2023-2024学年北京市延庆区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市延庆区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列古代的吉祥图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x≠3C．x≥3D．x＜3
3．（2分）如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的中线，则∠BAD的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
4．（2分）一只不透明的袋子中有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他区别，从中任意摸出3个球，下列事件是必然事件的是（ ）
A．至少有1个球是白球B．至少有1个球是黑球
C．至少有2个球是黑球D．至少有2个球是白球
5．（2分）现有四根木条，长度分别为2cm，3cm，4cm，6cm．选用其中的三根木条首尾相接，组成一个三角形，一共有几种不同的组法（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
6．（2分）下列运算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立春”，2张“立秋”，1张“冬至”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“立秋”的可能性为（ ）
A．B．C．D．
8．（2分）如图，在3×3的正方形网格中，网格线的交点称为格点．以格点为顶点的三角形称为格点三角形，如△ABC为格点三角形，与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
二、填空题（共16分，每小题2分）
9．（2分）当分式值为0时，x的值为 ．
10．（2分）计算：（）（）＝ ．
11．（2分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，∠ABC的平分线交CD于点E，当BC＝6，△BCE的面积为3时，DE的长为 ．
12．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，过点D作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．当AE＝2，BF＝4时，EF的长为 ．
13．（2分）已知n是无理数，且2＜n＜3，写出一个满足条件的n的值是 ．
14．（2分）计算：＝ ．
15．（2分）如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和面积分别为S1S2的两个正方形所拼成的．若直角三角形的斜边长为2，则S1+S2的值为 ．
16．（2分）如图所示的网格是正方形网格，则∠DAB+∠DBA＝ °．（点D，A，B是网格线交点）
三、解答题（共68分，第17-19题，每小题5分，第20-23题，每小题5分，第24-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）
17．（5分）计算：．
18．（5分）计算：．
19．（5分）如图，CD平分∠ACB，AC＝BC．求证：AD＝BD．
20．（6分）已知，求代数式的值．
21．（6分）解方程：＝．
22．（6分）如图，在△ABC和△CDE中，点A，C，E在同一直线上，AB∥CD，∠B＝∠D，AC＝CE．求证：BC∥DE．
23．（6分）在学习了全等三角形和尺规作图知识以后，老师布置了一道关于作角平分线的思考题．要求不用书中作角平分线的方法，使用直尺和圆规再设计几种作角平分线的方法．并说明其中的数学原理．
以下是某小组交流讨论之后，小组代表汇报本组的两种方法．
请你根据以上小组汇报的尺规作图的过程完成下面问题：
（1）请证明方法1中的OP是∠AOB的平分线；
（2）①依照方法2补全图形（保留作图痕迹）；
②写出方法2中OP是∠AOB的平分线的依据．
24．（5分）列方程解应用题：
为响应绿色出行，低碳减排号召，助力“双碳”目标不断实现，小华家将燃油汽车置换为一辆新的纯电动汽车，原来驾驶燃油汽车从A地到B地所需油费是108元，现在驾驶纯电动汽车所需电费27元．已知每行驶1千米，原来燃油汽车所需油费比纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．
25．（5分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度CE是2.2米．一架梯子AB斜靠在左墙时，梯子顶端A与地面点C距离是2.4米．如果保持梯子底端B位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端D与地面点E距离是2米．求此时梯子底端B到右墙角点E的距离是多少米．
26．（5分）在9×9的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在网格中画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1．（要求：A与A1，B与B1，C与C1是对称点）；
（2）若直线l和线段AA1相交于点M，线段AM＝4，则线段MA1＝ ；
（3）△A1B1C1的面积是 ．
27．（7分）在△ABC中，CD⊥AB于点D，E为AC的中点，连接BE，与CD交于点F，过点E作EN⊥EF，与DC的延长线交于点N，连接BN．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段BN，CN，AB之间的数量关系，并证明．
28．（7分）【阅读学习】
（1）判断：在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，则△ABC “可两分三角形”．（填“是”或“不是”）
（2）画图和计算：
下图中的两个三角形都是“可两分三角形”．请你画出每个三角形的“两分线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数．
（3）画图和计算：请你在图4中，画出顶角为45°的等腰△ABC的“三分线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数．
（4）画图和计算：在△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的“三分线”，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE．设∠C＝x°，试画出示意图，并求出x的值．
2023-2024学年北京市延庆区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16分，每小题2分）
1．（2分）下列古代的吉祥图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合．
2．（2分）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x≠3C．x≥3D．x＜3
【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解．
【解答】解：由题意，
得x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义：被开方数为非负数是关键．
3．（2分）如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的中线，则∠BAD的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
【分析】根据等边三角形的三线合一性质求解即可．
【解答】解：∵在等边△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴AD是∠BAC的平分线，∠BAC＝60°，
∴．
故选：D．
【点评】此题考查了等边三角形的三线合一性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的三线合一性质．
4．（2分）一只不透明的袋子中有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他区别，从中任意摸出3个球，下列事件是必然事件的是（ ）
A．至少有1个球是白球B．至少有1个球是黑球
C．至少有2个球是黑球D．至少有2个球是白球
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：由题意，得一只不透明的袋子中装有3个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，至少有一个黑球，是必然事件，
故选：B．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．（2分）现有四根木条，长度分别为2cm，3cm，4cm，6cm．选用其中的三根木条首尾相接，组成一个三角形，一共有几种不同的组法（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
【分析】先写出所有的组法，然后根据三角形的三边关系，即可求解．
【解答】解：组合有以下4种情况：2、3、4；2、3、6；2、4、6；3、4、6；
根据三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得：只有2、3、4；3、4、6共2组能组成三角形．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形的三边关系，解答本题的关键是明确题意，利用三角形的三边关系解答．
6．（2分）下列运算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的性质化简A，C，D，再根据同类二次根式计算判断B．
【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、和不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意；
C、，正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
7．（2分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立春”，2张“立秋”，1张“冬至”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“立秋”的可能性为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有2张“立秋”，进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有2张“立秋”，
∴从中随机摸出一张卡片，恰好是“立秋”的可能性为，
故选：B．
【点评】本题考查了根据概率公式求概率，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题关键．
8．（2分）如图，在3×3的正方形网格中，网格线的交点称为格点．以格点为顶点的三角形称为格点三角形，如△ABC为格点三角形，与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】根据网格结构以及轴对称图形的性质作出对称三角形即可．
【解答】解：如图，与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出6个，
故选：D．
【点评】本题考查了作图—轴对称变换，画出对应的图形是解此题的关键．
二、填空题（共16分，每小题2分）
9．（2分）当分式值为0时，x的值为 1 ．
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，可得x﹣1＝0且x≠0，解之可得答案．
【解答】解：由题意得：x﹣1＝0且x≠0，
解得x＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
10．（2分）计算：（）（）＝ 2 ．
【分析】直接利用平方差公式解题即可．
【解答】解：（）（）＝（）2﹣1＝3﹣1＝2．
【点评】本题考查学生利用平方差公式进行实数的运算能力，既要掌握数学中常用的平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），还要掌握无理数乘方的运算规律．
11．（2分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，∠ABC的平分线交CD于点E，当BC＝6，△BCE的面积为3时，DE的长为 1 ．
【分析】过点E作EF⊥BC于F，根据三角形面积计算公式求出EF＝1，再由角平分线上的点到角两边的距离相等得到DE＝EF＝1．
【解答】解：如图所示，过点E作EF⊥BC于F，
∵BC＝6，△BCE的面积为3，
∴∵S△BCE＝BC•EF＝3，
∴EF＝1，
∵CD是AB边上的高线，∠ABC的平分线交CD于点E，
∴DE＝EF＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，牢记“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”是解题的关键．
12．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，过点D作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．当AE＝2，BF＝4时，EF的长为 6 ．
【分析】根据角平分线的定义可得∠BAD＝∠CAD，∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质可得∠BAD＝∠ADE，∠ABD＝∠BDF，进一步可得∠CAD＝∠ADE，∠CBD＝∠BDF，可得DE＝AE，DF＝BF，进一步可得EF的长．
【解答】解：∵AD，BD平分∠BAC，∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABD＝∠CBD，
∵EF∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，∠ABD＝∠BDF，
∴∠CAD＝∠ADE，∠CBD＝∠BDF，
∴DE＝AE＝2，DF＝BF＝4，
∴EF＝DE+DF＝2+4＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义．解题的关键是掌握等腰三角形的判定．
13．（2分）已知n是无理数，且2＜n＜3，写出一个满足条件的n的值是 （答案不唯一） ．
【分析】根据n是无理数，且2＜n＜3，得出4＜n2＜9，从而即可得出答案
【解答】解：∵n是无理数，且2＜n＜3，
∴4＜n2＜9，
∴满足条件的n的值是（答案不唯一）．
【点评】本题考查了无理数的估算，准确进行估算是解此题的关键．
14．（2分）计算：＝ ．
【分析】根据单项式乘以单项式的运算法则进行计算即可
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
15．（2分）如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和面积分别为S1S2的两个正方形所拼成的．若直角三角形的斜边长为2，则S1+S2的值为 4 ．
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：如图，∵直角三角形的斜边长为2，
∴AB2+BC2＝S1+S2＝AC2＝22＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了全等图形，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16．（2分）如图所示的网格是正方形网格，则∠DAB+∠DBA＝ 45 °．（点D，A，B是网格线交点）
【分析】构造等腰直角三角形DTB，再利用三角形的外角的性质解决问题．
【解答】解：如图，延长AD到T，连接BT．
则TD2＝BT2＝1+22＝5，DB2＝12+32＝10，
∴TD2+TB2＝DB2，
∴∠DTB＝90°，
∴∠TDB＝∠DAB+∠DBA＝45°，
故答案为：45．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（共68分，第17-19题，每小题5分，第20-23题，每小题5分，第24-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）
17．（5分）计算：．
【分析】根据二次根式的性质、绝对值的性质、零指数幂计算即可得出答案．
【解答】解：原式＝
＝．
【点评】本题考查了实数的混合运算，掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键．
18．（5分）计算：．
【分析】根据同分母的分式的加减，进行计算，再约分即可得出答案
【解答】解：
＝
＝
＝
＝a﹣1．
【点评】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
19．（5分）如图，CD平分∠ACB，AC＝BC．求证：AD＝BD．
【分析】由CD平分∠ACB，得∠ACD＝∠BCD，而AC＝BC，CD＝CD，即可根据“SAS”证明△ADC≌△BDC，则AD＝BD．
【解答】证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
在△ADC和△BDC中，
，
∴△ADC≌△BDC（SAS），
∴AD＝BD．
【点评】此题重点考查角平分线的定义、全等三角形的判定与性质等知识，推导出∠ACD＝∠BCD，进而证明△ADC≌△BDC是解题的关键．
20．（6分）已知，求代数式的值．
【分析】括号内先通分，再计算乘法，约分即可化简，再代入值进行计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝，
将代入中，
原式＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解此题的关键．
21．（6分）解方程：＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3x+3＝4x，
解得：x＝3，
经检验x＝3是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
22．（6分）如图，在△ABC和△CDE中，点A，C，E在同一直线上，AB∥CD，∠B＝∠D，AC＝CE．求证：BC∥DE．
【分析】根据平行线的性质得出∠BAC＝∠DCE，利用AAS证明△ABC≌△CDE，根据全等三角形的性质得出∠BCA＝∠DEC，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCE，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴∠BCA＝∠DEC，
∴CB∥DE．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23．（6分）在学习了全等三角形和尺规作图知识以后，老师布置了一道关于作角平分线的思考题．要求不用书中作角平分线的方法，使用直尺和圆规再设计几种作角平分线的方法．并说明其中的数学原理．
以下是某小组交流讨论之后，小组代表汇报本组的两种方法．
请你根据以上小组汇报的尺规作图的过程完成下面问题：
（1）请证明方法1中的OP是∠AOB的平分线；
（2）①依照方法2补全图形（保留作图痕迹）；
②写出方法2中OP是∠AOB的平分线的依据．
【分析】（1）利用“SSS”证明△OMP≌△ONP，得出∠MOP＝∠NOP，即可得证；
（2）①分别过点M，N作OA，OB的垂线，两垂线交于点P，补全图形即可；
②根据全等三角形的判定与性质即可得出答案．
【解答】（1）证明：如图1，
在△OMP和△ONP中，
，
∴△OMP≌△ONP（SSS），
∴∠MOP＝∠NOP，
∴OP平分∠AOB；
（2）解：①如图，射线OP即为所作，
；
②由作图可得：OM＝ON，∠PNO＝∠PMO＝90°，
在Rt△OPM和Rt△OPN中，
，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），
∴∠MOP＝∠NOP，
∴OP平分∠AOB
故依据是：HL判定定理；全等三角形对应角相等；角平分线定义等．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图、角平分线的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
24．（5分）列方程解应用题：
为响应绿色出行，低碳减排号召，助力“双碳”目标不断实现，小华家将燃油汽车置换为一辆新的纯电动汽车，原来驾驶燃油汽车从A地到B地所需油费是108元，现在驾驶纯电动汽车所需电费27元．已知每行驶1千米，原来燃油汽车所需油费比纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．
【分析】设新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为x元，则燃油汽车所需油费（x+0.54）元，根据行驶的路程相等列出方程即可解决问题，理解题意，找准等量关系，正确列出方程．
【解答】解：设新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为x元，则燃油汽车所需油费（x+0.54）元，
由题意列方程得：，
解方程得，x＝0.18，
经检验，x＝0.18是原方程得解，且符合实际意义，
答：新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元．
【点评】本题考查了分式的方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键．
25．（5分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度CE是2.2米．一架梯子AB斜靠在左墙时，梯子顶端A与地面点C距离是2.4米．如果保持梯子底端B位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端D与地面点E距离是2米．求此时梯子底端B到右墙角点E的距离是多少米．
【分析】设此时梯子底端B到右墙角点E的距离是x米，则BC为（2.2﹣x）米，在Rt△ABC和Rt△DBE中，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：设此时梯子底端B到右墙角点E的距离是x米，则BC为（2.2﹣x）米，
由题意可知，AC＝2.4米，DE＝2米，AB＝DB，
在Rt△ABC和Rt△DBE中，由勾股定理得：AB2＝BC2+AC2，DB2＝BE2+DE2，
∴BC2+AC2＝BE2+DE2，
即（2.2﹣x）2+2.42＝x2+4，
解得：x＝1.5，
答：此时梯子底端B到右墙角点E的距离是1.5米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
26．（5分）在9×9的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在网格中画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1．（要求：A与A1，B与B1，C与C1是对称点）；
（2）若直线l和线段AA1相交于点M，线段AM＝4，则线段MA1＝ 4 ；
（3）△A1B1C1的面积是 5 ．
【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出A、B、C关于直线l的对称点即可；
（2）根据对称的性质求解即可；
（3）利用割补法求解即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）∵点A和点A1关于直线l对称，
∴MA1＝AM＝4；
故答案为：4；
（3）△A1B1C1的面积＝．
故答案为：5．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，轴对称的性质，割补法求三角形面积，作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解答问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．
27．（7分）在△ABC中，CD⊥AB于点D，E为AC的中点，连接BE，与CD交于点F，过点E作EN⊥EF，与DC的延长线交于点N，连接BN．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段BN，CN，AB之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）过点E作EN⊥EF，与DC的延长线交于点N，连接BN，作图即可．
（2）延长NE至M使ME＝NE，连接BM，AN，证明△MEA≌△NEC（SAS），再证明△MAB是直角三角形，利用勾股定理即可证明．
【解答】（1）如图，
（2）CN2+AB2＝BN2，证明如下：
如图，延长NE至M使ME＝NE，连接BM，AN，
∵E为AC中点，
∴AE＝CE，
在△MEA和△NEC中，
，
∴△MEA≌△NEC（SAS），
∴CN＝AM，
∴∠CNE＝∠AME，
∴AM∥DN，
∵CD⊥AB，
∴MA⊥AB，
∴△MAB是直角三角形，
又∵BE⊥MN，E为MN中点，
∴BM＝BN，
在直角三角形MAB中，AM2+AB2＝BM2，
∴CN2+AB2＝BN2，
【点评】本题考查全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
28．（7分）【阅读学习】
（1）判断：在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，则△ABC 是 “可两分三角形”．（填“是”或“不是”）
（2）画图和计算：
下图中的两个三角形都是“可两分三角形”．请你画出每个三角形的“两分线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数．
（3）画图和计算：请你在图4中，画出顶角为45°的等腰△ABC的“三分线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数．
（4）画图和计算：在△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的“三分线”，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE．设∠C＝x°，试画出示意图，并求出x的值．
【分析】（1）根据新定义画出图形即可判断；
（2）根据新定义画出图形即可求解；
（3）根据新定义画出图形即可求解；
（4）根据新定义画出图形即可求解．
【解答】解：（1）如图1﹣1，△ABC可以分割成两个小的等腰三角形，
∴△ABC是“可两分三角形”，
故答案为：是；
（2）如图1、图2所示；
（3）如图4﹣1，图4﹣2所示；
（4）当AD＝AE时，如图5，
∴x°+2x°＝60°，
解得：x＝20；
当AD＝DE时，如图6，
∴x°+2x°+60°＝180°，
解得：x＝40；
当AE＝DE时，如图7，
∵90°﹣x°+x°≠60°，
∴这种情况不成立．
综上，x的值为20或40．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角和定理和三角形的内角和定理，理解题目中的新定义是解题的关键．方法1：
已知：∠AOB．
求作：射线OP，使它平分∠AOB．
作法：如图，
（1）以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N；
（2）连接MN；
（3）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；
（4）作射线OP．
所以射线OP即为∠AOB的平分线．
方法2：
已知：∠AOB．
求作：射线OP，使它平分∠AOB．
作法：如图，
（1）在射线OA，OB上分别截取OM，ON，使OM＝ON；
（2）分别过点M，N作OA，OB的垂线，两垂线交于点P；
（3）作射线OP．
所以射线OP即为∠AOB的平分线．
阅读1从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就把原三角形叫作“可两分三角形”．这条线段叫作这个三角形的“两分线”．
阅读2如果两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，那么我们把这两条线段叫作这个三角形的“三分线”．如图3，线段BD，CE将顶角为36°的等腰△ABC分成了三个等腰三角形，则线段BD，CE是△ABC的“三分线”．
方法1：
已知：∠AOB．
求作：射线OP，使它平分∠AOB．
作法：如图，
（1）以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N；
（2）连接MN；
（3）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；
（4）作射线OP．
所以射线OP即为∠AOB的平分线．
方法2：
已知：∠AOB．
求作：射线OP，使它平分∠AOB．
作法：如图，
（1）在射线OA，OB上分别截取OM，ON，使OM＝ON；
（2）分别过点M，N作OA，OB的垂线，两垂线交于点P；
（3）作射线OP．
所以射线OP即为∠AOB的平分线．
阅读1从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就把原三角形叫作“可两分三角形”．这条线段叫作这个三角形的“两分线”．
阅读2如果两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，那么我们把这两条线段叫作这个三角形的“三分线”．如图3，线段BD，CE将顶角为36°的等腰△ABC分成了三个等腰三角形，则线段BD，CE是△ABC的“三分线”．