1.1.1认识勾股定理 -课件-2025-2026学年2024北师大版数学八年级上册教学同步课件

幻灯片 1：封面课程标题：1.1.1 认识勾股定理副标题：2024 北师大版八年级数学授课人：[授课人姓名]幻灯片 2：学习目标通过数格子、测量等方法探索勾股定理，理解勾股定理反映的是直角三角形三边之间的数量关系。能够运用勾股定理进行简单的计算，解决实际问题。幻灯片 3：知识回顾三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的平面图形。三角形内角和：三角形的内角和是 180°。三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。直角三角形定义：有一个角是 90° 的三角形是直角三角形。直角三角形性质：直角三角形的两个锐角互余；两个锐角互余的三角形是直角三角形。幻灯片 4：情境导入展示图片：电线杆和钢索的图片。提出问题：由于安全问题，工人小高打算加一条钢索用来稳固电线杆。从电线杆离地面 8m 处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底 6m，那么工人小高应准备多长的钢索？引导思考：这个问题与直角三角形的三边有什么关系呢？我们今天就来探索一下直角三角形三边的奥秘。幻灯片 5：新知探究（测量法）探究活动：在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有什么样的关系？学生活动：分组进行测量，记录数据，并讨论三边平方的关系。教师引导：请同学们观察测量的数据，大胆猜测两直角边的平方和与斜边的平方之间的关系。结论猜想：两直角边的平方和等于斜边的平方。幻灯片 6：新知探究（数格子法 - 简单图形）展示图形：展示两个直角三角形，每个三角形的三边分别对应一个正方形，且正方形由小方格组成。问题引导：正方形 A、B、C 中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？三个正方形 A、B、C 的面积之间有什么关系？学生回答：左图中，正方形 A 含有 9 个小方格，面积是 9；正方形 B 含有 9 个小方格，面积是 9；正方形 C 含有 18 个小方格，面积是 18。右图中，正方形 D 含有 4 个小方格，面积是 4；正方形 E 含有 4 个小方格，面积是 4；正方形 F 含有 8 个小方格，面积是 8。发现 SA + SB = SC ，即两直角边对应的正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积。幻灯片 7：新知探究（数格子法 - 复杂图形）展示图形：展示另外两个直角三角形及对应的由小方格组成的正方形，其中斜边对应的正方形计算稍复杂。问题引导：对于这两个图形，正方形 A、B、C（或 D、E、F）中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？这里的三个正方形面积之间是否还满足前面发现的关系？计算方法讲解：对于较复杂的正方形 C（或 F），可以用 “割” 或 “补” 的方法计算面积。例如左图中，将正方形 C “割” 成四个直角边为整数的三角形和一个小正方形，计算可得 SC = 1/2×4×3×4 + 1×1 = 25 ；也可将 C “补” 成边长为 7 的正方形，再减去四个角上的三角形面积，即 SC = 7×7 - 1/2×4×3×4 = 25 。学生计算右图并得出结论。总结发现：经过计算，依然满足两直角边对应的正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积。幻灯片 8：勾股定理文字语言：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。符号语言：如果用 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a² + b² = c² 。强调要点：勾股定理只适用于直角三角形。应用时要明确哪条边是斜边。幻灯片 9：勾股定理的历史中国古代：我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。早在周朝时期，商高就提出了 “勾三股四弦五” 的说法，记载于《周髀算经》中，这是勾股定理的一个特例。国外：在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前 550 年左右发现的。但实际上，在更早的时候，其他一些文明也可能已经知道了这个定理的某些形式。幻灯片 10：解决情境问题回顾情境：回到电线杆和钢索的问题。分析解答：已知电线杆离地面高度（一条直角边）为 8m，地面固定点到电线杆底部距离（另一条直角边）为 6m，设钢索长度（斜边）为 x m。根据勾股定理 a² + b² = c² ，这里 a = 8，b = 6，所以 8² + 6² = x² ，即 64 + 36 = x² ，x² = 100，解得 x = 10（x＞0）。答案：工人小高应准备 10m 长的钢索。幻灯片 11：随堂练习 1题目：求下图中字母所代表的正方形的面积。展示两个图形，一个是已知两个正方形面积分别为 225 和 400，求第三个正方形 A 的面积；另一个是已知两个正方形面积分别为 81 和 225，求第三个正方形 B 的面积。分析解答：左图中，根据勾股定理，正方形 A 的面积等于另两个正方形面积之和，即 SA = 225 + 400 = 625 。右图中，正方形 B 的面积等于大正方形面积减去小正方形面积，即 SB = 225 - 81 = 144 。幻灯片 12：随堂练习 2题目：求下列直角三角形中未知边的长。展示两个直角三角形，一个直角边分别为 5 和 12，求斜边 x；另一个斜边为 25，一条直角边为 15，求另一条直角边 y。分析解答：第一个三角形，由勾股定理得 12² + 5² = x² ，即 x² = 144 + 25 = 169，因为 x＞0，所以 x = 13 。第二个三角形，由勾股定理得 15² + y² = 25² ，则 y² = 25² - 15² = 625 - 225 = 400，因为 y＞0，所以 y = 20 。幻灯片 13：课堂小结勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即 a² + b² = c² （a、b 为直角边，c 为斜边）。探索方法：通过测量法、数格子法等探索勾股定理。应用要点：应用勾股定理时要先确定直角三角形的三边，明确斜边，再进行计算。幻灯片 14：课后作业已知直角三角形的两条直角边分别为 3cm 和 4cm，求斜边的长度。在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a = 6，c = 10，求 b 的值。一个直角三角形的斜边为 13cm，一条直角边为 5cm，求这个直角三角形的面积。【2024新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 了解勾股定理的内容，理解并掌握直角三角形三边之间的数量关系.2. 能够运用勾股定理进行简单的计算.问题我们知道，任意三角形的三条边必须满足：三角形的两边之和大于第三边.对于一些特殊的三角形，是否还存在其他特殊的关系？思考从电线杆离地面8 m处向地面拉一根钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m，那么需要多长的钢索？为了解决这个问题，我们今天要研究直角三角形三边之间的数量关系.知识点1 探索勾股定理在直角三角形中，任意两条边确定了，另外一条边也就随之确定，三边之间存在着一种特定的数量关系.知识点1 勾股定理事实上，古人发现，直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系.思考 (1)在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形，分别测量它们的三条边长，并填入表中.看看三边长的平方之间有怎样的关系？知识点1 勾股定理3 54512136810可以发现直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.知识点1 勾股定理3 4 5 3²+4²=5²5 12 13 5²+12²=13²6 8 10 6²+8²=10²(2)如图，方格纸中每个小方格的边长均为1，直角三角形三边长的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗?知识点1 勾股定理观察图1,正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积.正方形B的面积是 个单位面积.正方形C的面积是 个单位面积.999知识点1 勾股定理割：分割为四个直角三角形和一个小正方形补：补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积(2)如图，方格纸中每个小方格的边长均为1，直角三角形三边长的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗?知识点1 勾股定理观察图1，正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积.正方形B的面积是 个单位面积.正方形C的面积是 个单位面积.99918该直角三角形三边长的平方分别是9,9,18，即9+9=18.知识点1 勾股定理如图2，正方形A，B，C的面积分别是4，4，8，所以该直角三角形三边长的平方分别是4，4，8，即4+4=8.这两个直角三角形的三边长均满足上面所猜想的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.(2)如图，方格纸中每个小方格的边长均为1，直角三角形三边长的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗?(3)图中的直角三角形是否也具有这样的关系?知识点1 勾股定理916259110上面所猜想的数量关系仍然成立.如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由.　知识点1 勾股定理上面所猜想的数量关系仍然成立.将该直角三角形放在方格中，一个方格的边长为0.2个单位长度，用同样的方法即可验证通过上面的活动，可以发现：直角三角形两直角边长度的平方和等于斜边长度的平方.知识点1 勾股定理较长的直角边较短的直角边斜边勾股弦我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.因此，人们把上面的结论称为勾股定理.勾股定理：直角三角形两直角边长度的平方和等于斜边长度的平方.如果a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2．几何语言：如图，在Rt△ABC中 ，∠C=90°，所以a2+b2=c2.知识点1 勾股定理例1 从电线杆离地面8 m处向地面拉一根钢索，如果这条钢索离地面的固定点距离电线杆底部6 m，那么需要多长的钢索？解：在Rt△ABC中，∠C=90°，根据勾股定理，得AC2+BC2=AB2,即62+82=AB2，所以AB=10 m.所以需要10 m长的钢索.知识点1 勾股定理跟踪训练 1.求下列直角三角形中未知边的长.知识点1 勾股定理解：(1)由勾股定理，得 82+ x2=172， 即x2=172-82， x=15.(2)由勾股定理，得 52+ 122= x2， 即x2=52+122， x=13.(1)(2)1. 求图中字母所代表的正方形的面积. A 2.小明家买了一台 55 in的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有 121.5 cm长和 68.5 cm宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗?你能解释这是为什么吗?(in表示英寸，1 in=25.4 mm)解：不同意.电视机屏幕的对角线长为55 in=139.7 cm，因为121.52+68.52=19 454. 5，139.72=19 516.09，所以121.52+68.52≈139.72，因为测量过程中一般存在误差，所以售货员没搞错.3. 如图所示，在锐角三角形ABC中，AB=30，AC=25，BC边上的高AD=24.求 BC 的长.解：因为AD⊥BC，所以∠ADB=∠ADC=90°.在RtΔABD中，∠ADB=90°，由勾股定理，得BD2=AB2-AD2=302-242=182，所以BD=18.在RtΔACD中，∠ADC=90°，由勾股定理，得CD2=AC2-AD2=252-242=72，所以CD=7.所以BC=BD+CD=18+7=25.知识点1 勾股定理 D  返回2.［2025佛山月考］在一个直角三角形中，若一条直角边长是3，另一条直角边长是4，则斜边长的平方是( )DA.5B.9C.16D.25 返回 （第3题） 17 8 7 返回（第4题）   返回（第5题） 13 返回（第6题） 8 返回       返回知识点2 勾股定理与图形的面积（第8题） CA.15B.353C.225D.17 返回（第9题） CA.4B.6C.8D.12 返回10.如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是____。25 返回（第11题） BA.10B.13C.8D.11 返回直角三角形两直角边长度的平方和等于斜边长度的平方.如果用a，b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度，那么a2+b2=c2.利用勾股定理进行简单计算.探索勾股定理必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！