浙江省杭州第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
第I拳（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知空间向量，则（ ）
A. B.
C. D. 不能构成空间的一组基底
3. 如果，那么直线一定经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 坐标原点
4. 已知，则点到平面的距离为（ ）
A. 2B. 3C. D.
5. 与圆外切，同时与圆内切圆的圆心在（ ）
A. 椭圆B. 双曲线的一支上
C. 抛物线上D. 圆上
6. 自点发出的光线经过轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则满足条件的反射光线所在直线的斜率之积为（ ）
A B. C. 1D.
7. 双曲线右支上一点在第一象限，分别为双曲线的左、右焦点，若内切圆与轴相切，为双曲线的左顶点，则直线AI的方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，已知抛物线的焦点为，过拋物线上两点作切线交于，若，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知为双曲线的左焦点，为右支上一点，若，则双曲线的离心率可能为（ ）
A. B. C. D. 2
10. 已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，为抛物线上一个动点，，则（ ）
A. 的坐标为
B. 的最小值为2
C. 若，则过与抛物线相切的直线的方程为
D. 最小值为3
11. 已知棱长为12的正四面体ABCD中，为CD中点，P、Q分别为四面体ABCD的内切球和外接球上的动点，则（ ）
A. |PQ|的最大值为B.
C. D. 若，则的最大值为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
12. 若直线和平面所成角正弦值为，则直线的一个方向向量和平面的一个法向量的夹角的大小为_______________.
13. 若过点的直线l与抛物线有且只有一个交点，则这样的直线l共有_____条.
14. 已知，则的最大值是___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 平面内一动点到点与的距离之比为.
（1）求动点的轨迹方程：
（2）过点且斜率为的直线与曲线交于两点，求的值.
16. 在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，分别是的中点，.
（1）若，求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
17. 已知椭圆的离心率，短轴长为2，不经过右顶点的直线与该椭圆相交于A，B两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若以AB为直径的圆恒过该椭圆的右顶点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
18. 已知图中直棱柱的底面是菱形，其中.又点E，F，P，Q分别在棱上运动，且满足：.
（1）求证：E，F，P，Q四点共面；
（2）若二面角的余弦值为，求|BF|；
（3）若为中点，在线段上（不包括端点）运动，求三棱锥的外接球表面积的取值范围.
19. 在平面直角坐标系中，过点的直线与拋物线交于两点（在第一象限）.
（1）若直线的斜率为，求的面积.
（2）若三角形的外接圆与曲线交于点（异于点），
（i）证明：的重心的横坐标为定值，并求出此定值；
（ii）设的面积分别为，若，求直线的方程.