福建省福州外国语学校九年级上学期12月月考数学试卷-A4

这是一份福建省福州外国语学校九年级上学期12月月考数学试卷-A4，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列事件中，属于不可能事件的（ ）
A．经过红绿灯口，遇到绿灯
B．射击运动员连续射击10次，均命中靶心
C．班里的两名同学，他们的生日是同一天
D．从一个只装有黄球和红球的袋中摸球，摸出白球
3．（3分）已知方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则m的值为（ ）
A．4B．﹣4C．3D．﹣3
4．（3分）如图，在⊙O中AB=CD，∠AOB＝45°，则∠COD＝（ ）
A．60°B．45°C．30°D．40°
5．（3分）已知点A（2，m）、B（3，n）在函数y=11x的图象上，则m、n的大小关系（ ）
A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．m≥n
6．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，若AB＝3，BC＝6，DE＝2，则DF的长是（ ）
A．4B．5C．6D．7
7．（3分）若二次函数y＝x2﹣x﹣5的图象与x轴交于点M（m，0），则代数式2m2﹣2m﹣1的值是（ ）
A．9B．﹣9C．5D．10
8．（3分）某服装店出售某品牌的棉衣，进价为100元/件，当售价为150元/件时，平均每天可卖30件；为了尽快减少库存迎接元旦的到来，商店决定降价销售，增加利润，经调查每降价5元，则每天可多卖10件．若要平均每天获利2000元，设每件棉衣降价x元，则x满足的等式为（ ）
A．（x﹣100）（30+10×150-x5）＝2000
B．（150﹣x﹣100）（30+10×x5）＝2000
C．（x﹣100）（30+10×x5）＝2000
D．（150﹣x﹣100）（30+10×150-x5）＝2000
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，当点C落在边AB上时，连接CC′，则线段CC′的长为（ ）
A．3B．1C．2D．3
10．（3分）已知抛物线y＝x2+bx+c（c为常数）经过点（p，m）、（q，m）、（4，c），当1≤q﹣p＜8时，则m的取值范围为（ ）
A．c﹣4≤m＜c+12B．c-154≤m＜c+12
C．c＜m≤c+12D．c﹣3≤m＜c+24
二、填空题
11．（3分）在平面直角坐标系中，点（4，﹣3）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．（3分）某农科院在相同条件下作了某种苹果幼树移植成活率的试验，结果如下表，根据以下数据，估计该种苹果幼树在此条件下移植成活的概率为 ．（结果保留小数点后两位）
13．（3分）若关于x的方程（x+5）2＝m﹣1没有实数根，则m的取值范围是 ．
14．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，⊙P与x轴交于点O与A（6，0），⊙P的半径是13，则点P的坐标是 ．
15．（3分）如图，点A是反比例函数y=kx的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为6，则k的值是 ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，E、F分别是AB、CD边上的动点，EF⊥AC，则AF+CE的最小值为 ．
三、解答题
17．解方程：x2+2x﹣5＝0．
18．高尔夫球是一项具有特殊魅力的运动，它能让人们在优美的环境中锻炼身体、陶冶情操、修身养性、交流技巧，同时也被誉为“时尚优雅的运动”．如图，以40m/s的速度将高尔夫球沿与地面成30°角的方向击出时，高尔夫球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，高尔夫球飞行时离地面的高度y（单位：m）与飞行的时间x（单位：s）之间具有函数关系：y＝﹣5x2+20x．该二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表；
（1）写出a的值 ，并画出函数图象；
（2）当飞行时间x＝ s时，高尔夫球高度达到最高；
（3）求高尔夫球飞行高度为15m时所用的时间．
19．随着《黑神话：悟空》这款融合了中国传统文化精髓与现代游戏技术的力作横空出世，不仅激发了玩家对神话故事的无限遐想，更意外地点燃了公众对山西这片古老土地的热情．游戏中精心选取的27处山西实景，如同一幅幅生动的历史画卷，引领我们穿越时空，感受五千年文明的深厚底蕴．某旅游公司推出“跟着悟空游山西”二日游路线．小明家、小米家利用双休日出去旅游．每次出游只能选一条路线．
（1）小米家这周想选A路线，小明家选不到A路线的概率是多少？
（2）如果小明家相约小米家一起出去旅游，两个家庭都从上面四条路线中选一条路线去游玩，请用树状图或列表的方法求出两家选取同一条路线的概率．
20．如图，已知⊙O内接正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的边心距r6、面积S6．
21．如图，△ABC中，AB＝3，AC＝6，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE，点B的对应点点D恰好落在BC边上．
（1）尺规作图：作出△ADE；
（2）求证：CE＝2BD．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径作⊙O，交BC边于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若AC＝6，CD＝5，求DF的长．
23．根据以下素材，探索完成任务．
24．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点E的坐标；
（2）点D在BC上方的抛物线上．
①如图1，若∠CAB＝∠ABD，求点D的坐标；
②如图2，直线BD交y轴于点N，过点B作AD的平行线交y轴于点M，当点D运动时，求S△CBDS△AMN的最大值及此时点D的坐标．
25．将△ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE，且点D落在BC的延长线上，连接CE．
（1）如图1，若α＝120°，∠DEC＝90°，CE交AD于点F．
①求∠BAC的度数；
②直接写出EFCF的值．
（2）如图2，若点M，N分别为BD，CE的中点，连接MN并延长交AD于点G，求证：MG⊥AD．
2024-2025学年福建省福州外国语学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
一、单选题
1．（3分）下列四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形定义．
2．（3分）下列事件中，属于不可能事件的（ ）
A．经过红绿灯口，遇到绿灯
B．射击运动员连续射击10次，均命中靶心
C．班里的两名同学，他们的生日是同一天
D．从一个只装有黄球和红球的袋中摸球，摸出白球
【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义结合具体的情景逐项进行判断即可．
【解答】解：A、经过红绿灯口，遇到绿灯是随机事件，故本选项不符合题意；
B、射击运动员连续射击10次，均命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；
C、班里的两名同学，他们的生日是同一天是随机事件，故本选项不符合题意；
D、从一个只装有黄球和红球的袋中摸球，摸出白球是不可能事件，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查必然事件、随机事件、不可能事件，理解必然事件、随机事件、不可能事件的意义是正确判断的前提．
3．（3分）已知方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则m的值为（ ）
A．4B．﹣4C．3D．﹣3
【分析】根据一元二次方程的解把x＝1代入一元二次方程得到还有m的一次方程，然后解一次方程即可．
【解答】解：把x＝1代入x2+mx+3＝0得1+m+3＝0，
解得m＝﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4．（3分）如图，在⊙O中AB=CD，∠AOB＝45°，则∠COD＝（ ）
A．60°B．45°C．30°D．40°
【分析】在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，由此即可得到答案．
【解答】解：∵AB=CD，
∴∠COD＝∠AOB＝45°．
故选：B．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦的关系，关键是掌握：在同圆或等圆中，圆心角，弧，弦的关系．
5．（3分）已知点A（2，m）、B（3，n）在函数y=11x的图象上，则m、n的大小关系（ ）
A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．m≥n
【分析】根据反比例函数k＞0确定反比例函数的增减性继而进行分析判断即可．
【解答】解：在函数y=11x中，k＝11＞0，函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵2＜3，
∴m＞n．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足函数解析式是解答本题的关键．
6．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，若AB＝3，BC＝6，DE＝2，则DF的长是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】根据l1∥l2∥l3，得到ABBC=DEEF，代入数值求出EF＝4，即可求出DF的长．
【解答】解：∵根据l1∥l2∥l3，
∴ABBC=DEEF，
∴36=2EF，
解得EF＝4，
∴DF＝DE+EF＝2+4＝6，
故选：C．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例：一组平行线截两条直线，所截对应线段成比例．
7．（3分）若二次函数y＝x2﹣x﹣5的图象与x轴交于点M（m，0），则代数式2m2﹣2m﹣1的值是（ ）
A．9B．﹣9C．5D．10
【分析】由题意得到方程x2﹣x﹣5＝0的一个根为m，得到m2﹣m＝5，再整体代入求解即可．
【解答】解：由题意可得：方程x2﹣x﹣5＝0的一个根为m，
∴m2﹣m﹣5＝0，即m2﹣m＝5，
∴2m2﹣2m﹣1＝2（m2﹣m）﹣1＝2×5﹣1＝9，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，正确记忆相关知识点是解题关键．
8．（3分）某服装店出售某品牌的棉衣，进价为100元/件，当售价为150元/件时，平均每天可卖30件；为了尽快减少库存迎接元旦的到来，商店决定降价销售，增加利润，经调查每降价5元，则每天可多卖10件．若要平均每天获利2000元，设每件棉衣降价x元，则x满足的等式为（ ）
A．（x﹣100）（30+10×150-x5）＝2000
B．（150﹣x﹣100）（30+10×x5）＝2000
C．（x﹣100）（30+10×x5）＝2000
D．（150﹣x﹣100）（30+10×150-x5）＝2000
【分析】设每件棉衣应降价x元，根据平均每天获利2000元，即可列出关于x的一元二次方程．
【解答】解：设每件棉衣应降价x元，
由题意得（150﹣x﹣100）（30+10×x5）＝2000，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关系x的一元二次方程是解题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，当点C落在边AB上时，连接CC′，则线段CC′的长为（ ）
A．3B．1C．2D．3
【分析】由∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，可得AC＝2，∠CAC′＝60°，再根据旋转的性质可得△ACC′是等边三角形，即可求解．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，
∴AC＝2，∠CAC′＝60°，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，点C落在边AB上，
∴AC＝AC′，
∴△ACC′是等边三角形，
∴CC′＝AC＝2，
故选：C．
【点评】本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定与性质证明CC′＝AC是解题的关键．
10．（3分）已知抛物线y＝x2+bx+c（c为常数）经过点（p，m）、（q，m）、（4，c），当1≤q﹣p＜8时，则m的取值范围为（ ）
A．c﹣4≤m＜c+12B．c-154≤m＜c+12
C．c＜m≤c+12D．c﹣3≤m＜c+24
【分析】根据题意求得抛物线的对称轴为直线x=-b2=0+42=2，进而得到抛物线为y＝x2﹣4x+c，根据抛物线的对称性得出p+q＝4，即可得到p＝4﹣q，代入1≤q﹣p＜8得到2.5≤q＜6，根据图象上点的坐标特征即可求得-154+c≤m＜12+c．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c（c为常数）经过点（0，c），（4，c），
∴抛物线的对称轴为直线x=-b2=0+42=2，
∴b＝﹣4，
∴抛物线为y＝x2﹣4x+c，
∵抛物线y＝x2+bx+c（c为常数）经过点（p，m），（q，m），
∴p+q2=2，
∴p+q＝4，
∴p＝4﹣q，
∵1≤q﹣p＜8，
∴1≤q﹣4+q＜8，
∴2.5≤q＜6，
∵m＝q2﹣4q+c，
∴-154+c≤m＜12+c，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，熟知二次函数的对称性是解题的关键．
二、填空题
11．（3分）在平面直角坐标系中，点（4，﹣3）关于原点对称的点的坐标是 （﹣4，3） ．
【分析】根据关于原点对称的两个点横纵坐标都互为相反数进行求解即可．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点（4，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣4，3），
故答案为：（﹣4，3）．
【点评】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键．
12．（3分）某农科院在相同条件下作了某种苹果幼树移植成活率的试验，结果如下表，根据以下数据，估计该种苹果幼树在此条件下移植成活的概率为 0.88 ．（结果保留小数点后两位）
【分析】表中数据实验频率逐渐稳定在0.881左右，则这种苹果幼树在此条件下移植成活的概率约为0.88．
【解答】解：由表知频率逐渐稳定在0.881左右，
所以可估计这种苹果幼树在此条件下移植成活的概率为0.88，
故答案为：0.88．
【点评】本题考查了利用频率估计概率．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
13．（3分）若关于x的方程（x+5）2＝m﹣1没有实数根，则m的取值范围是 m＜1 ．
【分析】根据方程没有实数根，构建不等式求解．
【解答】解：∵关于x的方程（x+5）2＝m﹣1没有实数根，
∴m﹣1＜0，
∴m＜1．
故答案为：m＜1．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣直接开方法，解题的关键是理解题意，学会构建不等式解决问题．
14．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，⊙P与x轴交于点O与A（6，0），⊙P的半径是13，则点P的坐标是 （3，2） ．
【分析】连接OP，作PB⊥OA于B，则OP=13，由垂径定理可得，OB=12OA=3，由勾股定理得，PB=OP2-OB2=2，进而可求P点坐标．
【解答】解：连接OP，作PB⊥OA于B，
∵⊙P的半径是13，
∴OP=13，
∵A（6，0），
∴OA＝6，
由垂径定理可得，OB=12OA=3，
由勾股定理得，PB=OP2-OB2=2，
∴P（3，2），
故答案为：（3，2）．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，坐标与图形．熟练掌握垂径定理是解题的关键．
15．（3分）如图，点A是反比例函数y=kx的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为6，则k的值是 ﹣12 ．
【分析】连接OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△CAB＝6，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到12|k|＝6，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【解答】解：如图，连接OA，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB＝S△CAB＝6，
而S△OAB=12|k|，
∴12|k|＝6，
∵k＜0，
∴k＝﹣12．
故答案为﹣12．
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，E、F分别是AB、CD边上的动点，EF⊥AC，则AF+CE的最小值为 5 ．
【分析】因AF与EC两条线段不在同一条直线上，只需将两条线段转换在同一条直线上即可，作CG∥EF，且CG＝EF，连接AG，又因点F在DC上是一动点，由边与边关系AF+FG≥AG，只有当点F在直线AG上时AF+FG的和最小，由▱CEFG可知FG＝EC时可求AF+CE的最小值．
【解答】解：如图所示：
设DF＝x，则FC＝4﹣x；过点C作CG∥EF，且CG＝EF，连接FG，
当点A、F、G三点共线时，AF+FG的最值小；
∵CG∥EF，且CG＝EF，
∴四边形CEFG是平行四边形；
∴EC∥FG，EC＝FG，
又∵点A、F、G三点共线，
∴AF∥EC，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥DC，∠D＝90°，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴OA＝OC，OE＝OF，
又∵EF⊥AC，
AF＝CF＝4﹣x，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：
AD2+DF2＝AF2，
又∵AD＝2，DF＝x，则FC＝4﹣x，
∴22+x2＝（4﹣x）2，
解得：x=32，
∴AF=52，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
AD2+DC2＝AC2，
∵AD＝2，DC＝AB＝4，
∴AC＝25，
∴AO=5，
又∵OF∥CG，
∴△AOF∽△ACG，
∴AOAC=AFAG，
∴AG＝5，
又∵AG＝AF+FG，FG＝EC，
∴AF+EC＝5，
故答案为5．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理和最短距距离问题等知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质，求AG的长时也可以用三角形的中位线求解，难点是作辅助线，三点共线时两条线段的和最小．
三、解答题
17．解方程：x2+2x﹣5＝0．
【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：∵x2+2x﹣5＝0，
∴x2+2x＝5，
∴x2+2x+1＝5+1，
∴（x+1）2＝6，
∴x+1＝±6，
∴x＝﹣1±6．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
18．高尔夫球是一项具有特殊魅力的运动，它能让人们在优美的环境中锻炼身体、陶冶情操、修身养性、交流技巧，同时也被誉为“时尚优雅的运动”．如图，以40m/s的速度将高尔夫球沿与地面成30°角的方向击出时，高尔夫球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，高尔夫球飞行时离地面的高度y（单位：m）与飞行的时间x（单位：s）之间具有函数关系：y＝﹣5x2+20x．该二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表；
（1）写出a的值 15 ，并画出函数图象；
（2）当飞行时间x＝ 2 s时，高尔夫球高度达到最高；
（3）求高尔夫球飞行高度为15m时所用的时间．
【分析】（1）把x＝1代入解析式即可求出a的值，并用描点，连线的方法画出函数图象；
（2）把解析式化为顶点式即可；
（3）根据图象或表中数据即可得出结论．
【解答】解：（1）∵y＝﹣5x2+20x，
∴当x＝1时，y＝15，
即a＝15，
图象如图所示：
故答案为：15；
（2）∵y＝﹣5x2+20x＝﹣5（x﹣2）2+20，
∴当x＝2时，y最大，最大值为20，
∴当飞行时间x＝2时，高尔夫球高度达到最高，
故答案为：2；
（3）由图象和表格数据可知，当y＝15时，x＝1或3．
∴高尔夫球飞行高度为15m时所用的时间为1秒或3秒．
【点评】本题考查了二次函数的应用，关键是画出函数图象．
19．随着《黑神话：悟空》这款融合了中国传统文化精髓与现代游戏技术的力作横空出世，不仅激发了玩家对神话故事的无限遐想，更意外地点燃了公众对山西这片古老土地的热情．游戏中精心选取的27处山西实景，如同一幅幅生动的历史画卷，引领我们穿越时空，感受五千年文明的深厚底蕴．某旅游公司推出“跟着悟空游山西”二日游路线．小明家、小米家利用双休日出去旅游．每次出游只能选一条路线．
（1）小米家这周想选A路线，小明家选不到A路线的概率是多少？
（2）如果小明家相约小米家一起出去旅游，两个家庭都从上面四条路线中选一条路线去游玩，请用树状图或列表的方法求出两家选取同一条路线的概率．
【分析】（1）根据总的有4条路线，小明家选不到A路线的情况有三种可能，利用概率公式计算即可；
（2）画树状图，共有16种等可能性结果，其中两家选取同一条路线的可能结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）有4条路线，小明家选不到A路线的情况有三种可能，
∴小明家选不到A路线的概率是34；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能性结果，其中小明家和小米家恰好选择同一条路线的可能结果有4种，
∴概率为416=14．
【点评】本题考查简单概率的计算，树状图法求概率，正确记忆树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比是解题关键．
20．如图，已知⊙O内接正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的边心距r6、面积S6．
【分析】连接OB，OG⊥CB于G，易得△COB是等边三角形，继而可得正六边形的外接圆半径R，然后由勾股定理求得边心距，又由S正六边形＝6S△OBC求得答案．
【解答】解：连接OB，OG⊥CB于G，
∵∠COB＝60°，OC＝OB，
∴△COB是等边三角形，
∴OC＝OB＝6cm，
即R＝6cm，
∵OC＝OB＝6，OG⊥CB，
∴CG＝BG=12CB=12×6＝3cm，
在Rt△COG中，r6＝OG=OC2-CG2=33（cm），
∴S6=12×6×6×33=543（cm2）．
【点评】此题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
21．如图，△ABC中，AB＝3，AC＝6，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE，点B的对应点点D恰好落在BC边上．
（1）尺规作图：作出△ADE；
（2）求证：CE＝2BD．
【分析】（1）先用圆规作出AD＝AB，再用尺规作出∠CAE＝∠BAD且AE＝AC，然后连接DE即可；
（2）先证得△ABD∽△ACE，然后运用相似三角形的性质即可解答．
【解答】（1）解：如图：△ADE即为所求．
（2）证明：如图：连接CE，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE，∠B和∠ACE是对应角，
∴∠B＝∠ACE，
由（1）可知：∠CAE＝∠BAD，
∴△ABD∽△ACE，
∴CEBD=ACAB=63=2，即CE＝2BD．
【点评】本题主要考查了尺规作图、旋转作图等知识点，相似三角形的判定与性质，掌握尺规作图是解答（1）题的关键；证得△ABD∽△ACE是解答（2）题的关键．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径作⊙O，交BC边于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若AC＝6，CD＝5，求DF的长．
【分析】（1）根据圆周角定理，直角三角形的性质以及等腰三角形的性质得出OE是三角形BCD的中位线，再根据平行线的性质得出OE⊥EF即可；
（2）根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半求出斜边AB，由勾股定理求出BC，再根据中点的定义可得BE＝4，再由勾股定理求出DE，由三角形面积公式求出EF，最后由勾股定理求出DF即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，DE，
∵CD是⊙O直径，
∴∠CED＝90°，
即DE⊥BC，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝BD，
∴点E是BC的中点，
又∵点O是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥AB，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥OE，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵CD是直角三角形ABC斜边中线，CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
∵AC＝6，
∴BC=AB2-AC2=8，
∵点E是BC的中点，
∴BE=12BC＝4，
在Rt△BDE中，BD＝5，BE＝4，
∴DE=BD2-BE2=3，
∵S△BDE=12DE•BE=12BD•EF，即3×4＝5×EF，
∴EF=125，
在Rt△DEF中，DE＝3，EF=125，
∴DF=DE2-EF2=95．
【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形斜边中线以及三角形中位线，掌握切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线性质是正确解答的关键．
23．根据以下素材，探索完成任务．
【分析】任务1：由矩形的面积公式即可求解；
任务2：在Rt△ECF中，tan∠CEF=CFCE=12=tan∠HKF，设AN＝x＝RK，则HK＝8﹣x，HF＝HKtan∠HKF=12（8﹣x）＝4-12x，则KN＝3+FH＝7-12x，即可求解；
任务3：以AF所在的直线为x轴，以点P左侧的直线PO为y轴作如图所示的直角坐标系，求出点D、E的坐标分别，由矩形的面积S＝GH•HK，即可求解．
【解答】解：任务1：若截取的矩形有一边是DE，则截取的矩形面积＝AD×DE＝2×6＝12；
同理可得：若截取的矩形有一边是BF，则截取的矩形面积＝3×8＝24，
故答案为：12，24；
任务2：如图1，题设的矩形为ANKR，延长NK交DE的延长线于点T，延长RK交BF的延长线于点H，DR交BF于点C，
由题意得：EC＝8﹣2＝6，FC＝6﹣3＝3，
在Rt△ECF中，tan∠CEF=CFCE=12=tan∠HKF，
设AN＝x＝RK，则HK＝8﹣x，HF＝HKtan∠HKF=12（8﹣x）＝4-12x，
则KN＝3+FH＝7-12x，
则矩形ANKR的面积＝AN•KN＝x（7-12x）=-12x2+7x，
∵12＜0，故矩形ANKR的面积有最大值为492；
任务3：以AF所在的直线为x轴，以点P左侧的直线PO为y轴作如图所示的直角坐标系，
由题意得，OP＝6，EF＝2，
在AF边上作图示的矩形GNKH，其中G、H分别为直线BC和曲线DE上，
设点D的坐标为：（k6，6），点E（k2，2），
∵点D到直线EF的距离为2，即-k6+k2=2，
解得：k＝6，
则点D、E的坐标分别为：（1，6）、（3，2），
则点B、C的坐标分别为：（﹣8，2）、（﹣6，6），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝2x+18，
设点H（m，6m），则点G（3m-9，6m），
则矩形的面积S＝GH•HK＝（m-3m+9）×6m=-18×1m2+54×1m+6，
设x=1m，
则S＝﹣18x2+54x+6，
∵﹣18＜0，故S有最大值，
当x=32时，S的最大值为932，
即矩形的最小值为：932．
【点评】本题为反比例函数综合题，涉及到一次函数和二次函数的基本知识、解直角三角形、面积的计算等，属于阅读型题目，综合性强．
24．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点E的坐标；
（2）点D在BC上方的抛物线上．
①如图1，若∠CAB＝∠ABD，求点D的坐标；
②如图2，直线BD交y轴于点N，过点B作AD的平行线交y轴于点M，当点D运动时，求S△CBDS△AMN的最大值及此时点D的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（2）①过点D作DH⊥x轴交x轴于H，连接AC、BD，先证明△COA∽△DHB，可得CODH=OABH，设D（x，﹣x2+2x+3），列出关于x的方程并求解即可；
②连接AM、AN、CD、OD，设D（m，﹣m2+2m+3），得出S△CBD＝S△COD+S△BOD﹣S△BOC，设yAD＝K1（x+1），yBD＝K2（x﹣3），yBM＝K1（x﹣3），得出M（0，3m﹣9），N（0，3m+3），得MN＝3m+3﹣（3m﹣9）＝12，再由S△CBDS△AMN=-14m2+34m求解即可．
【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．将点A，点C的坐标代入得：
-1-b+c=0c=3，
解得：b=2c=3，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点E的坐标（1，4）；
（2）①过点D作DH⊥x轴交x轴于H，连接AC、BD，如图1，
则∠DHB＝∠COA＝90°，
∵∠CAB＝∠ABD，
∴△COA∽△DHB，
∴CODH=OABH，
设D（x，﹣x2+2x+3），则BH＝3﹣x，
∴DH＝﹣x2+2x+3，
∵OC＝3，OA＝1，
∴3-x2+2x+3=13-x，
解得：x2＝2，x2＝3，
∵当x＝3时，y＝﹣x2+2x+3＝0；
当x＝2时，y＝﹣x2+2x+3＝3，
∴D（2，3）；
②连接AM、AN、CD、OD，如图2，
设D（m，﹣m2+2m+3），
∴S△CBD＝S△COD+S△BOD﹣S△BOC
=12×3×m+12×3×(-m2+2m+3)-12×3×3
=-32m2+92m，
∵A（﹣1，0），B（3，0），AD∥BM，
∴设yAD＝K1（x+1），yBD＝K2（x﹣3），yBM＝K1（x﹣3），
∵K1=-m2+2m+3m+1=-(m-3)，
∴yBM＝﹣（m﹣3）（x﹣3）＝﹣（m﹣3）x+3m﹣9，
∴M（0，3m﹣9），
k2=-m2+2m+33-m=-（m+1），
∴yBD＝﹣（m+1）（x﹣3）＝﹣（m+1）x+3m+3，
∴N（0，3m+3），
∴MN＝3m+3﹣（3m﹣9）＝12，
∴S△AMN=12×1×12=6，
∴S△CBDS△AMN=-32m2+92m6=-14m2+34m，
∴当m=32时，S△CBDS△AMN=916最大，
此时D(32，154)．
【点评】此题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、二次函数的最值问题、相似三角形的判定及性质等知识．熟练掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用是解答本题的关键．
25．将△ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE，且点D落在BC的延长线上，连接CE．
（1）如图1，若α＝120°，∠DEC＝90°，CE交AD于点F．
①求∠BAC的度数；
②直接写出EFCF的值．
（2）如图2，若点M，N分别为BD，CE的中点，连接MN并延长交AD于点G，求证：MG⊥AD．
【分析】（1）①由旋转变换的性质可知∠ACB＝∠AED，求出∠AED＝120°，可得结论；
②证明CF＝DF，DF＝2EF，可得结论；
（2）连接AM，AN，证明∠ACN＝∠AMG，∠CAN＝∠MAD，可得结论．
【解答】（1）解：①∵AB＝AD，∠BAD＝120°，
∴∠B＝∠ADB＝30°，
∵AC＝AE，∠CAE＝120°，
∴∠ACE＝∠AEC＝30°，
∵∠DEC＝90°，
∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝30°+90°＝120°，
由旋转变换的性质可知∠ACB＝∠AED，
∴∠ACB＝120°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣120°＝30°；
②由①可知，∠ADB＝∠ADE＝30°，
∴∠CDE＝60°，
∵∠CED＝90°，
∴∠ECD＝∠FDC＝30°，
∴CF＝FD，
∵∠DEF＝90°，∠EDF＝30°，
∴DF＝2EF，
∴CF＝2EF，
∴EFCF=12．
（2）证明：连接AM，AN．
∵AB＝AD，BM＝DM，
∴AM⊥BD，AM平分∠BAD，
∵AC＝AE，CN＝EN，
∴AN⊥CE，AN平分∠CAE，
∴∠AMC＝∠ANC＝90°，
∴A，C，M，N四点共圆，
∴∠ACN＝∠AMN，
∵∠BAD＝∠CAE＝α，
∵∠CAN=12∠CAE，∠MAD=12∠BAD，
∴∠CAN＝∠MAD，
∵∠ACN+∠CAN＝90°，
∴∠AMG+∠MAG＝90°，
∴∠AGM＝90°，
∴MG⊥AD．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰三角形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题．
移植棵树n
100
500
1000
4000
15000
20000
30000
成活棵树m
86
432
865
3500
13170
17580
26430
成活频率mn
0.86
0.864
0.865
0.875
0.878
0.879
0.881
x
0
1
2
3
4
y
0
a
20
15
0

“跟着悟空游山西”二日游推荐路线
A、临汾线：小西天、广胜寺、铁佛寺
B、长治线：观音堂、紫庆寺
C、朔州线：尝福寺、应县木塔
D、晋中线：平遥镇国寺、平遥双林寺
如何截取最大面积
素材1
如图1，有一块五边形木板ABFED，它是由矩形ABCD木板切去△CEF后的余料，AB＝8，AD＝6，DE＝2，BF＝3．打算利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在AD上，并使得所截矩形材料的面积最大．

素材2
如图2，还有另一块木板，∠BAF＝∠AFE＝90°，AF＝11，AB＝EF＝2，CD＝7，CD∥AF，且CD和AF之间的距离为6，点D到直线EF的距离为2，曲线DE是反比例函数图象的一部分．

问题解决
任务1
初步探究
在图1中，若截取的矩形有一边是DE，则截取的矩形面积是 ．
若截取的矩形有一边是BF，则截取的矩形面积是 ．
任务2
计算最大值
在图1中，发现可以截取出比任务1得到的面积更大的矩形，请你画出截取的矩形，并计算出该矩形面积的最大值．
任务3
拟定设计方案
在图2中建立合适的平面直角坐标系，求出曲线DE的函数表达式，利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在AF上，求所截矩形面积的最大值．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
B
A
C
A
B
C
B
移植棵树n
100
500
1000
4000
15000
20000
30000
成活棵树m
86
432
865
3500
13170
17580
26430
成活频率mn
0.86
0.864
0.865
0.875
0.878
0.879
0.881
x
0
1
2
3
4
y
0
a
20
15
0

“跟着悟空游山西”二日游推荐路线
A、临汾线：小西天、广胜寺、铁佛寺
B、长治线：观音堂、紫庆寺
C、朔州线：尝福寺、应县木塔
D、晋中线：平遥镇国寺、平遥双林寺
如何截取最大面积
素材1
如图1，有一块五边形木板ABFED，它是由矩形ABCD木板切去△CEF后的余料，AB＝8，AD＝6，DE＝2，BF＝3．打算利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在AD上，并使得所截矩形材料的面积最大．

素材2
如图2，还有另一块木板，∠BAF＝∠AFE＝90°，AF＝11，AB＝EF＝2，CD＝7，CD∥AF，且CD和AF之间的距离为6，点D到直线EF的距离为2，曲线DE是反比例函数图象的一部分．

问题解决
任务1
初步探究
在图1中，若截取的矩形有一边是DE，则截取的矩形面积是 12 ．
若截取的矩形有一边是BF，则截取的矩形面积是 24 ．
任务2
计算最大值
在图1中，发现可以截取出比任务1得到的面积更大的矩形，请你画出截取的矩形，并计算出该矩形面积的最大值．
任务3
拟定设计方案
在图2中建立合适的平面直角坐标系，求出曲线DE的函数表达式，利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在AF上，求所截矩形面积的最大值．