甘肃省武威三中教育集团联片教研2024—2025学年上学期九年级数学期末试卷（解析版）-A4

这是一份甘肃省武威三中教育集团联片教研2024—2025学年上学期九年级数学期末试卷（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 是关于的一元二次方程，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查根据一元二次方程的定义，求参数的值，根据题意，得到且，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：且，
解得：；
故选B．
2. 利用配方法解方程时，化成的形式，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查一元二次方程，解题关键是熟练运用一元二次方程的解法．根据配方法即可求出答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：C．
3. 抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质和二次函数的顶点式．熟悉二次函数的顶点式方程中的、所表示的意义是解决问题的关键．
由题意根据二次函数的顶点坐标是，求出顶点坐标即可．
【详解】解：∵；
∴顶点坐标为：−3,2．
故选：D．
4. 如图，在中，，．点在上，连接，将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，连接，，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键；
根据题意，可得，，进而求得，判定，即可求得，进而求解；
【详解】解：将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
又，
，
，
又，
，
，
，，
，
，
故选项A一定正确，
由已知条件无法一定得出B、C、D正确，
故选：A
5. 如图，已知四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形，掌握圆的相关性质是解题关键．由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得，再根据圆内接四边形对角互补，即可求解．
【详解】解：，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
故选：C．
6. 如图，与它的内切圆分别相切于点．若的周长为，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角形的内切圆，切线长定理，根据三角形的周长求出，根据切线长定理，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵的周长为，
∴，
∵是的内切圆，
∴，
∴，即：，
∴；
故选B．
7. 如图，的内接正六边形的边长为，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查正多边形与圆，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．连接、、，设与交于点，根据正六边形的性质可得，推出、是等边三角形，，，得到，，得到，根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：连接、、，设与交于点，
多边形是正六边形，
，
，
、是等边三角形，，，
，，
，
，
，
故选：A．
8. 在半径为1的中，的圆心角所对的弧长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了圆心角所对弧长公式，熟记公式是解题的关键．
利用弧长公式即可求出．
【详解】解：在半径为1的中，的圆心角所对的弧长是．
故选：B．
9. 一个袋子里装有3个红球，4个蓝球，5个白球，每个球除颜色外其它完全相同，从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了随机事件概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
根据概率公式解答即可．
【详解】解：一个袋子里装有3个红球，4个蓝球，5个白球，
∴从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率是：．
故选：B．
10. 二次函数的图像如图所示，对称轴是直线，有下列结论：①；②③；④（m为实数）．其中正确结论的个数为（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数图像与二次函数系数之间的关系，熟练掌握二次函数的图像和性质是关键．
根据抛物线开口向上，抛物线和轴有两个不同的交点，抛物线和轴的交点在轴的负半轴，对称轴为直线，可判断①②③，根据抛物线的开口方向和对称轴，可判断④．
【详解】解：由图可知：抛物线开口向上，抛物线和轴有两个不同的交点，抛物线和轴的交点在轴的负半轴，对称轴为直线，
，
，
，
∴①错误，②正确，③错误；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，，
∵当时，，
，
∴，故④正确；
综上所述，正确的结论是：②④．
故选：B．
二、填空题（共24分，每小题3分）
11. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为_____．
【答案】2027
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意可得：把代入中得：，从而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：把代入中得：
，
∴，
∴，
故答案为：2027．
12. 将二次函数的图象向左平移3个单位，得到的抛物线的表达式为__________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的平移，掌握二次函数的图象的平移规律是解题的关键．按照“左加右减，上加下减”的规律进行解题即可．
【详解】二次函数的图象向左平移3个单位，
得到的抛物线的表达式为．
故答案为：．
13. 在一个不透明袋子中，装有个红球和个白球，它们除颜色外其余都相同．从中随机摸出一个球，则摸到红球的概率为________．
【答案】##0.6
【解析】
【分析】本题考查概率公式求概率，根据概率的求法求解，找准两点：①全部等可能情况的总数，②符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：摸到红球的概率为，
故答案为：．
14. 如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得，连接，若，则的大小为________．
【答案】##70度
【解析】
【分析】本题考查了旋转性质，直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，先由将绕直角顶点顺时针旋转，得，得，，则，因为，所以，故，即可作答．
【详解】解：∵将绕直角顶点顺时针旋转，得，
∴，，
∴，
∵，
∴，
中，，
即，
故答案为：．
15. 如图，为的直径，弦于，，，那么弦的长为_____．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．
连接，由垂径定理可得，，中由勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵,
∴，
∵，
∴，
∵中，，
∴
解得：
∴，
故答案为：10．
16. 如图，，分别与相切于，两点，且，若点是上异于点，的一点，则的大小为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况讨论：当点在优弧上时，连接，，由切线的性质可得，由四边形的内角和可得，由圆周角定理可得；当点在劣弧上时，连接，，由圆内接四边形的性质可得；综上，即可得出的大小．
【详解】解：分两种情况讨论：
如图，当点在优弧上时，连接，，
，分别与相切于，两点，
，
，
，
；
如图，当点在劣弧上时，连接，，
四边形是圆内接四边形，
；
综上，的大小为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，多边形内角和问题，圆周角定理，圆内接四边形的性质定理等知识点，熟练掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质定理并运用分类讨论思想是解题的关键．
17. 如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则______．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，正多边形与圆，根据圆周角定理求出中心角的度数，再根据正多边形的中心角度数的计算公式 进行求解即可．
【详解】解：∵是的内接正n边形的一边，点C在上，，
∴，
∴；
故答案为：12．
18. 如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，则的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查抛物线与坐标轴的交点、三角形的面积，根据抛物线，可以求得点、、的坐标，然后即可得到和的长度，最后计算的面积即可．解题的关键是求出点、、的坐标．
【详解】解：∵抛物线，
∴当时，；当时，或，
∴，，，
∴，，
∴，
∴的面积为．
故答案为：．
三、解答题（共66分）
19. 如图，在的方格纸中，的顶点都在格点上．
（1）将绕点顺时针旋转90°得到，画出；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
（1）利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点即可；
（2）把四边形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：四边形的面积．
20. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用配方法解方程即可；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：
或
解得：．
21. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克该水果应涨价多少元？
【答案】每千克该水果应涨价5元或10元
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程实际应用，设每千克水果应涨元，根据总利润等于单价利润乘以销量，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设每千克水果应涨元，根据题意，得
．
整理，得．
解这个方程，得
答：每千克该水果应涨价5元或10元．
22. 一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“步”、“步”、“高”，除汉字外其余均相同．小亮同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字．用画树状图（或列表）的方法，求小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的概率．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了画树状图或列表法求概率，画树状图或列表可以把所有可能出现的结果和需要的结果都表示出来，需要的结果占所有结果的比值就是这个事件的概率．
【详解】画树状图：
根据题意，可以画出如下树状图：
共有种等可能的结果，其中小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的结果有种，
所以小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的概率为；
列表法：
根据题意，列表如下：
共有种等可能的结果，其中小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的结果有种，
所以小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的概率为．
23. 在平面直角坐标系中，点，是抛物线上的两个不同点．
（1）当时，有，求的值；
（2）若，当时，都有，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
（1）由题意，根据，得出A、B两点关于对称轴对称，再由中点坐标公式可得解．
（2）利用二次函数图象和性质判断即可．
【小问1详解】
解：抛物线的对称轴为
∵，
∴点，关于直线对称.
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴；
①当时，随着的增大而减小，
∵当时，都有，
∴，
∴，
∴；
②当时，随着的增大而增大，
∴点关于直线的对称点的坐标是.
∵当时，都有，
∴，
∴.
综上，的取值范围是或.
24. 如图，中，，，点是边上一点，连接，将绕点旋转得到，点，，在同一条直线上，延长交于点．
（1）求的度数；
（2）若，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是：
（1）根据旋转的性质得出，则，结合可得出，即可求解；
（2）根据全等三角形的性质得出，，则可求出，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出，则，根据等角对等边可得出，然后根据三线合一即可得证。
【小问1详解】
解：∵将绕点旋转得到，
∴.
∴.
∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
【小问2详解】
证明：∵，
∴，.
∵，
∴，
∴.
∵中，，，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴.
25. 如图，是的直径，弦，过点作的切线交的延长线于点，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，正确作出辅助线是解题关键．
（1）作于点，连接，，先由平行的性质易得，再由切线的性质得，进而得，即可得，再由垂径定理和圆周角定理可得，，继而可得结论；
（2）作于点，设的半径为，则，，由勾股定理列方程得，解方程得，进而可得、的值，再由勾股定理可得的值，最后由可得答案．
【小问1详解】
证明：作于点，连接，，如图1，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，是切点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：作于点，如图2
∵，于点，
∴，，
∴四边形为矩形，
∴，
设的半径为，则，
∵，
∴，
∵中，，，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴．
26. 如图中，，平分交于点E，以点E为圆心，为半径作交于点F．
（1）求证：与相切；
（2）若，试求的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】本题主要考查了圆与三角形综合，熟练掌握角平分线性质，圆切线判定和性质，切线长定理，勾股定理，是解题的关键．
（1）作于点H，根据角平分线性质得，得点H在上，即得与相切；
（2）根据勾股定理得，得，根据是的切线，得，得，根据，得，解得，，即得．
【小问1详解】
证明：作于点H，
∵平分，，
∴，
∴，
∴点H在上，
∴与相切．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵是的半径，，
∴是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为3．
27. 综合与探究
如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点．
（1）求此抛物线的表达式．
（2）是位于第一象限内抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求此时点的坐标及的面积．
（3）抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2），的面积为
（3）或或或或
【解析】
【分析】（1）把点代入抛物线中可得的值，从而可得抛物线的解析式；
（2）过点Q作x轴的垂线，交于点M，求出直线的解析式，设，则，求出，根据的面积为列关系式，再利用二次函数的性质即可解答；
（3）先求出抛物线的对称轴为x=1，设，再求出，由等腰三角形性质，分情况讨论：①当时；②当时；③当时，从而可以解答．
【小问1详解】
解：把点代入抛物线中，
得：，
解得：
抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
解：如图，过点Q作x轴的垂线，交于点M，
抛物线中，令，则，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴的面积为，
∵，
∴当时，的面积最大，最大面积为，
此时，的面积为；
【小问3详解】
解：∵抛物线的对称轴为，
设，
∴，
①当时，
则，
解得：，
此时，；
②当时，
则，
解得：，
∴点的坐标为或；
③当时，
则，即，
解得：，
∴点的坐标为或；
综上，点的坐标为或或或或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，求函数解析式，二次函数与问题的问题，等腰三角形的性质，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键．
第一次
和
第二次
步
步
高
步
（步，步）
（步，步）
（步，高）
步
（步，步）
（步，步）
（步，高）
高
（高，步）
（高，步）
（高，高）