x−k的自变量x的取值范围是任意实数；
(2)由题意知，m=2+1=3；
(3)描点连线即可；
(4)由题意知，函数y=x−k的图象都是轴对称图形，由图象可知，当xk时，y随着x的增大而增大．
【点睛】本题考查了求自变量的取值范围，已知自变量求函数值，作函数图象，轴对称，函数的图象与性质等知识．熟练掌握求自变量的取值范围，已知自变量求函数值，作函数图象，轴对称，函数的图象与性质是解题的关键．
26.【答案】解：(1)把点A代入直线y=x−2得：m=3−2=1，
∴A3,1，
把A3,1代入直线y=kx+2得：3k+2=1，解得：k=−13；
(2)由(1)可得：k=−13，则有直线y=−13x+2；
①∵n=3，
∴P3,3，
由题意可得如图所示：
∵过点P作垂直于y轴的直线，交直线y=x−2于点M，过点P作垂直于x轴的直线，交直线y=kx+2于点N，
∴M5,3,N3,1，
∴MP=5−3=2,PN=3−1=2，
∴S△PMN=12PM⋅PN=2；
②由题意可知点P(n,n)在直线y=x上，由①可得当S△PMN>2时，则有n<3，
当n<0时，则有如图所示：
∴M′n+2,n,N′n,−13n+2，
∴M′P′=n+2−n=2,PN=−13n+2−n=−43n+2，
∴S△PMN=12PM⋅PN=−43n+2，
当S△PMN=6时，则有−43n+2=6，
解得：n=−3，
∴当S△PMN<6时，则有n>−3，
综上所述：当2
【解析】【分析】(1)把点A代入直线y=x−2求点A的坐标，然后再代入直线y=kx+2进行求解即可；
(2)①当n=3时则有P3,3，然后依据题意作出图象，进而根据三角形面积计算即可；②由题意易得点P在第一、三象限的角平分线上，当n=−3时，△PMN的面积为6，进而问题可求解．
【点睛】本题主要考查一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
27.【答案】(1)依题意补全图形，如图．

(2)解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90∘.
∵点B，F是关于直线CP对称，
∴∠CBF=∠CFB，CP⊥BF，BC=CF.
∴∠BCQ+∠QBC=∠BCQ+∠PCD=90∘.
∴∠QBC=∠PCD.
∵BC=CF=CD，
∴∠CFD=∠CDF.
∵∠CFD=∠CFQ+∠QFD=∠CDF=∠PCD+∠CPD，
∴∠QFD=∠CPD.
∴∠CPD=45∘，即∠CPF=45∘.
(3)PF+PD= 2PC.
证明：过点C作CH⊥PC交PF延长线于点H.
∴∠PCH=90∘.
∵∠CPF=45∘，
∴∠H=∠CPF=45∘.
∴PC=CH.
∵CD=CF，
∴∠CDF=∠CFD.
∴∠CDP=∠CFH.
∴△CPD≌△CHF(AAS).
∴PD=HF.
在Rt△PCH中，PH= 2PC.
∴PF+PD= 2PC.

【解析】【分析】(1)根据题意补全图形即可；
(2)根据正方形的性质得BC=CD，∠BCD=90∘，根据轴对称得∠CBF=∠CFB，CP⊥BF，BC=CF，根据三角形的外角性质及角的和差可得∠QFD=∠CPD根据同角的余角相等等量代换得出∠QFD=∠CPD，得△PQF为等腰直角三角形，得∠CPF=45∘，
(3)过点C作CH⊥PC交PF延长线于点H，证∠H=∠CPF=45∘，△CPD≌△CHF，根据全等三角形的性质可得，PD=HF，在Rt△PCH中，PH= 2PC，得结论PF+PD= 2PC.
【点睛】本题主要考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
28.【答案】(1)①解：由题意知，Px1,y1，Qx2,y2为“相关矩形”对角线上两顶点，
∵A的坐标为1,1，点B的坐标为4,3，
∴“相关矩形”的边长分别为3,2，
∴面积为3×2=6，
∴点A，B的“相关矩形”的面积为6；
②解：∵A的坐标为1,1，点C在x轴上，点A,C的“相关矩形”为正方形，
∴正方形的边长为1，点C坐标为0,0或2,0，
当C0,0时，设直线AC的表达式为y=kx，
将1,1代入得，k=1，
∴直线AC的表达式为y=x；
当C2,0时，设直线AC的表达式为y=mx+n，
将1,1，2,0代入得，m+n=12m+n=0，
解得m=−1n=2，
∴直线AC的表达式为y=−x+2；
综上所述，直线AC表达式为y=x或y=−x+2.
(2)解：如图，

∵点D，M的“相关矩形”为正方形，
∴当M、F重合时，D0,0；当M′、E重合时，D′3,0；
∴0≤m≤3.

【解析】【分析】(1)①由题意知，Px1,y1，Qx2,y2为“相关矩形”对角线上两顶点，由A1,1，B4,3，可知“相关矩形”的边长分别为3,2，进而可求面积；②由A的坐标为1,1，点C在x轴上，点A,C的“相关矩形”为正方形，可知正方形的边长为1，点C坐标为0,0或2,0，然后利用待定系数法求直线AC的表达式即可；
(2)如图，由点D，M的“相关矩形”为正方形，可知当M、F重合时，D0,0；当M′、E重合时，D′3,0；进而可得0≤m≤3.
【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数解析式，正方形的性质，点坐标等知识．理解题意，熟练掌握坐标与图形，一次函数解析式，正方形的性质，点坐标是解题的关键．
工序
A
B
C
D
E
F
G
所需时间/分钟
9
9
7
9
7
10
2
求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，点D是AB的中点．求证：CD=12AB.
方法一证明：如图，延长 CD到点E，使得DE=CD，连接AE,BE.
方法二证明：如图，取 BC的中点E，连接DE.
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
杨树叶的长宽比
2
2.4
2.1
2.4
2.8
1.8
2.4
2.2
2.1
1.7
柳树叶的长宽比
1.5
1.6
1.5
1.4
1.5
1.4
1.7
1.5
1.6
1.4

平均数
中位数
众数
方差
杨树叶的长宽比
2.19
b
2.4
0.0949
柳树叶的长宽比
a
1.5
c
0.0089
x
…
−3
−2
−1
0
1
2
3
…
y=x−2
…
5
4
3
2
1
0
1
…
y=x
…
3
2
1
0
1
2
3
…
y=x+1
…
2
1
0
1
2
m
4
…