专题08 锐角三角形函数（期末复习专项训练，9大题型）九年级数学上学期人教版+答案

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题型1 锐角三角函数的定义（常考点）
题型6 解直角三角形的实际应用-仰角俯角问题（重点）
题型2 三角函数的有关运算（重点）
题型7 解直角三角形的实际应用-坡度问题（重点）
题型3 特殊角的三角函数值的有关运算
题型8 解直角三角形的实际应用-方向角问题（重点）
题型4 解直角三角形（常考点）
题型9 解直角三角形的实际应用-其他问题
题型5 解非直角三角形
题型一 锐角三角函数的定义（共2小题）
1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则下列式子正确的是（ ）
A．csA=abB．csA=acC．tanA=acD．tanA=ab
2．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，则下列选项正确的是（ ）
A．sinA=bcB．csB=bcC．tanA=acD．tanB=ba
题型二 三角函数的有关运算（共12小题）
1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=35，AB=10，则BC的长是（ ）
A．6B．8C．63D．83
2．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=45，AC=12，则AB的长是 ．
3．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC于点F，cs∠ADE=32，DF=4，则BF的长为（ ）
A．23B．4C．43D．8
4．（24-25九年级下·重庆大足·期末）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，过A作AG⊥BE于点G，延长AG交BC的延长线于点F．若AB=6，tan∠ABE=34，则CF等于（ ）
A．2B．34C．54D．53
5．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，若AB=4，tan∠CAB=2，则切线DE的长为 ．
6．（24-25九年级上·广东中山·期末）已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=6，那么下列各式中，正确的是（ ）．
A．sinB=23B．csB=23C．tanB=23D．不确定
7．（24-25九年级上·海南海口·期末）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，则csB等于（ ）
A．45B．35C．43D．34
8．（2025·广东深圳·中考真题）如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为（ ）
A．223B．3C．24D．13
9．（22-23九年级上·广东·期末）如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanB的值为（ ）
A．1B．104C．54D．45
10．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交边BC于点D，若BD=5CD，则tanB= ．
11．（2024·贵州·模拟预测）Rt△ABC中，∠C=90°，∠A:∠B=1:2，则tanA的值（ ）
A．12B．32C．33D．3
题型三 特殊角的三角函数值的有关运算（共3小题）
（24-25九年级下·广东深圳·期中）计算：2tan60°−2025−π0−12+12−1
（24-25九年级上·湖南株洲·期末）计算：3−2+2cs30°−(3.14−π)0．
3．（2024·广东深圳·模拟预测）计算：π−30−3tan60°−−12−1+12．
题型四 解直角三角形（共5小题）
1．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA=2，将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A′的坐标为（ ）
3,−1B．1,−3C．2,−2D．−2,2
2．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，CD是Rt△ABC斜边上的中线，以CD为直径作⊙O，分别交AC、BC于点M、N，过点M作ME⊥AB，交AB于点E．
(1)求证：ME是⊙O的切线；
(2)若CD=5，AC=8，求ME的长．
3．（2024·山东日照·二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是边AC上的点，点O是边AB上的点，过点E作⊙O与边BC，AB分别相交于点D，F，DE=EF．

(1)求证：AC为⊙O的切线；
(2)当BC=6，tanA=34时，求AF的长．
4．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在△ACB中，∠A=30°，∠B=45°，AC=8．
(1)求AB的长；
(2)点P在线段AB上，连接CP，且tan∠APC=2，求tan∠BCP的值．
5．（2024·浙江·中考真题）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB=10,AD=6,tan∠ACB=1．
(1)求BC的长；
(2)求sin∠DAE的值．
题型五 解非直角三角形（共3小题）
1．（22-23九年级上·湖南张家界·期末）如图，在△ABC中，∠A=30°,∠B=45°,BC=32．
(1)求AC的值．
(2)求△ABC的面积（结果保留根号）
2．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，那么sin∠ACB的值为（ ）​
A．52B．55C．255D．13
3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在△ABC中，∠ABC=30°,tanC=13,AB=6，则BC的长为 ．
题型六 解直角三角形的实际应用-仰角俯角问题（共5小题）
1．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也使节能环保的举措得以落实．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，测倾器（AB）的高度为1.2米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBF=33°，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEF=45°（点A，D与N在一条直线上，AB⊥AN，ED⊥AN，MN⊥AN，BF⊥MN于点F，AB=DE=1.2米），求电池板离地面的高度MN．（参考数据：tan33°≈0.65,sin33°≈0.54,cs33°≈0.84）
2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，通过调节BA与CB的仰角α与β的大小来达成个人舒适的高度，已知调节杆CB=11cm，AB=20cm，AB的最大仰角α为53°．

(1)当点B离桌面高度大约5cm时，手腕最舒适，请问应该调整哪个角的大小？调整为多少度？
(2)在（1）的条件下，求点A到桌面的最大高度．（参考数据：sin53°≈0.80, cs53°≈0.60, tan53°≈1.33, sin27°≈0.45, cs27°≈0.89）
3．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，无人机在A处观察正面为横跨河流两岸的大桥BC，测得B的俯角为49°，测得点C的俯角为45°．已知长度为45米的大桥BC与地面在同一水平面上．求无人机在A处距离地面的高度．（参考数据：sin49°≈0.75, cs49°≈0.66, tan49°≈1.15）
4．（24-25九年级上·广西来宾·期末）【综合与实践】数学课上，“奋进”学习小组的同学自制测角仪器（如图1）．把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角．将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好看到被测物最高点即可测量出被测物．
例：如图2，已知人眼睛离地面BE=1.6m，测得树顶仰角为37°，人和树的水平距离为4m．求树的高度（sin37°=35，cs37°=45，tan37°=34）．
解：因为tan37°=ACBC=34，其中BC=DE=4m，BE=CD=1.6m．
所以求得AC=3m，所以树高AD=AC+CD=4.6m．
(1)“奋进”小组的同学站在地面测量某棵树，人眼睛离地面为1.6m，测得树顶仰角为60°，测量点到树脚距6m，求树的高度（结果保留2位小数．参考数据：2≈1.414，3≈1.732）．
(2)湖泊中间有一座古塔，无法测量古塔到岸边的距离，为了能够计算出古塔的高度，“创新”小组计划通过图3的方式进行测量计算，已知操作者高度1.6m，测得α=45°，β=60°，两个测量点距离9m，用这个方法是否能够计算出古塔高度？若能，请计算出古塔高度，若不能，请说明理由：
(3)在原有仪器情况下增加一面镜子并且已知古塔与岸边的距离，你能否给出新的测算方法，请画出示意图并加以说明．
题型七 解直角三角形的实际应用-坡度问题（共6小题）
1．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣传牌CD．该校九年级1班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为56°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°，AB=8米，AE=16米，已知斜坡AB的坡角为45°，(参考数据：sin56∘≈0.83，cs56∘≈0.56，tan56∘≈1.5，2≈1.41；精确到0.01米)
(1)求综合楼的高度DE；
(2)求宣传牌的高度CD．
2．（2024·湖北宜昌·三模）如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长CD与AB交于E点，已知坡道AB的坡比i=1：2.4，AC的长为7.2米，CD的长为0.4米．
(1)请求出DE的长；
(2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到AB的距离）．
3．（24-25九年级上·山东聊城·期中）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB=200米，坡度为1:3；斜坡AB改造为斜坡CD，斜坡CD=260米，其坡度为1:3．求斜坡AB下降的高度AC．（结果保留根号）
4．（2025·四川资阳·中考真题）如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN，该平台上有一个竖直的建筑物CD．在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°，在B处测得C的仰角为60°，斜坡AB的坡度i=1:3,AB=1010米，CD⊥BN．（点A,B,C,D在同一竖直平面内）．
(1)求平台BN的高度；
(2)求建筑物的高度（即CD的长）．
5．（24-25九年级上·浙江金华·期末）某班的同学想测量教学楼AB的高度，如图，点A、B、C、D在同一平面内，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为8米，它的坡度i=1:3（坡度=垂直高度ℎ：水平宽度l），在离C点30米的D处，测得教学楼顶端A的仰角为37°．
(1)求点C到AB的水平距离．
(2)教学楼AB的高度约为多少米．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）
6．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）国庆节期间，张华与李明相约攀登梵净山附近的一座小山．如图，已知山高534m（即图中DF=534m且∠AFD=90°），他们先由山脚A处步行300m到达山腰B处，此后坡度变陡，他们放慢速度再由B处到达山顶D处．已知点A、B、D、E、F在同一平面内，山坡AB的坡度i=1:3，山坡BD与水平线的夹角为53°．（参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33）
(1)求B，D两地的垂直高度DE；
(2)若他们攀登第一段斜坡AB时的速度为30m/min，攀登第二段斜坡BD的速度为16m/min，求他们从山脚A处到达山顶D处需要多少分钟．
题型八 解直角三角形的实际应用-方向角问题（共4小题）
1．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东30°的方向，求船C离海岸线l的距离（即CD的长）（结果不取近似值）．
2．（22-23九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，小南家A位于一条东西走向的笔直马路上，超市B在A地的正东方．午休时间，小南从家A出发沿北偏东60°方向步行600m至菜鸟驿站C取快递．下午第一节网课是美术课，此时距离上课时间只有7min，他决定先沿西南方向步行至超市B购买素描画纸，再沿正西方向回到家上网课．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)
(1)求菜鸟驿站C与超市B的距离(保留整数)；
(2)若小南的步行速度为80m/min，那么他上美术网课会迟到吗？请说明理由．(忽略买素描画纸的时间)
3．（23-24九年级上·广西北海·期末）如图所示，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船向正东方向航行了12km到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上．

(1)求这时渔船与灯塔C的距离．
(2)若渔船继续向正东方向行驶4km到达D处，求sin∠BCD的值．
4．（24-25九年级上·重庆南岸·期末）如图，A，B两地的直线距离为7km，但因湖水相隔，不能直接到达．从A到B有两条路可走．线路1：从A−C−B；线路2：从A−D−B．从地图上可得到以下数据：点C位于A的正北方向，且在B的北偏西63°的方向；点D在A的东南方向，且位于B的南偏西37°方向．（参考数据：2≈1.4，5≈2.24，sin63°≈0.89，cs63°≈0.45，tan63°≈2，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
(1)求AD的长度；（保留1位小数）
(2)通过计算说明，线路1和线路2，那条线路更短．
题型九 解直角三角形的实际应用-方向角问题（共4小题）
1．（2024·浙江绍兴·二模）随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆AB垂直于地面，其高为115cm,BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为30cm,CD为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度．（参考数据：sin53°≈0.80,cs53°≈0.60,tan53°≈1.33）
(1)如图2，当B、C、D三点共线，CD=40cm时，且支杆BC与立杆AB之间的夹角∠ABC为53°，求端点D距离地面的高度；
(2)调节支杆BC，悬杆CD，使得∠ABC=60°,∠BCD=97°，如图3所示，且点D到地面的距离为148cm，求CD的长．（结果精确到1cm）
2．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）拉杆箱是外出旅行的常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示(滚轮忽略不计)，箱体截面是矩形BCDE，BC的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节(AB)时，AC与地面夹角∠ACP=53°；如图2，当拉杆伸出两节(AM，MB)时，AC与地面夹角∠ACP=37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度(单位：cm，结果保留整数)．(参考数据： sin53°≈45 ， tan53°≈43 ， sin37°≈35 tan37°≈34 )
3．（23-24九年级上·湖南邵阳·期末）汉中龙头山景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，点B的垂直高度BE为130m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上．）
(1)求索道AB的长（结果精确到1m）；
(2)求山顶点D到水平地面的距离DF的长（结果精确到1m）．
（参考数据：sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27，2=1.41）
4．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管AB=24 cm，BE=13AB，试管倾斜角∠ABG为14°（sin14°≈0.24，cs14°≈0.97，tan14°≈0.25，结果保留一位小数）．
(1)求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；
(2)实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN丄CF于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE=28cm，MN=8cm，∠ABM=149°，求线段DN的长度．