寒假作业07 二次根式的乘除（巩固培优）八年级数学新教材北师大版+答案

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作业07 二次根式的乘除
一、二次根式的乘法
1. 二次根式的乘法法则
两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即a∙b=ab(a≥0，b≥0)．
例如：2∙32=2×32=64=8．
2. 二次根式的乘法法则的拓展
（1）二次根式的乘法公式可推广到多个二次根式相乘的运算，即a∙b∙c=abc(a≥0，b≥0，c≥0)．
（2）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数，即ma∙nb=mnab(a≥0，b≥0)．
二、积的算术平方根
1. 积的算术平方根等于积中各个因式算术平方根的积，即ab=a∙b(a≥0，b≥0)．
运用此公式时，被开方数必须能写成乘积的形式．
2. 该法则可以推广到多个非负数的积的算术平方根的运算，即abc=a∙b∙c(a≥0，b≥0，c≥0)．
3. 应用：化简二次根式，先将被开方数进行因数分解或因式分解，再利用ab=a∙b(a≥0，b≥0)和a2=a(a≥0)，将能开得尽方的因数或因式开到根号外．
三、二次根式的除法
1. 二次根式的除法法则
两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即ab=ab(a≥0，b>0)．
2. 二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，即a÷b÷c=a÷b÷c(a≥0，b>0，c>0)．
3. 二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则，把系数和被开方数分别相除作为积的因式，即ma÷nb=(m÷n)∙a÷b．
四、商的算术平方根
商的算术平方根等于商中各个因式算术平方根的商，即ab=ab(a≥0，b>0)．
五、最简二次根式
1. 被开方数不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数（或因式），分母中不含根号，这样的二次根式称为最简二次根式．
2. 化为最简二次根式的步骤
（1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解；
（2）将被开方数中能开尽的因数(或因式）进行开方；
（3）利用ab=ab(a≥0，b>0)，使被开方数中不含分母；
（4）分母有理化，化去分母中的根号；
（5）约分化简，整理成最简二次根式．
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
题型一 二次根式乘除成立的条件
1.能使等式xx−3=xx−3成立的条件是（ ）
A．x≥0 B．x≥3 C．x>3D．x>3或x0，解得：x>3．
故选：C．
题型二 最简二次根式
2.若最简二次根式n−12n+1与最简二次根式4n−m相等，则n= ．m= ．
【答案】 3 5
【解析】解：最简二次根式n−12n+1与最简二次根式4n−m相等，∴n−1=2，2n+1=4n−m
解得：n=3，m=5．
故答案为：3，5．
题型三 根号内、外的因式互移
3．把1−x1x−1根号外面的因式移到根号里面化简的结果是 ．
【答案】−x−1/−−1+x
【解析】解：∵x−1>0，∴1−x6+5，7−60，∴1a+1+a