2023-2024学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）榫卯是中国建筑的智慧结晶，仅靠木头之间的相互作用力就可以让建筑或家具牢固、美观．下列榫卯拼接截面示意图中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，1cm3甲醇的质量约为0.00079kg，将0.00079用科学记数法表示应为（ ）
A．79×10﹣4B．7.9×10﹣4C．79×10﹣5D．0.79×10﹣3
3．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．（a2）3＝a8B．（﹣3a）2＝6a2
C．a2•a3＝a5D．a9÷a3＝a3
4．（3分）如图，点E，C，F，B在一条直线上，AB∥ED，∠A＝∠D，添加下列条件不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AC∥DFB．AB＝DEC．EC＝BFD．AC＝DF
5．（3分）正多边形的一个外角的度数为72°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
6．（3分）如图是折叠凳及其侧面示意图，若AC＝BC＝18cm，则折叠凳的宽AB可能为（ ）
A．70cmB．55cmC．40cmD．25cm
7．（3分）下列各式从左到右变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC内一点，点D，E，F分别是点P关于直线AC，AB，BC的对称点，给出下面三个结论：
①AE＝AD；
②∠DPE＝90°；
③∠ADC+∠BFC+∠BEA＝270°．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．（2分）分解因式：a3﹣ab2＝ ．
11．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣1）关于x轴的对称点A′的坐标为 ．
12．（2分）计算：（6a3﹣9a2）÷3a2＝ ．
13．（2分）已知一个等腰三角形的一个内角为40°，则它的顶角等于 ．
14．（2分）如图，在△ABC中，DE是BC边的垂直平分线．若AB＝8，AC＝13，则△ABD的周长为 ．
15．（2分）把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若∠BAC＝35°，则∠CBD＝ °．
16．（2分）请阅读关于“乐数”的知识卡片，并回答问题：
（1）判断： （填“是”或“不是”）“乐数”；
（2）写出一个分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数” ．
三、解答题（本题共60分，第17题5分，第18题10分，第19-23题每题5分，第24题6分，第25、26题每题7分）
17．（5分）计算：．
18．（10分）（1）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x﹣2）+（x+3）2的值．
（2）计算：．
19．（5分）小明用自制工具测量花瓶内底的宽．他将两根木条AC，BD的中点连在一起（即AO＝CO，BO＝DO），如图所示放入花瓶内底．此时，只需测量点 与点 之间的距离，即为该花瓶内底的宽，请证明你的结论．
20．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．在线段AC上求作一点D．使得．
小明发现作∠ABC的平分线交AC于点D，点D即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依小明的思路作出点D（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵∠A＝30°，∠C＝90°，
∴∠ABC＝ °．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝，
∴∠ABD＝∠A．
∴AD＝ ．
在 Rt△BCD中，∠CBD＝30°，
∴（ ）（填推理依据）．
∴．
21．（5分）如图所示的4×4网格是正方形网格，顶点是网格线交点的三角形称为格点三角形．如图1，△ABC为格点三角形．
（1）∠ABC＝ °；
（2）在图2和图3中分别画出一个以点C1，C2为顶点，与△ABC 全等，且位置互不相同的格点三角形．
22．（5分）列方程解应用题：
无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？
23．（5分）如图，四边形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC 于点F，交CD于点E，连接EA，EA平分∠DEF．
（1）求证：AF＝AD；
（2）若BF＝7，DE＝3，求CE的长．
24．（6分）小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为．利用此净水装置，小明进行了进一步的探究：
现有杂质含量为1的水．
（1）用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为 ；
（2）小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示：
①请将表格中方案C的数据填写完整；
②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？
（3）当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为 （用含a的式子表示）．
25．（7分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，作直线AP，使得45°＜∠PAC＜90°．过点B作BD⊥AP于D，在DA的延长线上取点E，使DE＝BD．连接BE，CE．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠ABD＝α，求∠CBE（用含α的式子表示）；
（3）用等式表示线段AE，CE，DE之间的数量关系，并证明．
26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过原点且经过第三、第一象限，l与x轴所夹锐角为n°．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为Q，若点Q的纵坐标为正数，且△MNQ为等边三角形，则称点P为M，N的n°点．
（1）如图1，若点M（2，0），N（4，0），点P为M，N的45°点，连接OP，OQ．
①∠POQ＝ °；
②求点P的纵坐标；
（2）已知点M（m，0），N（m+t，0）．
①当t＝2时，点P为M，N的60°点，且点P的横坐标为﹣2，则m＝ ；
②当m＝﹣2时，点P为M，N的30°点，且点P的横坐标为2，则t＝ ．
2023-2024学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（3分）榫卯是中国建筑的智慧结晶，仅靠木头之间的相互作用力就可以让建筑或家具牢固、美观．下列榫卯拼接截面示意图中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．
2．（3分）杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，1cm3甲醇的质量约为0.00079kg，将0.00079用科学记数法表示应为（ ）
A．79×10﹣4B．7.9×10﹣4C．79×10﹣5D．0.79×10﹣3
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00079＝7.9×10﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．（a2）3＝a8B．（﹣3a）2＝6a2
C．a2•a3＝a5D．a9÷a3＝a3
【分析】根据幂的乘方法则，积的乘方法则，同底数幂的乘法和除法法则逐项计算，即可判断．
【解答】解：（a2）3＝a6，故A计算错误，不符合题意；
（﹣3a）2＝9a2，故B计算错误，不符合题意；
a2•a3＝a2+3＝a5，故C计算正确，符合题意；
a9÷a3＝a6，故D计算错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法和除法．熟练掌握各运算法则是解题关键．
4．（3分）如图，点E，C，F，B在一条直线上，AB∥ED，∠A＝∠D，添加下列条件不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AC∥DFB．AB＝DEC．EC＝BFD．AC＝DF
【分析】利用平行线的性质可得∠E＝∠B，然后利用全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答．
【解答】解：∵AB∥ED，
∴∠E＝∠B，
A、∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵∠A＝∠D，∠E＝∠B，
∴△ABC和△DEF不一定全等，
故A符合题意；
B、∵∠A＝∠D，AB＝DE，∠E＝∠B，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
故B不符合题意；
C、∵EC＝BF，
∴EC+CF＝BF+CF，
∴EF＝BC，
∵∠A＝∠D，∠E＝∠B，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
故C不符合题意；
D、∵∠A＝∠D，∠E＝∠B，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
5．（3分）正多边形的一个外角的度数为72°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．
【解答】解：∵正多边形的外角和是360°，
∴360÷72＝5，那么它的边数是5．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角．根据正多边形的外角和求多边形的边数是常用的一种方法，需要熟记．
6．（3分）如图是折叠凳及其侧面示意图，若AC＝BC＝18cm，则折叠凳的宽AB可能为（ ）
A．70cmB．55cmC．40cmD．25cm
【分析】根据三角形的三边关系即可得到结论．
【解答】解：∵AC＝BC＝18cm，
∴0＜AB＜36，
∴折叠凳的宽AB可能为25cm，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
7．（3分）下列各式从左到右变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用分式的性质逐项判断即可．
【解答】解：＝，则A不符合题意；
与不一定相等，则B不符合题意；
＝＝，则C符合题意；
＝，则D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查分式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC内一点，点D，E，F分别是点P关于直线AC，AB，BC的对称点，给出下面三个结论：
①AE＝AD；
②∠DPE＝90°；
③∠ADC+∠BFC+∠BEA＝270°．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【分析】连接AP，CP，BP，根据轴对称的性质得AC，AB，BC分别为PD，PE，PF的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质得AD＝AP，AE＝AP，CD＝CP，即可判断①③，根据∠BAC＝90°，可得四边形AMPN为矩形，即可判断②．
【解答】解：如图，连接AP，CP，BP，
∵点D，E，F分别是点P关于直线AC，AB，BC的对称点，
∴AC，AB，BC分别为PD，PE，PF的垂直平分线，
∴AD＝AP，AE＝AP，
∴AE＝AD，故①正确；
∵AC，AB分别为PD，PE的垂直平分线，∠BAC＝90°，
∴四边形AMPN为矩形，
∴∠DPE＝90°，故②正确；
∵AC为PD的垂直平分线，
∴AD＝AP，CD＝CP，
∴∠ADP＝∠APD，∠CDP＝∠CPD，
∴∠ADC＝∠APC，
同理得∠BFC＝∠BPC，∠BEA＝∠APB，
∵∠APC+∠BPC+∠APB＝360°，
∴∠ADC+∠BFC+∠BEA＝360°，故③错误；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≠1 ．
【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴x﹣1≠0，
解得x≠1．
故答案为：x≠1．
【点评】本题考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键．
10．（2分）分解因式：a3﹣ab2＝ a（a+b）（a﹣b） ．
【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：a3﹣ab2
＝a（a2﹣b2）
＝a（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a（a+b）（a﹣b）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
11．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣1）关于x轴的对称点A′的坐标为 （﹣1，1） ．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可以直接得到答案．
【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣1）关于x轴的对称点A′的坐标为（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握坐标的变化规律：（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；（3）关于原点对称点的坐标特点：横、纵坐标均互为相反数．
12．（2分）计算：（6a3﹣9a2）÷3a2＝ 2a﹣3 ．
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（6a3﹣9a2）÷3a2＝2a﹣3．
故答案为：2a﹣3．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
13．（2分）已知一个等腰三角形的一个内角为40°，则它的顶角等于 40°或100° ．
【分析】分两种情况：当40°的内角为顶角时；当40°的角为底角时，利用三角形的内角和结合等腰三角形的性质可计算求解．
【解答】解：当40° 的内角为顶角时，这个等腰三角形的顶角为40°；
当40°的角为底角时，则该等腰三角形的另一底角为40°，
∴顶角为：180°﹣40°﹣40°＝100°，
故答案为40°或100°．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，注意分类讨论．
14．（2分）如图，在△ABC中，DE是BC边的垂直平分线．若AB＝8，AC＝13，则△ABD的周长为 21 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是BC边的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+AD+DB＝AB+AD+DC＝AB+AC，
∵AB＝8，AC＝13，
∴△ABD的周长＝8+13＝21，
故答案为：21．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
15．（2分）把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若∠BAC＝35°，则∠CBD＝ 20 °．
【分析】由折叠可知∠BAE＝∠BAC＝35°，∠C＝∠E＝90°，由长方形形的性质可得FB∥AE，再利用平行线的性质可得∠FBA＝∠BAE，利用直角三角形两锐角互余可求出∠CBA的度数，进而求出∠CBD的度数．
【解答】解：如图，由折叠可知∠BAE＝∠BAC＝35°，∠C＝∠E＝90°，
∴∠CBA＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°，
又∵BF∥AE，
∴∠DBA＝∠BAE＝35°，
∴∠CBD＝∠CBA﹣∠DBA＝55°﹣∠35°＝20°．
故答案为：20．
【点评】此题主要考查的是折叠角的问题以及平行线的性质，解决此题的关键折叠时折痕是角平分线，同时正确利用平行线的性质．
16．（2分）请阅读关于“乐数”的知识卡片，并回答问题：
（1）判断： 不是 （填“是”或“不是”）“乐数”；
（2）写出一个分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数” ．
【分析】（1）依据“乐数”的定义进行判断即可．
（2）按题意写出符合要求的“乐数”即可．
【解答】解：（1）由题知，
去掉分数的分子和分母中的3，
所得到的分数为，
而，且，
所以不是“乐数”．
故答案为：不是．
（2）因为分数的分子的个位数字与分母的十位数字同为9，
则当分子为19时，
因为分母的十位数字为9，
所以19×5＝95，且．
而把分数的分子和分母中的9去掉后，得到的分数为，符合要求．
故答案为：．
【点评】本题考查整式的加减，理解“乐数”的定义是解题的关键．
三、解答题（本题共60分，第17题5分，第18题10分，第19-23题每题5分，第24题6分，第25、26题每题7分）
17．（5分）计算：．
【分析】先根据有理数乘方的法则、绝对值的性质、零指数幂及负整数指数幂的运算法则分别计算出各数，再根据有理数的加减法则进行计算即可．
【解答】解：
＝9﹣1+2+2
＝12．
【点评】本题考查的是负整数指数幂、有理数乘方的法则、绝对值的性质、零指数幂的运算法则，熟知以上知识是解题的关键．
18．（10分）（1）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x﹣2）+（x+3）2的值．
（2）计算：．
【分析】（1）由x2+2x﹣2＝0，得x2+2x＝2，把所求式子化简后再代入即可；
（2）先算括号内的，把除化为乘，再约分即可．
【解答】解：（1）∵x2+2x﹣2＝0，
∴x2+2x＝2，
∴x（x﹣2）+（x+3）2
＝x2﹣2x+x2+6x+9
＝2（x2+2x）+9
＝2×2+9
＝4+9
＝13；
（2）原式＝•
＝•
＝．
【点评】本题考查整式化简求值和分式的化简，解题的关键是掌握整式，分式的相关运算法则．
19．（5分）小明用自制工具测量花瓶内底的宽．他将两根木条AC，BD的中点连在一起（即AO＝CO，BO＝DO），如图所示放入花瓶内底．此时，只需测量点 D 与点 C 之间的距离，即为该花瓶内底的宽，请证明你的结论．
【分析】首先根据题意可得AO＝CO，DO＝BO，再加上对顶角相等可得△DCO≌△BAO，根据全等三角形的性质可得AB＝CD．
【解答】解：在△DCO和△BAO中，
，
∴△DCO≌△BAO（SAS），
∴AB＝CD，
故只需测量点D与点C之间的距离，即为该花瓶内底的宽．
故答案为：D，C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形对应边相等．
20．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．在线段AC上求作一点D．使得．
小明发现作∠ABC的平分线交AC于点D，点D即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依小明的思路作出点D（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵∠A＝30°，∠C＝90°，
∴∠ABC＝ 60 °．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝，
∴∠ABD＝∠A．
∴AD＝ BD ．
在 Rt△BCD中，∠CBD＝30°，
∴（ 30度所对的直角边是斜边的一半 ）（填推理依据）．
∴．
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可．
（2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质填空即可．
【解答】（1）解：如图，点D即为所求．
（2）证明：∵∠A＝30°，∠C＝90°，
∴∠ABC＝60°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝，
∴∠ABD＝∠A．
∴AD＝BD．
在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，
∴（30度所对的直角边是斜边的一半）．
∴．
故答案为：60；BD；30度所对的直角边是斜边的一半．
【点评】本题考查作图—复杂作图、含30度角的直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（5分）如图所示的4×4网格是正方形网格，顶点是网格线交点的三角形称为格点三角形．如图1，△ABC为格点三角形．
（1）∠ABC＝ 90 °；
（2）在图2和图3中分别画出一个以点C1，C2为顶点，与△ABC 全等，且位置互不相同的格点三角形．
【分析】（1）由勾股定理逆定理即可判断△ABC是直角三角形，从而得到答案；
（2）按照条件作出三角形即可．
【解答】解：（1）由图可知，AB2＝12+22＝5，BC2＝12+22＝5，AC2＝12+32＝10，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°；
故答案为：90；
（2）如图：
△A1B1C1，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与涉及作图，解题的关键是掌握勾股定理逆定理和全等三角形判定定理．
22．（5分）列方程解应用题：
无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？
【分析】设1名快递员平均每天可配送包裹x件，则1辆无人配送车平均每天可配送包裹5x件，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合“要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设1名快递员平均每天可配送包裹x件，则1辆无人配送车平均每天可配送包裹5x件，
根据题意得：﹣＝2，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是所列方程的解，且符合题意．
答：1名快递员平均每天可配送包裹150件．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23．（5分）如图，四边形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC 于点F，交CD于点E，连接EA，EA平分∠DEF．
（1）求证：AF＝AD；
（2）若BF＝7，DE＝3，求CE的长．
【分析】（1）证出∠AED＝∠AEF，由角平分线的性质可得出结论；
（2）证明Rt△ABF≌△RtACD（HL），由全等三角形的性质可得出BF＝CD＝7，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠D＝90°，
∴AD⊥DE，
∵EA平分∠DEF，
∴∠EAD＝∠EAF，
∴∠AED＝∠AEF，
又∵AF⊥EF，
∴AF＝AD；
（2）解：在Rt△ABF和△RtACD中，
，
∴Rt△ABF≌△RtACD（HL），
∴BF＝CD＝7，
∵DE＝3，
∴CE＝CD﹣DE＝7﹣3＝4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（6分）小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为．利用此净水装置，小明进行了进一步的探究：
现有杂质含量为1的水．
（1）用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为 ；
（2）小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示：
①请将表格中方案C的数据填写完整；
②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？
（3）当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为 3a （用含a的式子表示）．
【分析】（1）根据水中的杂质含量即可求解；
（2）①同样根据水中的杂质含量即可求解；
②当第一次净水材料用量定为6a、5a、4a时，用三次最终过滤后的水中杂质含量相比较即可；
（3）将第一次净水材料用量定为6a、5a、4a时，4a的最终过滤效果最好，因此在将第一次净水材料用量定为6a、5a、4a、3a、2a、a时，发现将第一次净水材料用量定为5a与a、4a与2a时的过滤效果一样，因此将第一次净水材料用量定为3a与4a的过滤效果进行比较，可得3a的最终过滤效果最好．
【解答】解：（1）水中的杂质含量为，
∴现有杂质含量为1的水，用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为 ＝，
故答案为：．
（2）①方案C水中杂质含量：，第二次过滤后水中杂质含量：；
②﹣＝，
∵a＞0，
∴5a2＞0，（1+6a）（1+5a）（1+a）＞0
∴＞，
同理可得：＞，
∴＜＜，
∴方案C的最终过滤效果最好；
（3）将第一次净水材料用量定为3a时，第二次过滤后水中杂质含量为；
将第一次净水材料用量定为2a时，第二次过滤后水中杂质含量为，结果与将第一次净水材料用量定为4a时相同；
将第一次净水材料用量定为a时，第二次过滤后水中杂质含量为，结果与将第一次净水材料用量定为5a时相同；
∵在将第一次净水材料用量定为6a、5a、4a时，4a的最终过滤效果最好，
同理，可得﹣＜0，
∴将第一次净水材料用量定为3a时，其最终过滤效果最好，
∴为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为3a．
故答案为：3a．
【点评】本题考查的是代数式的相关知识，解题的关键是正确运用代数式的减法、乘法与加法运算．
25．（7分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，作直线AP，使得45°＜∠PAC＜90°．过点B作BD⊥AP于D，在DA的延长线上取点E，使DE＝BD．连接BE，CE．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠ABD＝α，求∠CBE（用含α的式子表示）；
（3）用等式表示线段AE，CE，DE之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）由题意画出图形即可；
（2）证出∠DBE＝∠DEB＝45°，由直角三角形的性质可得出答案；
（3）在AD延长线上取点F，使DF＝AD，连接BF，证明△BEF≌△BEC（SAS），由全等三角形的性质得出FE＝CE，则可得出结论．
【解答】解：（1）依题意补全图形如下：
（2）∵BD⊥AP于D，
∴∠BDE＝90°，
∵BD＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB＝45°，
∵∠ABD＝α，
∴∠ABE＝∠DBE﹣∠ABD＝45°﹣α．
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝45°+α；
（3）AE+CE＝2DE．
证明：如图，在AD延长线上取点F，使DF＝AD，连接BF，
∵BD⊥AP，AD＝DF，
∴BA＝BF．
∴∠FBD＝∠ABD＝α，
∵∠DBE＝45°，
∴∠EBF＝∠DBE+∠DBF＝45°+α，
∴∠EBF＝∠CBE，
∵AB＝BC，
∴BF＝BC，
∵BE＝BE，
∴△BEF≌△BEC（SAS），
∴FE＝CE，
∵AE＝DE﹣AD，CE＝FE＝DE+DF，AD＝DF，
∴AE+CE＝2DE．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过原点且经过第三、第一象限，l与x轴所夹锐角为n°．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为Q，若点Q的纵坐标为正数，且△MNQ为等边三角形，则称点P为M，N的n°点．
（1）如图1，若点M（2，0），N（4，0），点P为M，N的45°点，连接OP，OQ．
①∠POQ＝ 30 °；
②求点P的纵坐标；
（2）已知点M（m，0），N（m+t，0）．
①当t＝2时，点P为M，N的60°点，且点P的横坐标为﹣2，则m＝ 6 ；
②当m＝﹣2时，点P为M，N的30°点，且点P的横坐标为2，则t＝ 3或﹣6 ．
【分析】（1）①如图1，过点Q作QE⊥x轴于E，过点P作PF⊥y轴于F，根据定义：记点P关于直线l的对称点为Q，若点Q的纵坐标为正数，且△MNQ为等边三角形，则称点P为M，N的n°点．可知△MNQ为等边三角形，l与x轴所夹锐角为45°，则QM＝MN＝2，ME＝MN＝1，∠QMN＝60°，即可求得答案；
②先证明△POF≌△QOE（AAS），根据全等三角形的性质即可求得答案；
（2）①过点Q作QE⊥x轴于E，过点P作PF⊥y轴于F，作PK∥y轴交直线l于K，交x轴于T，连接KQ交x轴于W，连接PQ交直线l于L，根据定义可得QE＝，OE＝m+1，OP＝OQ，∠KOT＝∠LOM＝60°，P、Q关于直线l对称，再由勾股定理即可求得答案；
②分两种情况：t＞0或t＜0，分别画出图象，结合定义即可求得答案．
【解答】解：（1）①如图1，过点Q作QE⊥x轴于E，过点P作PF⊥y轴于F，
∵M（2，0），N（4，0），
∴MN＝2，OM＝2，
∵△MNQ为等边三角形，QE⊥MN，
∴QM＝MN＝2，ME＝MN＝1，∠QMN＝60°，
∴QE＝＝＝，OE＝OM+ME＝2+1＝3，
∵OM＝QM，
∴∠QOM＝∠OQM＝30°，
∵点P为M，N的45°点，
∴l与x轴所夹锐角为45°，
∵点P关于直线l的对称点为Q，
∴∠POQ＝2×（45°﹣30°）＝30°，OP＝OQ，∠POF＝∠QOE＝30°，
故答案为：30．
②在△POF和△QOE中，
，
∴△POF≌△QOE（AAS），
∴OF＝OE＝3，PF＝QE＝，
∴P（，3）；
（2）①∵M（m，0），N（m+t，0），
∴MN＝m+t﹣m＝t，
∴当t＝2时，MN＝2，
如图2，过点Q作QE⊥x轴于E，过点P作PF⊥y轴于F，作PK∥y轴交直线l于K，交x轴于T，连接KQ交x轴于W，连接PQ交直线l于L，
∵点P为M，N的60°点，
∴QE＝，OE＝m+1，OP＝OQ，∠KOT＝∠LOM＝60°，
∴∠PKO＝30°，
∵P、Q关于直线l对称，
∴PQ⊥l，PK＝QK，∠QKL＝∠PKL＝30°，
∴OK＝4，
∵∠OWK＝∠KOT﹣∠QKL＝60°﹣30°＝30°，
∴∠OWK＝∠QKL，
∴OW＝OK＝4，
∴WE＝OE﹣OW＝m+1﹣4＝m﹣3，
在Rt△WQE中，∵∠QWE＝∠OWK＝30°，QE⊥MN，
∴WQ＝2QE＝2，
∴WE＝＝＝3，
∴m﹣3＝3，
∴m＝6，
故答案为：6．
②∵m＝﹣2，
∴M（﹣2，0），
如图，分两种情况：当t＞0时，点N1在点M的右侧，
∵x＝2与l的夹角为60°，
∴x＝2关于l的对称线和l的夹角也为60°，
∴∠HTK＝60°，
∴△TOK是等腰三角形，
∴HK＝OH＝2，
∴∠Q1KM＝30°，
∵∠Q1MK＝60°，
∴Q1M⊥Q1K，
∴MK＝2Q1M，即6＝2t，
∴t＝3；
当t＜0时，点N2在点M的左侧，
同理可得：KN2＝2Q2N2，即6﹣t＝﹣2t，
∴t＝﹣6；
综上所述，t＝3或﹣6，
故答案为：3或﹣6．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理，一次函数的图象和性质等，理解并运用新定义是解题关键．乐数
我们将同时满足下列条件的分数称为“乐数”
a．分子和分母均为正整数；
b．分子小于分母；
c．分子、分母均为两位数，且分子的个位数字与分母的十位数字相同；
d．去掉分子的个位数字与分母的十位数字后，得到的分数与原来的分数相等．
例如：
去掉相同的数字6之后，得到的分数恰好与原来的分数相等，则是一个“乐数“．
方案编号
第一次过滤用净水材料的单位量
水中杂质含量
第二次过滤用净水材料的单位量
第二次过滤后水中杂质含量
A
6a
/
/
B
5a
a
C
4a
2a
乐数
我们将同时满足下列条件的分数称为“乐数”
a．分子和分母均为正整数；
b．分子小于分母；
c．分子、分母均为两位数，且分子的个位数字与分母的十位数字相同；
d．去掉分子的个位数字与分母的十位数字后，得到的分数与原来的分数相等．
例如：
去掉相同的数字6之后，得到的分数恰好与原来的分数相等，则是一个“乐数“．
方案编号
第一次过滤用净水材料的单位量
水中杂质含量
第二次过滤用净水材料的单位量
第二次过滤后水中杂质含量
A
6a
/
/
B
5a
a
C
4a
2a