2023-2024学年北京市延庆区八年级下学期期末数学试题（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年北京市延庆区八年级下学期期末数学试题（含详细答案解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.函数y=xx−2的自变量x的取值范围是( )
A. x=0B. x≠0C. x=2D. x≠2
3.如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长为( )
A. 4B. 8C. 16D. 20
4.关于x的一元二次方程x2−x+a−2=0的一个根是0，则实数a的值为( )
A. 2B. −2C. 3D. −3
5.用配方法解方程x2+4x=1时，原方程应变形为( )
A. (x−2)2=1B. (x+2)2=5C. (x−2)2=5D. (x+2)2=1
6.下图是外周边缘为正八边形的木花窗挂件，则这个八边形的每个内角为( )
A. 45∘B. 100∘C. 120∘D. 135∘
7.如图，在▱ABCD中，点E在BA的延长线上，CE⊥BE，如果∠EAD=50∘，那么∠BCE的度数为( )
A. 50∘B. 45∘C. 40∘D. 35∘
8.学习了正方形之后，老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？
甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角；
乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等；
丙同学说：先判定四边形的对角线相等，再确定对角线互相垂直；
丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等．
上述四名同学的说法中，正确的是( )
A. 甲、乙B. 甲、丙C. 乙、丙、丁D. 甲、乙、丁
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.方程x2=4的解是__________.
10.如图，矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O，如果∠ADB=30∘，那么∠AOB的度数为__________.
11.一组数据3，2，4，7的方差为s2，则s2=__________.
12.若A(2,y1)，B(3,y2)是一次函数y=−3x+1的图像上的两个点，则y1与y2的大小关系是y1__________y2.(填“>”，“=”或“<”)
13.下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差：
要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择__________.
14.随着生活水平的提高，人们越来越关注健康的生活环境，家庭及办公场所对空气净化器的需求量逐月增多．经调查，某品牌的空气净化器今年三月份的销售量为8万台，五月份的销售量为9.68万台，若销售量的月平均增长率相同，均为x，则可列方程为__________.
15.在平面直角坐标系xOy中，点A0,2,B−1,0,C2,0为▱ABCD的顶点，则顶点D的坐标为__________.
16.如图，已知正比例函数y1=ax与一次函数y2=−12x+b的图象交于点P.
下面有四个结论：
①a > 0；
②b < 0；
③当x < 0时，y2 < y1；
④b−2a=1.
其中正确的是__________(只填写序号).
三、解答题：本题共12小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解方程：
(1)x2−2x−3=0；
(2)2x2+3x−1=0.
18.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，∠DCB=90∘，AD//BC，过点 A作AE⊥BC于点E，连接AC,DE.
求证：AC=DE.
19.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+2(k≠0)与函数y=−x+4的图象交点为P3,m，与 y轴交于点A.
(1)求k的值；
(2)求△PAO的面积．
20.(本小题8分)
如图，在△ACB中，∠ACB=90∘，点E是边AB的中点，过点A，点C分别作CE和AB的平行线，交于点D.
(1)求证：四边形ADCE是菱形；
(2)若CE=6，∠DAE=60∘，求AC的长．
21.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2+2x+m−1=0有两个不相等的实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若m为满足条件的最大整数，求此时方程的根．
22.(本小题8分)
在数学课上，老师布置以下思考题：
已知：△ABC，点D为AB的中点．
求作：线段DE，使DE//BC.
小智结合所学知识思考后，作法如下：
①分别以点A，C为圆心，大于12AC的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；
②作直线MN，直线MN交AC于点E；
③连接DE.
所以DE就是所求作的线段．
(1)请你利用直尺和圆规，依据小智的作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)请回答，小智尺规作图得到DE//BC的依据是________________________.
23.(本小题8分)
某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，分两档收费：第一档是当月用电量不超过240度时实行“基础电价”；第二档是当用电量超过240度时，其中的240度仍按照“基础电价”计费，超过的部分按照“提高电价”收费．设每个家庭月用电量为x度时，应交电费为y元．具体收费情况如折线图所示，请根据图象回答下列问题：
(1)“基础电价”是____________元度；
(2)求出当x>240时，y与x的函数表达式；
(3)若紫豪家六月份缴纳电费132元，求紫豪家这个月用电量为多少度？
24.(本小题8分)
某公园在绿化时，工作人员想利用如图所示的直角墙角(两边足够长)和长为40米的篱笆围成一个矩形场地，其中边AB，AD为篱笆．如果矩形场地的面积是300平方米，求矩形场地的长AB和宽AD各是多少米？
25.(本小题8分)
长城是中华民族的精神象征．某校为让更多的师生了解长城、保护长城，举办了以“讲好长城故事，传承长城文化，弘扬长城精神”为主题的演讲比赛，共有200名学生参加．为了更好地了解本次比赛成绩的分布情况，随机抽取了部分学生的成绩作为样本，绘制的频数分布表与频数分布直方图的一部分如下(每组分数段中的分数包括最低分，不包括最高分)：
样本成绩频数分布表
样本成绩频数分布直方图

请根据所给信息，解答下列问题：
(1)a=________，b=________，c=________；
(2)补全频数分布直方图；
(3)若成绩在80分及以上为优秀，请你根据抽取的样本数据，估计参加这次比赛的200名学生中成绩优秀的约有多少名？
26.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=12x的图象平移得到，且经过点(0,1).
(1)求该一次函数的表达式；
(2)当x>2时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值大于一次函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出n的取值范围．
27.(本小题8分)
如图，点E是正方形ABCD内部一点，BE=BA，连接AE，CE，过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点F.
(1)依题意补全图形，求∠CEF的度数；
(2)连接DF，用等式表示线段AF，DF，CF之间的数量关系，并证明．
28.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点P与图形W给出如下定义：N为图形W上任意一点，P，N两点间距离的最小值称为点P与图形W的“近点距离”．特别的，当点P在图形W上时，点P与图形W的“近点距离”为零．如图1，点A3,1，B3,5.
图1 图2
(1)点C4,1与线段AB的“近点距离”是；点D1,0与线段AB的“近点距离”是；
(2)点P在直线y=x+2上，如果点P与线段AB的“近点距离”为2，那么点P的坐标是；
(3)如图2，将线段AB向右平移3个单位，得到线段EF，连接AE，BF，若直线y=x+b上存在点G，使得点G与四边形ABFE的“近点距离”小于或等于 3，直接写出b的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键．中心对称图形：把一个图形绕着某个点旋转180∘，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义逐项判断即可得出结论．
【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项不符合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故选项不符合题意；
C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故选项符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项不符合题意．
故选：C.
2.【答案】D
【解析】【分析】本题考查的知识点是求函数自变量的取值范围、分式有意义的条件，解题关键是熟练掌握分式有意义的条件．
结合求函数自变量的取值范围、分式有意义的条件即可求解．
【详解】解：要使函数y=xx−2有意义，x−2≠0，
∴x≠2.
故选：D.
3.【答案】C
【解析】∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC=2EF=2×2=4，
∴菱形ABCD的周长=4BC=4×4=16.故选C.
4.【答案】A
【解析】【分析】此题考查了一元二次方程的解，把x=0代入方程得a−2=0，然后解方程即可，解题的关键是熟记方程的解的含义．
【详解】解：把x=0代入方程x2−x+a−2=0，得a−2=0，
解得a=2，
故选：A.
5.【答案】B
【解析】【分析】本题考查的知识点是一元二次方程-配方法，解题关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤．
利用解一元二次方程-配方法：先把二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进行计算即可解答．
【详解】解：根据配方法解方程x2+4x=1，
x2+4x+4=1+4，
x+22=5.
故选：B.
6.【答案】D
【解析】【分析】根据多边形的内角和公式，列式计算即可得解．
【详解】解：这个正八边形每个内角的度数=18×(8−2)×180∘=135∘.
故选D
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】【分析】此题考查了平行四边的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点．
首先得到AD//BC，求出∠B=∠EAD=50∘，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC
∴∠B=∠EAD=50∘
∵CE⊥BE
∴∠BCE=180∘−∠E−∠B=40∘.
故选：C.
8.【答案】D
【解析】【分析】本题考查正方形的判定定理，熟记这些判定定理才能够正确做出判断．
根据正方形的判定方法进行解答即可．正方形的判定定理有：对角线相等的菱形；对角线互相垂直的矩形；对角线互相垂直平分且相等的四边形．
【详解】解：甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角，故说法正确；
乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等，故说法正确；
丙同学说：先判定四边形的对角线相等，再确定对角线互相垂直，还需要对角线互相平分，故说法错误；
丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等，故说法正确；
故选：D.
9.【答案】x=±2
【解析】直接运用开平方法解答即可．
【详解】解：∵x2=4
∴x=± 4=±2.
故答案为x=±2.
【点睛】本题主要考查了运用开平方法求解一元二次方程，牢记运用开平方法求的平方根而不是算术平方根是解答本题的关键，也是解答本题的易错点．
10.【答案】60∘
【解析】【分析】根据矩形的性质，可得∠BAD的度数，OA与OB的关系，根据等边三角形的判定和性质，可得答案．
【详解】∵ABCD是矩形，
∴∠DAB=90∘.
∵∠ADB=30∘，
∴∠ABD=90∘−∠ADB=60∘.
∵OA=OB，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠AOB=60∘.
故答案为：60∘.
【点睛】本题考查了矩形的性质，利用矩形的性质得出∠ABD的度数是解答本题的关键．
11.【答案】3.5
【解析】【分析】本题主要考查方差的有关计算，熟练掌握方差计算公式是解题关键，若一组数据x1、x2……xn，x为平均数，那么该组数据的方差为：1n×(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(xn−x)2.
先求出该组数据的平均数，再利用方差公式计算求解即可．
【详解】解：∵平均数为14×3+2+4+7=4
∴s2=14×3−42+2−42+4−42+7−42=3.5，
故答案为：3.5.
12.【答案】>
【解析】【分析】根据一次函数的性质，当k<0时，y随x的增大而减小，判断即可．
【详解】因为A(2,y1)，B(3,y2)是一次函数y=−3x+1的图像上的两个点，
且k=−3<0时，
所以y随x的增大而减小，
因为2<3，
所以y1>y2，
故答案为：>.
【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．
13.【答案】乙
【解析】【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，选出方差最小，而且平均数较大的同学参加数学比赛．
【详解】解：∵3.6<7.4<8.1，
∴甲和乙的最近几次数学考试成绩的方差最小，发挥稳定，
∵95>92，
∴乙同学最近几次数学考试成绩的平均数高，
∴要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择乙．
故答案为：乙
【点睛】此题主要考查了方差的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
14.【答案】8(1+x)2=9.68
【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握一元二次方程的实际应用是解题的关键．
设销售量的月平均增长率x，根据题意可直接列方程即可．
【详解】解：设销售量的月平均增长率x，
则根据题意得：8(1+x)2=9.68.
故答案为：8(1+x)2=9.68.
15.【答案】3,2
【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、坐标与图形等知识点，掌握平行四边形的对角线相互平分成为解题的关键．
设点D的坐标为m,n，由平行四边形对角线中点坐标相同可得0+22=−1+m22+02=0+n2，然后解方程即可解答．
【详解】解：设点D的坐标为m,n，
由平行四边形对角线中点坐标相同可得0+22=−1+m22+02=0+n2，解得：m=3n=2，
∴点D的坐标为3,2.
故答案为：3,2.
16.【答案】①④/④①
【解析】【分析】此题考查一次函数与一元一次不等式，关键是掌握正比例函数和一次函数的性质．根据正比例函数和一次函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：因为正比例函数y1=ax经过一、三象限，
所以a>0，故①正确；
一次函数y2=−12x+b经过一、二、四象限，
所以b>0，故②错误；
由图像可得，当x < 0时，y2>y1
故③错误；
正比例函数y1=ax与一次函数y2=−12x+b的图象交于点P
则a×2=−12×2+b
则b−2a=1
故④正确；
故答案为：①④
17.【答案】(1)x2−2x−3=0.
解：x2−2x=3.
x2−2x+1=3+1.
(x−1)2=4.
x−1=±2.
∴原方程的解为x1=3，x2=−1.
(2)2x2+3x−1=0
解：a=2，b=3，c=−1.
b2−4ac=32−4×2×(−1)=17.
∴x=−b± b2−4ac2a=−3± 172×2=−3± 174.
∴原方程的解为x1=−3+ 174，x2=−3− 174.

【解析】【分析】本题考查解一元二次方程．
(1)根据配方法求解即可；
(2)根据公式法求解即可．
18.【答案】证明：∵AD//BC，
∴∠ADC=∠DCB=90∘，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90∘，
∴∠ADC=∠DCE=∠AEC=90∘，
∴四边形AECD是矩形，
∴AC=DE.

【解析】【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据平行线的性质可得，∠ADC=∠DCB=90∘，再根据AE⊥BC，即可得∠ADC=∠DCE=∠AEC=90∘，从而得出四边形AECD是矩形，即可证明AC=DE.
19.【答案】(1)解：∵P3,m在y=−x+4上，
∴m=−3+4=1.
∵y=kx+2过点P3,1，
∴3k+2=1.
∴k=−13.
(2)解：∵直线y=kx+2(k≠0)与y轴交于点A，
∴A0,2.
∴S△PAO=12⋅OA⋅xP=12×2×3=3.

【解析】【分析】本题考查一次函数的图象和性质：
(1)根据P3,m在y=−x+4上求出m的值，再将点P坐标代入y=kx+2即可求出k的值；
(2)先求出直线y=kx+2(k≠0)与y轴的交点A的坐标，则S△PAO=12⋅OA⋅xP.
20.【答案】(1)证明：∵AD//EC，CD//AE，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∵∠ACB=90∘，点E是边AB的中点，
∴CE=AE=EB，
∴▱ADCE是菱形；
(2)∵四边形ADCE为菱形，CE=6，
∴AE=EC=6，
∵点E是边AB的中点，
∴AB=12，
∵∠DAE=60∘，
∴∠CAB=30∘，
∵∠ACB=90∘，∠CAB=30∘，
∴BC=12AB=6，
∴在Rt△ABC中，AC= 122−62=6 3.

【解析】【分析】(1)先证明四边形ADCE为平行四边形，再根据直角三角形斜边中线的性质得出CE=AE=EB，进而可得结论；
(2)先根据菱形的性质求出AB，再根据含30∘直角三角形的性质求出BC，然后利用勾股定理计算出AC即可．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，含30∘直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
21.【答案】(1)解：依题意，得
b2−4ac=4−4×1×(m−1)=4−4m+4=8−4m.
∵方程有两个不相等的实数根，
∴8−4m>0.
∴m<2；
(2)解：∵m为满足条件的最大整数，
∴m=1.
∴x2+2x=0，
∴x1=0,x2=−2.

【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解不等式，对于(1)，根据题意可知b2−4ac>0，再求出解即可；
对于(2)，根据取值范围求出m的值，再求出方程的解即可．
22.【答案】(1)如图所示，
(2)由作图可得，MN垂直平分AC
∴点E是AC的中点
∵点D为AB的中点
∴DE是△ABC的中位线
∴DE//BC
∴DE//BC的依据是三角形的中位线平行于第三边．

【解析】【分析】(1)根据小智的作法补全图形补全图形即可；
(2)由垂直平分线的概念得到点E是AC的中点，然后证明出DE是△ABC的中位线，进而证明DE//BC.
23.【答案】(1)“基础电价”是120÷240=0.5元/度，
故答案为0.5；
(2)设表达式为y=kx+b(k≠0)，
∵过A(240,120)，B(400,216)，
∴240k+b=120400k+b=216，
解得∶k=0.6b=−24，
∴表达式为y=0.6x−24；
(3)∵132>120，
∴当y=132时，0.6x−24=132，
∴x=260，
答：紫豪家这个月用电量为260度．

【解析】【分析】(1)由用电240度费用为120元可得；
(2)当x>240时，待定系数法求解可得此时函数解析式；
(3)由132>120知，可将y=132代入(2)中函数解析式求解可得．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，涉及一次函数的图象、待定系数法等，分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，理解每个区间的实际意义是解题关键．
24.【答案】解：设矩形场地的长AB为x米，则宽AD为40−x米，
由题意得：x40−x=300，
化简得：x2−40x+300=0，
解得：x1=30,x2=10，
当AB=30时，AD=10；
当AB=10时，AD=30(不合题意，舍去)；
∴AB=30，AD=10，
答：矩形场地的长为30米，宽为10米．

【解析】【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，熟练根据题意列出式子是解题的关键．设矩形场地的长AB为x米，则宽AD为40−x米，根据面积是300平方米列式求解即可，注意长大于宽．
25.【答案】(1)解：抽取总数d=4÷0.1=40(人)
∴a=2÷40=0.05，b=40×0.35=14，c=12÷40=0.3，
故答案为：0.05，14，0.3；
(2)解：由(1)80∼90的频数为14，故补全条形统计图如图：
(3)解：200×0.35+0.3=130(名)，
答：估计该校参加比赛的200名学生中成绩优秀的有130名．

【解析】【分析】本题考查频数(率)分布直方图、画频数分布图、用样本估计整体等知识点，从频数分布直方图中获取信息成为解题的关键．
(1)由60≤x<70的频数与频率求得抽取总数，再根据频数=总数×频率可得a，频率=频数÷总数可分别求得a、c的值即可；
(2)根据(1)中所求结果补全直方图即可；
(3)用总人数乘以样本中80及80分以上人数的频率和即可解答．
26.【答案】(1)∵一次函数y=kx+b的图象由函数y=12x的图象平移得到，
∴k=12.
∵一次函数y=12x+b经过点(0,1)，
∴b=1，
∴一次函数关系式为y=12x+1；
(2)n≥0.理由如下：
由题意可知，当x>2时，x+n>12x+1，得n>−12x+1，
当x>2时，−12x+1<0，
∴n≥0
∴当n≥0时，函数y=x+n的值大于一次函数y=12x+1的值．

【解析】【分析】本题主要考查了求一次函数的关系式，一次函数与不等式，
(1)根据平移的性质可知k，再将点的坐标代入求出b，可得答案；
(2)当x>2时，x+n>12x+1，得n>−12x+1，即可得答案．
27.【答案】(1)如图，
解：∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABC=90∘.
∵BE=BA，
∴AB=BE=BC.
∴设∠BAE=∠BEA=x，∠BEC=∠BCE=y.
∵四边形ABCE的内角和为360∘，
∴2x+2y+90=360.
∴x+y=135.
∴∠AEC=135∘.
∴∠CEF=45∘；
(2)数量关系是AF= 2DF+CF.
如图，作DH⊥DF，交AF于点H.
∴∠ADH=∠CDF=90∘−∠HDC.
∵∠EFC=90∘，
又∵∠CEF=45∘，
∴∠CEF=∠CFE=45∘，
∴△EFC是等腰直角三角形．
∴EF=FC.
∵∠DAB=90∘，设∠BAE=∠BEA=m，∠BEC=∠BCE=n.
∴∠DAH=90∘−m，
∵∠DCE=90∘−n，
∴∠FCD=45∘−90∘−n=n−45∘.
又∵m+n=135，
∴n=135−m.
∴∠FCD=90∘−m.
∴∠DAH=∠DCF.
∵正方形ABCD，
∴AD=DC.
在△DAH和△DCF中，
∠DAH=∠DCFAD=DC∠ADH=∠FDC
∴△DAH≌△DCFAAS.
∴AH=CF，DH=DF.
∴△DHF是等腰直角三角形．
∴HF= 2DF.
∵AF=HF+AH，
∴AF= 2DF+CF.

【解析】【分析】此题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，
(1)首先根据题意做出图形，然后得到AB=BE=BC，设∠BAE=∠BEA=x，∠BEC=∠BCE=y，根据四边形ABCE的内角和为360∘得到2x+2y+90=360，进而求解即可；
(2)作DH⊥DF，交AF于点H，得到△EFC是等腰直角三角形，表示出∠FCD=45∘−90∘−n=n−45∘，然后证明出△DAH≌△DCFAAS，得到△DHF是等腰直角三角形，进而求解即可．
28.【答案】(1)解：如图，
∵C4,1，A3,1，
∴点C4,1与线段AB的“近点距离”是1；
∵D1,0，A3,1，
∴AD= 3−12+1−02= 5，
∴点D1,0与线段AB的“近点距离”是 5；
(2)解：如图，当P在AB的左边时，
当PN⊥AB时，最小，
∵点P与线段AB的“近点距离”为2，
∴PN=2，
∵xN=3，
∴xP=1，
∴yP=1+2=3，
∴P1,3，
当P在AB的右边时，如图中的P′，
∴AP′=2，
过B作x轴的平行线，过P′作x轴的垂线，交点为Q，
∵直线P′B为y=x+2，
∴△BQP′为等腰直角三角形，
∴BQ=P′Q=2× 22= 2，
∴P′3+ 2,5+ 2；
(3)解：如图，过B作BG⊥直线y=x+b，则线段GB的长度为点G与四边形ABFE的“近点距离”
∵一次函数y=x+b，
∴∠GMT=45∘=∠GTM，
∴∠OWT=∠OTW=45∘，
∴设OT=OW=n，
∴W0,n，Tn,0，
设直线GT为y=ex+f，
∴3e+f=5f=nne+f=0，解得：e=−1f=8，
∴直线GT为y=−x+8，
∴T8,0，
∴TB= 8−32+0−52=5 2，
当BG= 3时，GT=5 2+ 3，
过G作GV⊥x轴于V，
∴GV=MV=TV= 225 2+ 3=5+ 62，
∴5+ 62=−xG+8，
∴xG=3− 62，
∴G3− 62,5+ 62，
∴5+ 62=3− 62+b，
∴b=2+ 6，
如图，过E作EG⊥直线y=x+b，则线段EG的长度为点G与四边形ABFE的“近点距离”
∵由平移可得：E6,1，
同理可得：直线GE为y=−x+7，
∴K0,7，
∴KE=6 2，
当EG= 3时，则KG=6 2+ 3，
过G作GV⊥y轴于V，
∴GV=KV=MV= 226 2+ 3=6+ 62，
∴xG=6+ 62，
∴yG=−6− 62+7=1− 62，
∴G6+ 62,1− 62，
∴1− 62=6+ 62+b，
解得：b=−5− 6；
∴直线y=x+b上存在点G，使得点G与四边形ABFE的“近点距离”小于或等于 3，b的取值范围为−5− 6≤b≤2+ 6.

【解析】【分析】(1)画出图形，直接利用新定义结合勾股定理可得答案；
(2)画出图形，分两种情况利用数形结合的方法，一次函数的性质与勾股定理解答即可；
(3)如图，过B作BG⊥直线y=x+b，则线段GB的长度为点G与四边形ABFE的“近点距离”，求解直线GT为y=−x+8，过G作GV⊥x轴于V，如图，过E作EG⊥直线y=x+b，则线段EG的长度为点G与四边形ABFE的“近点距离”由平移可得：E6,1，同理可得：直线GE为y=−x+7，再进一步解答即可．
【点睛】本题考查的是新定义的含义，一次函数的几何应用，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，二次根式的运算，平移的性质，理解题意是解本题的关键．
甲
乙
丙
丁
平均数(分)
92
95
95
92
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
分组/分
频数
频率
50∼60
2
a
60∼70
4
0.10
70∼80
8
0.20
80∼90
b
0.35
90∼100
12
c
合计
d
1.00