四川省射洪市2025_2026学年高一数学上学期12月期中试题含解析 (1)

这是一份四川省射洪市2025_2026学年高一数学上学期12月期中试题含解析 (1)，共17页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 函数 的图象大致为， 下列不等式成立的是，已知函数等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120 分钟 满分：150 分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
第 I 卷 选择题（共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 下列关系式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系进行判断即可.
【详解】 ，所以 A 错误；
集合 是点集，集合{2}数集，没有包含关系，故 B 错误；
是有理数集， ，所以 C 错误；
空集是任何集合的子集，所以 D 正确.
故选：D.
2. 命题“ ”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
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【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.
【详解】命题“ ”为存在量词命题，
其否定为： .
故选：C
3. 已知 p： ，q： ，则 p 是 q 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】解方程 和 ，根据充分条件、必要条件即可求解.
【详解】由 ，得 或 ，
由 ，得 或 ，
因为 或 成立推不出 或 成立，反之也不成立，
所以 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件.
故选：D
4. 若 为偶函数， 为奇函数，且 ，则 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性可得 ，即可求解 解析式，通过排除可得答案．
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【详解】解：由 得： ，即 ，
由 解得： ，由 ，排除 BC．
由指数函数的性质（指数爆炸性）排除 D．
故选：A
5. 函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性与正负值排除判定即可.
【详解】函数 ,
故函数是奇函数,图像关于原点对称，排除 C、D，
当 ，排除 B.
故选：A.
6. 下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数 的单调性即可判断 A；借助换底公式和均值不等式比较即可判断 B；利用 比
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较即可判断 C；利用 的单调性即可判断 D.
【详解】对于 A，因为 为减函数， ，所以 ，故 A 错误；
对于 B，因为 ， ，
即比较 与 的大小，
，
，
.
故 B 正确；
对于 C，因为 ，故 C 错误；
对于 D， 可以化为 ，由对数函数 单调递增可知，
因为 ，所以 ，故 D 错误.
故选：B.
7. 若函数 ，且当 时，不等式 恒成立，则实数
的取值集合是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合不等式恒成立和指数函数的性质分 与 2 的关系讨论可得.
【详解】由 可得 ，
则当 时，不等式 ，
当 时， ，此时 ，
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当 时， ，此时 ，即 ，
当 时， ，此时 ，即 .
综上，实数 的取值集合是 .
故选：D.
8. 若直角坐标平面内的两点 满足条件:① 都在函数 的图象上；② 关于原点对称.则
称点对 是函数 的一对“友好点对”(点对 与 看作同一对“友好点对”).已知函数
( 且 )，若此函数的“友好点对”有且只有一对，则 的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意求出当 时函数关于原点对称的函数，条件转化为函数 与
只有一个交点，作出两个函数的图象，利用数形结合结合对数函数的性质进行求解即
可．
【详解】解：当 时，函数 关于原点对称的函数为 ，即 ，
，
若此函数的“友好点对”有且只有一对，
则等价为函数 与 只有一个交点，
作出两个函数的图象如图，
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若 ，则 与 只有一个交点，满足条件，
当 时， ；
若 ，要使两个函数只有一个交点，则满足 （5） ，
即 得 ，得 或 ，
， ，
综上可得 的范围是 或 ，
即实数 的取值范围是 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，转化为函数相交是解决本题的关键，属于难题．
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分，有选错的得 0 分．
9. 已知实数 满足 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
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【解析】
【分析】根据给定条件，利用不等式性质，结合作差法、特例法比较大小即得.
【详解】对于 A，由 ，得 ，A 正确；
对于 B，由 ，得 ，所以 ，B 错误；
对于 C，由 ，得 ，所以 ，C 正确；
对于 D，当 时， ，D 错误.
故选：AC
10. 已知关于 的不等式 的解集是 ，其中 ，则下列结论中正确的是
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由韦达定理得根与系数的关系，对选项逐一判断即可得.
【详解】由题意可得 ，且 ，
则 ， ，即 ，故 A、B 正确；
由 ， ，故 ， ，
即 ， ，
又 ， ，故 ， ，故 C 错误；
，故 D 正确.
故选：ABD.
11. 已知函数 实数 满足 ，且 ，则（ ）
A.
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B.
C.
D. 函数 有 5 个互不相等的零点
【答案】ACD
【解析】
【分析】代入求值判断 A，画出函数图象，数形结合求出 的范围判断 B，结合函数的对称性及 的范围求
解 判 断 C， 根 据 将 问 题 转 化 为 函 数 的 图 象 分 别 与
交点个数之和，数形结合即可判断 D.
【详解】函数 ，所以 ，
所以 ，故 A 正确；
由实数 满足 ，知函数 图象与 有三个不同的交点，
作出函数 的图象，如图：
结合图象，可得 ，故选项 B 错误；
根据二次函数的对称性知， ，又 ，所以 ，
所以 ，故 C 正确；
，由题意 ，
所以函数 零点个数为三个方程 解的个数之和，
即函数 的图象分别与 ， ， 交点个数之和，
由 C 可知 ， ， ，结合图象可知，
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函数 图象与 有一个交点，函数 的图象与 有三个交点，
函数 的图象与 有一个交点，
所以函数 有 5 个互不相等的零点，故 D 正确.
故选：ACD
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的
零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
第 II 卷 非选择题（共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 求函数 的定义域______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数有意义，得 ，解对数不等式，即可求解.
【详解】要使原函数有意义，则 ，即 ，解得 或 ．
所以，函数 的定义域为 ．
故答案为：
13. 若 时， ，则 a 的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】通过分析函数 和 的图象关系，结合已知条件确定 的取值范围.
【详解】构造函数 和 ，若使 时， 成立，只需函数 的
图象在 图象下方，所以 .
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令 ，则 ，
所以 ，解得 .
故答案为： .
14. 已知函数 ， 的零点分别为 ， ，且 ， ，则
______；若 恒成立，则整数 的最大值为______.（参考数据： ，
， ， .）
【答案】 ①. 2 ②. 6
【解析】
【分析】将问题转化为以 与 图象的交点的横坐标为 ，由反比例函数、指数
函数与对数函数的关系可知函数 、 的图象关于 对称，作出图象，利用对
称性可得第一空答案；由零点存在定理可得 ，且 ，从而得
，即可得第二空答案.
【详解】解：令 ，由 ；令 ，则 ，
所以 与 图象的交点的横坐标即为两函数的零点.
又因为 ，其图象是将 的图象向右平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位得到的，
由反比例函数的性质可知曲线 的图象关于 对称，
又因为 的图象也关于 对称，
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如图所示：
当 ， 时，点 与点 关于 对称，
所以 ，
可得 ， ，
令 ，则 ，
因为 在 上均为单调递增函数，
所以 在 上为单调递增函数，
即 在 上单调递增，
由 ，
可得 ，
，
由零点存在定理可得 ，则 ，
且 ，
因为 恒成立，所以整数 的最大值为 .
故答案为：2；6.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是得出函数 、 的图象关于 对称并作出
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图象.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 （1）计算 ；
（2）计算 .
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）直接根据对数求值求解即可；
（2）利用指数的运算法则即可得解.
【详解】（1）
；
（2） .
16. 已知集合 .
（1）求集合 A；
（2）若集合 ，求实数 k 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数 的值域即可求解；
（2）解一元二次不等式，再根据补集交集运算求解即可.
【小问 1 详解】
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，所以 .
【小问 2 详解】
，所以 ，
，
即 ，又因为 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 .
17. 某路段需铺设防滑沥青，总长度为 ，设施工队每天铺设的长度为 ，每天的费用
为 万元，当 时， ，当 时， .
（1）求完成该路段的铺设工作的总费用 .（总费用=每天的费用 施工天数）
（2）当 为多少时，完成该路段的铺设工作的总费用最低？最低总费用是多少？
【答案】（1）
（2）当 时，总费用最低，最低总费用是 8 万元.
【解析】
【分析】（1）由题意得铺设完工所需时间为 天，根据题意分析得出函数解析式即可；
（2）根据（1）中函数的解析式利用函数单调性和基本不等式分析求解即可.
【小问 1 详解】
由题意，铺设完工所需时间为 天，
当 时， ,
当 时， ，
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所以 .
【小问 2 详解】
当 时， 是减函数，
所以当 时， ，
当 时， ，
当且仅当 时等号成立， ，
因为 ，所以当 时，总费用最低，最低总费用是 8 万元.
18. 已知函数 （a 为实数）是奇函数.
（1）求 a 的值；
（2）解不等式： ；
（3）若实数 时，恒有 ，求 t 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）结合指数运算，根据奇函数的定义列式求解；
（2）将不等式等价化简得 ，然后结合对数概念利用指数函数单调性解不等式即可；
（3）结合奇函数性质和单调性可得， ， ，进一步即可求解
【小问 1 详解】
由题意函数 是定义在 上的奇函数，所以 ，
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即 ，整理得 恒成立，即 ．
所以 ；
【小问 2 详解】
由（1）知 ，则 ，
所以 ，由函数单调递增得 ，所以原不等式的解集为 ；
【小问 3 详解】
，
因为 是奇函数，所以 ，
显然 的定义域为 ，
当 增大时， 增大，此时 减小， 也减小，此时 也减小，
所以 是 上的减函数，
所以由 ，可得 ，
由题意得 ， ，
所以 ， ，
由对勾函数性质，可知 在 上单调递减，
所以 ，即 的取值范围为 .
19. 已知函数 ，其中 .
（1）证明：函数 的图象是中心对称图形；
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（2）设 ，证明： ；
（3）令 ，若 ，使得 ，求 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）计算出函数定义域后，验证 是否为定值即可得；
（2）结合函数定义域，计算 大于 是否恒成立即可得；
（3）由题意可得 ，结合函数单调性可得 ，利用换元法与对勾函数性质可得
，解出即可得解.
【小问 1 详解】
由题意可得 ，即 ，即 ，
，
故 关于 中心对称；
【小问 2 详解】
当 时， ，
则 ，
故当 时， ；
【小问 3 详解】
当 时， 单调递减， 单调递增，
则 单调递减，又 关于 中心对称，故 在 上单调递减，
则 ，
当 ，令 ，则 ，
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由对勾函数性质可得函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又当 时， ，当 时， ，故 ，
则有 恒成立，即 ，故 .
【点睛】本题考查不等式的解法和函数恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理
能力，对于不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ，
（1）若 ， ，有 成立，故 ；
（2）若 ， ，有 成立，故 ；
（3）若 ， ，有 成立，故 ；
（4）若 ， ，有 ，则 的值域是 值域的子集.
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