2022-2023学年北京市昌平区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市昌平区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）36的算术平方根是（ ）
A．±6B．6C．36D．±36
2．（2分）如果分式有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x≠2C．x≠﹣2D．x≠0
3．（2分）北京故宫博物院建立于1925年10月10日，位于北京故宫紫禁城内，是一所综合性博物馆，也是中国最大的古代文化艺术博物馆．下面图片中展示的都是故宫中的藏品，其中不是轴对称图形的为（ ）
A．白玉云纹环B．青玉高足杯
C．越窑青釉双系执壶D．邢窑白釉瓶
4．（2分）一个三角形两边长分别为4cm和6cm，第三边长可能为（ ）
A．2cmB．4cmC．10cmD．12cm
5．（2分）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2分）如图，将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（ ）
A．120°B．105°C．75°D．45°
7．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．现将△ABC按如图那样折叠，使点C落在AB上的点D处，折痕为BE，则DE的长为（ ）
A．3B．4C．6D．
8．（2分）如图，△ABC和△CED为直角三角形，∠B＝∠E＝90°，AC＝CD且AC⊥CD，则下列说法不正确的是（ ）
A．∠CAD＝∠CDAB．AD＝AB+DE
C．△ABC≌△CEDD．∠BAC+∠CDE＝90°
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
10．（2分）约分：
（1）＝ ；
（2）＝ ．
11．（2分）等腰三角形的顶角是80°，则它的底角的度数为 度．
12．（2分）如图，点C是线段AB的中点，∠DCA＝∠EBC．请你添加一个条件，使△DAC≌△ECB．你添加的条件是 .（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）
13．（2分）若a和b为两个连续整数，且a＜＜b，那么a＝ ，b＝ ．
14．（2分）为了宣传某学校初二年级学生中的优秀典型，学校团委组成了宣讲团，成员为初二年级六个班的宣传委员，包括2名男生和4名女生，利用每天的早广播时间随机抽取一名宣讲团成员作为广播员，开展主题宣传活动．
（1）“随机抽取1人，初二（1）班的宣传委员恰好被抽中”是 事件；
A．不可能
B．必然
C．随机
（2）广播员恰好是男生的可能性是 ．
15．（2分）如图是用直尺和圆规作∠AOB的平分线，具体作法：
①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D；
②分别以点C、D为圆心，以大于CD的同样长为半径作弧，两弧交于点E；
③作射线OE．
所以射线OE就是∠AOB的平分线．
这种作图方法之所以正确，那是因为我们可以证明△COE≌△DOE，其证明依据是 ．
16．（2分）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）于2021年7月在中国上海举行，本次大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．
（1）八进制数3746换算成十进制数是 ；
（2）小华设计了一个n进制数2004，换算成十进制数是690，则n的值为 ．
三、解答题（本题共68分，17-22题每小题5分，23-26题每小题5分，27、28题每小题5分）
17．（5分）计算：．
18．（5分）计算：．
19．（5分）某学生在化简时出现了错误，其解答过程如下：
解：原式＝（第一步）
＝（第二步）
＝（第三步）
＝（第四步）
（1）该生的解答过程是从第 步开始出现错误的；
（2）请你写出此题的正确解答过程．
20．（5分）已知：如图，在△ABC中，点D为BC延长线上一点，CD＝AC，过点D作DE∥AC，且DE＝BC．求证：∠DCE＝∠A．
21．（5分）解方程：．
22．（5分）先化简，再求值：，其中．
23．（6分）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
24．（6分）如图所示的正方形网格中（每个小正方形边长为1），网格线的交点称为格点，已知点A、B在格点上．
（1）AB的长为 ；
（2）在网格中找到一个格点C，使△ABC是直角三角形，三边边长互不相等且都是无理数，在网格中画出△ABC并求出它的面积．
25．（6分）2022年北京中考体育考试进行改革，现初二、初一考生，中考体育分数50分，包含过程性考核．八年级第一学期体质健康测试以及八年级第二学期的体育与健康知识考核，共计20分．为了提高学生体育锻炼的意识和能力、丰富学生体育锻炼的内容，学校准备购买一批体育用品．在购买跳绳时，甲种跳绳比乙种跳绳的单价低5元，用2250元购买甲种跳绳与用3000元购买乙种跳绳的数量相同，求甲、乙两种跳绳的单价各是多少元？
26．（6分）若两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，则这两条线段称为这个三角形的三分线．
（1）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，图1中BD，DE将△ABC分成了三个等腰三角形，所以BD，DE是△ABC的三分线．
请在图2和图3中分别画出两条三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出两种不同的分法）．
（2）如图4，△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，请在图中画出两条三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种分法即可）．
27．（7分）在等边△ABC中，点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ．
（1）若∠BAP＝20°，则∠AQB＝ °；
（2）在图1中，求证：BP＝CQ；
（3）点M在边AC上，CM＝CQ，点D为AQ的中点，连接MD并延长交AB于点N，连接PM，PN．
①依题意将图2补全；
②猜想△PMN的形状，并证明．
28．（7分）【阅读学习】
如果平面内一点到三角形的三个顶点的距离中，最长距离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的勾股点，如图1，平面内有一点P到△ABC的三个顶点的距离分别为PA、PB、PC，PA＝3，PB＝4，PC＝5，可知PC2＝PA2+PB2，所以点P就是△ABC的勾股点．
（1）如图2，在3×3的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点在格点（小正方形的顶点）上，P1，P2，P3三个点中， 是△ABC的勾股点；
（2）如图3，△ABC为等边三角形，过点A作AB的垂线，点D在该垂线上，连接CD，以CD为边在其右侧作等边△CDE，连接AE，BD．
①求证：△ACE≌△BCD；
②判断点A是否为△CDE的勾股点，并说明理由；
③若AD＝，AE＝，直接写出等边△CDE的边长： ．
2022-2023学年北京市昌平区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16分，每题2分）
1．（2分）36的算术平方根是（ ）
A．±6B．6C．36D．±36
【分析】直接利用算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，得出答案．
【解答】解：36的算术平方根是：＝6．
故选：B．
【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．
2．（2分）如果分式有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x≠2C．x≠﹣2D．x≠0
【分析】根据分式有意义的条件解答即可．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣2≠0，解得x≠2．
故选：B．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
3．（2分）北京故宫博物院建立于1925年10月10日，位于北京故宫紫禁城内，是一所综合性博物馆，也是中国最大的古代文化艺术博物馆．下面图片中展示的都是故宫中的藏品，其中不是轴对称图形的为（ ）
A．白玉云纹环B．青玉高足杯
C．越窑青釉双系执壶D．邢窑白釉瓶
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．（2分）一个三角形两边长分别为4cm和6cm，第三边长可能为（ ）
A．2cmB．4cmC．10cmD．12cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求得第三边的取值范围．
【解答】解：设第三边为acm，根据三角形的三边关系可得：6﹣4＜a＜6+4，
即：2＜a＜10，
比对选项，只有B选项符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
5．（2分）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：A.＝2，因此选项A不符合题意；
B.＝，因此选项B不符合题意；
C.是最简二次根式，因此选项C符合题意；
D.＝2，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查最简二次根式，掌握“被开方数是整数或整式，且不含有能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式”是判断的关键．
6．（2分）如图，将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（ ）
A．120°B．105°C．75°D．45°
【分析】先求出∠2，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：如图，∠2＝90°﹣45°＝45°，
由三角形的外角性质得，∠1＝∠2+60°＝45°+60°＝105°．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，解题的关键是熟记性质．
7．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．现将△ABC按如图那样折叠，使点C落在AB上的点D处，折痕为BE，则DE的长为（ ）
A．3B．4C．6D．
【分析】由勾股定理求得AB＝10，由折叠得DE＝CE，再根据AB•DE＝BC•AE＝S△ABE，得×10DE＝×6（8﹣DE），即可求得DE＝3．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，BC⊥AE，
由折叠得DE＝CE，∠BDE＝∠C＝90°，
∴DE⊥AB，
∵AB•DE＝BC•AE＝S△ABE，且AE＝8﹣CE＝8﹣DE，
∴×10DE＝×6（8﹣DE），
∴DE＝3，
故选：A．
【点评】此题重点考查轴对称的性质、勾股定理的应用、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，求得AB＝10并且列出等式×10DE＝×6（8﹣DE）是解题的关键．
8．（2分）如图，△ABC和△CED为直角三角形，∠B＝∠E＝90°，AC＝CD且AC⊥CD，则下列说法不正确的是（ ）
A．∠CAD＝∠CDAB．AD＝AB+DE
C．△ABC≌△CEDD．∠BAC+∠CDE＝90°
【分析】根据等腰三角形的性质可对A选项进行判断；利用等角的余角相等∠CAB＝∠DCE，则∠BAC+∠CDE＝90°，则可对D选项进行判断；接着利用“AAS”判断△ABC≌△CED，则可对C选项进行判断；根据全等三角形的性质得到AB＝CE，BC＝DE，则BE＝AB+DE，于是可对B选项进行判断．
【解答】解：∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA，所以A选项不符合题意；
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝90°，
∵∠ACB+∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵∠CDE+∠DCE＝90°，
∴∠BAC+∠CDE＝90°，所以D选项不符合题意；
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），所以C选项不符合题意；
∴AB＝CE，BC＝DE，
∴BE＝BC+CE＝AB+DE，
而AD＞BE，所以B选项符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，余角的性质，证明△ABC≌△CED是解决问题的关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
【解答】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查二次根式的意义，只需使被开方数大于或等于0即可．
10．（2分）约分：
（1）＝ ；
（2）＝ ．
【分析】（1）直接利用分式的性质化简得出答案；
（2）直接将分式的分母分解因式，进而化简得出答案．
【解答】解：（1）＝；
（2）＝＝．
故答案为：（1）；（2）．
【点评】此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质是解题关键．
11．（2分）等腰三角形的顶角是80°，则它的底角的度数为 50 度．
【分析】根据等腰三角形两底角相等即可得解．
【解答】解：∵等腰三角形的顶角为80°，
∴它的底角度数为（180°﹣80°）＝50°．
故答案为：50．
【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，是基础题．
12．（2分）如图，点C是线段AB的中点，∠DCA＝∠EBC．请你添加一个条件，使△DAC≌△ECB．你添加的条件是 DC＝EC（答案不唯一） .（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）
【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【解答】解：添加的条件是DC＝EC，
理由是：∵点C是线段AB的中点，
∴AC＝CB，
在△DAC和△ECB中，
，
∴△DAC≌△ECB（SAS），
故答案为：DC＝EC（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
13．（2分）若a和b为两个连续整数，且a＜＜b，那么a＝ 3 ，b＝ 4 ．
【分析】根据完全平方数，进行计算即可解答．
【解答】解：∵9＜10＜16，
∴3＜＜4，
∵a和b为两个连续整数，且a＜＜b，
∴a＝3，b＝4，
故答案为：3，4．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．
14．（2分）为了宣传某学校初二年级学生中的优秀典型，学校团委组成了宣讲团，成员为初二年级六个班的宣传委员，包括2名男生和4名女生，利用每天的早广播时间随机抽取一名宣讲团成员作为广播员，开展主题宣传活动．
（1）“随机抽取1人，初二（1）班的宣传委员恰好被抽中”是 C 事件；
A．不可能
B．必然
C．随机
（2）广播员恰好是男生的可能性是 ．
【分析】（1）根据随机事件的定义即可判断；
（2）用男生的人数除以总人数即可．
【解答】解：（1）“随机抽取1人，初二（1）班的宣传委员恰好被抽中”是随机事件；
故选：C；
（2）∵初二年级六个班的宣传委员，包括2名男生和4名女生，
∴广播员恰好是男生的可能性是＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了随机事件，基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
15．（2分）如图是用直尺和圆规作∠AOB的平分线，具体作法：
①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D；
②分别以点C、D为圆心，以大于CD的同样长为半径作弧，两弧交于点E；
③作射线OE．
所以射线OE就是∠AOB的平分线．
这种作图方法之所以正确，那是因为我们可以证明△COE≌△DOE，其证明依据是 SSS ．
【分析】利用基本作图得到OC＝OD，CE＝DE，加上OE为公共边，则根据“SSS”可判断△COE≌△DOE，于是得到∠COE＝∠DOE．
【解答】解：由作法得OC＝OD，CE＝DE，
而OE为公共边，
所以△COE≌△DOE（SSS），
所以∠COE＝∠DOE，
即射线OE就是∠AOB的平分线．
故答案为：SSS．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质．
16．（2分）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）于2021年7月在中国上海举行，本次大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．
（1）八进制数3746换算成十进制数是 2022 ；
（2）小华设计了一个n进制数2004，换算成十进制数是690，则n的值为 7 ．
【分析】（1）根据题意，从个位数字起，将二进制的每一位数分别乘以80，81，82，83，再把所得的结果相加即可；
（2）根据n进制数和十进制数的计算方法得到关于n的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）3746＝3×83+7×82+4×81+6×80
＝1536+448+32+6
＝2022．
故答案为：2022；
（2）依题意有：2×n3+0×n2+0×n1+4×n0＝690，
解得n＝7．
∴n的值为7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握题意找到进制转化的方法是关键．
三、解答题（本题共68分，17-22题每小题5分，23-26题每小题5分，27、28题每小题5分）
17．（5分）计算：．
【分析】先算乘除，再算减法即可．
【解答】解：原式＝4﹣2
＝2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
18．（5分）计算：．
【分析】先利用二次根式的性质与平方差公式计算，再进行加减运算即可．
【解答】解：原式＝5+2﹣1
＝6．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
19．（5分）某学生在化简时出现了错误，其解答过程如下：
解：原式＝（第一步）
＝（第二步）
＝（第三步）
＝（第四步）
（1）该生的解答过程是从第 二 步开始出现错误的；
（2）请你写出此题的正确解答过程．
【分析】（1）利用异分母分式加减法法则，即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
【解答】解：（1）该生的解答过程是从第二步开始出现错误的，
故答案为：二；
（2）正确解答过程如下：
＝
＝•
＝•
＝﹣．
【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键．
20．（5分）已知：如图，在△ABC中，点D为BC延长线上一点，CD＝AC，过点D作DE∥AC，且DE＝BC．求证：∠DCE＝∠A．
【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：∵DE∥AC，
∴∠ACB＝∠D，
在△ABC与△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（SAS），
∴∠DCE＝∠A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
21．（5分）解方程：．
【分析】方程两边都乘x﹣2得出2x+5＝x﹣2，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：，
+＝1，
方程两边都乘x﹣2，得2x+5＝x﹣2，
解得：x＝﹣7，
检验：当x＝﹣7时，x﹣2≠0，
所以x＝﹣7是原方程的解，
即原方程的解是x＝﹣7．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
22．（5分）先化简，再求值：，其中．
【分析】先根据分式的加法法则进行计算，同时把分式的除法变成乘法，根据分式的乘法法则进行计算，再根据分式的减法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
【解答】解：
＝﹣•
＝﹣
＝
＝﹣，
当时，原式＝﹣＝﹣．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
23．（6分）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
【分析】方法一：由平行线的性质得：∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，再由平角的定义可得∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°，从而可求解；
方法二：由平行线的性质得：∠A＝∠ACD，∠B+∠BCD＝180°，从而可求解．
【解答】证明：方法一：∵DE∥BC，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°，
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°；
方法二：∵CD∥AB，
∴∠A＝∠ACD，∠B+∠BCD＝180°，
∴∠B+∠ACB+∠A＝180°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
24．（6分）如图所示的正方形网格中（每个小正方形边长为1），网格线的交点称为格点，已知点A、B在格点上．
（1）AB的长为 ；
（2）在网格中找到一个格点C，使△ABC是直角三角形，三边边长互不相等且都是无理数，在网格中画出△ABC并求出它的面积．
【分析】（1）利用勾股定理求解；
（2）利用数形结合的思想画出图形即可．
【解答】解：（1）AB＝＝．
故答案为：．
（2）如图，△ABC即为所求．△ABC的面积＝2×3﹣×1×1﹣×2×2﹣×1×3＝2．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
25．（6分）2022年北京中考体育考试进行改革，现初二、初一考生，中考体育分数50分，包含过程性考核．八年级第一学期体质健康测试以及八年级第二学期的体育与健康知识考核，共计20分．为了提高学生体育锻炼的意识和能力、丰富学生体育锻炼的内容，学校准备购买一批体育用品．在购买跳绳时，甲种跳绳比乙种跳绳的单价低5元，用2250元购买甲种跳绳与用3000元购买乙种跳绳的数量相同，求甲、乙两种跳绳的单价各是多少元？
【分析】设甲种跳绳的单价为x元，则乙种跳绳的单价为（x+5）元，由题意：用2250元购买甲种跳绳与用3000元购买乙种跳绳的数量相同，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设甲种跳绳的单价为x元，则乙种跳绳的单价为（x+5）元，
由题意得：＝，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，
则x+5＝15+5＝20，
答：甲种跳绳的单价为15元，乙种跳绳的单价为20元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
26．（6分）若两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，则这两条线段称为这个三角形的三分线．
（1）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，图1中BD，DE将△ABC分成了三个等腰三角形，所以BD，DE是△ABC的三分线．
请在图2和图3中分别画出两条三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出两种不同的分法）．
（2）如图4，△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，请在图中画出两条三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种分法即可）．
【分析】（1）根据三分线的定义、等腰三角形的定义画出图形；
（2）根据三分线的定义、等腰三角形的定义画出图形；
【解答】解：（1）如图：
第一个图中：BD，CE即为所求，
第二个图中：BD，DE即为所求；
（2）如图：
AD，BE即为所求．
【点评】本题考查了作图，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．
27．（7分）在等边△ABC中，点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ．
（1）若∠BAP＝20°，则∠AQB＝ 80 °；
（2）在图1中，求证：BP＝CQ；
（3）点M在边AC上，CM＝CQ，点D为AQ的中点，连接MD并延长交AB于点N，连接PM，PN．
①依题意将图2补全；
②猜想△PMN的形状，并证明．
【分析】（1）在△ABP中，∠APQ＝∠B+∠BAP＝60°+20°＝80°，而AP＝AQ，即可求解；
（2）证明BH＝CH，PH＝QH，即可求解；
（3）①按要求补全图即可；
②证明△ADN≌△QDM（AAS）、△ANM≌△BPN（SAS），得到MN＝PN，进而求解．
【解答】（1）解：∵△ABC为等边三角形，
则∠BAC＝∠B＝∠C＝60°，
在△ABP中，∠APQ＝∠B+∠BAP＝60°+20°＝80°，
∵AP＝AQ，
∴∠AQB＝∠APQ＝80°，
故答案为：80；
（2）证明：过点A作AH⊥BC于点H，
∵△ABC为等边三角形，则BH＝CH，
同理可得：PH＝QH，
∴BP＝BH﹣PH＝CH﹣QH＝CQ；
（3）解：①连接MD并延长交AB于点N，连接PM，PN，补全图如下：
②△PMN为等边三角形，理由：
连接CM，∵CM＝CQ，∠C＝60°，
∴△CQM为等边三角形，则CQ＝CM＝QM，
∴∠B＝∠CQM＝60°，
∴QM∥AB，
∴∠MQD＝∠NAD，∠ADN＝∠DMQ，
∵D为AQ的中点，即AD＝QD，
∴△ADN≌△QDM（AAS），
∴AN＝QM，
设等边三角形ABC的边长为a，等边三角形CMN的边长为b，
则AN＝QM＝b，
由（2）知，则BP＝CQ＝b＝AN，
而BN＝AB﹣AN＝a﹣b，AM＝AC﹣CM＝a﹣b＝BN，
在△BNP和△MAN中，
，
∴△ANM≌△BPN（SAS），
∴MN＝PN，
同理可得：MN＝PM，
∴MN＝PN＝PM，
∴△PMN为等边三角形．
【点评】本题考查了三角形三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．
28．（7分）【阅读学习】
如果平面内一点到三角形的三个顶点的距离中，最长距离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的勾股点，如图1，平面内有一点P到△ABC的三个顶点的距离分别为PA、PB、PC，PA＝3，PB＝4，PC＝5，可知PC2＝PA2+PB2，所以点P就是△ABC的勾股点．
（1）如图2，在3×3的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点在格点（小正方形的顶点）上，P1，P2，P3三个点中， P2，P3 是△ABC的勾股点；
（2）如图3，△ABC为等边三角形，过点A作AB的垂线，点D在该垂线上，连接CD，以CD为边在其右侧作等边△CDE，连接AE，BD．
①求证：△ACE≌△BCD；
②判断点A是否为△CDE的勾股点，并说明理由；
③若AD＝，AE＝，直接写出等边△CDE的边长： 或 ．
【分析】（1）由题意得：P1A2＝1，P1B2＝4，P1C2＝13，P2A2＝1，P2B2＝2，P2C2＝1，P3A2＝5，P3B2＝4，P3C2＝1，进而求解；
（2）①证明∠BCD＝∠ACE，即可求解；
②在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝a2+AD2＝AC2+AD2，而BD＝AE，即可求解；
③当点D在点A上方右边时，∠HAC＝30°，求出CH＝AC＝，AH＝AC＝3，得到则DH＝AH﹣AD＝3﹣＝，即可求解；当点D在点A上方左边时，同理可解．
【解答】解：（1）由题意得：P1A2＝1，P1B2＝4，P1C2＝13，P2A2＝1，P2B2＝2，P2C2＝1，P3A2＝5，P3B2＝4，P3C2＝1，
则P2B2＝P2A2+P2C2；P3A2＝P3B2+P3C2，
∴P2，P3是勾股点，
故答案为：P2，P3；
（2）①∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝60°+∠ACD＝∠DCE+∠ACD＝∠ACE，
又∵AB＝BC，CD＝CE，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
②点A是否为△CDE的勾股点，理由：
设等边三角形ABC的为a，则AB＝BC＝AC＝a，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝a2+AD2＝AC2+AD2，
∵△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD＝AE，
即AE2＝AC2+AD2；
③由②知，AE2＝AB2+AD2，即（）2＝AB2+（）2，
解得：AB＝＝2＝AC，
当点D在点A上方右边时，
过点C作CH⊥AE于H，
∵∠HAC＝30°，
∴CH＝AC＝，AH＝AC＝3，
则DH＝AH﹣AD＝3﹣＝，
则CD＝＝＝；
∴等边△CDE的边长为．
当点D在点A上方左边时，
同理可得CD＝，
综上：等边△CDE的边长为或，
故答案为：或．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是对新定义概念的理解，以及用AC的代数式表示各线段的长．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．
已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
方法一
证明：如图，过点A作DE∥BC．
方法二
证明：如图，过点C作CD∥AB．
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．
已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
方法一
证明：如图，过点A作DE∥BC．
方法二
证明：如图，过点C作CD∥AB．