浙江省杭州市第二中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知 ， ， ，若 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 ，则 虚部是（ ）
A B. C. D.
3. 已知向量 在向量 上的投影向量为 ，且 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知正四面体的表面积为 ，则它的体积为（ ）
A. B. C. D.
5. 在 中， ， ，其面积为 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
6. 已知正三棱锥 ， ， ，则该三棱锥 外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，圆内接四边形 中， ， ，现将该四边形
沿 旋转一周，则旋转形成的几何体的表面积为（ ）
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A. B.
C. D.
8. 已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 的面积为 ， ，
，则 （ ）
A. 120° B. 135° C. 150° D. 165°
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 以下复数运算一定成立的是（ ）
A. B. （ 、 均不为 ）
C. D.
10. 在直角坐标系中， ，则以下判断正确的是（ ）
A. 为直角三角形 B. ， ， ， 依次连起来是一个四边形
C. D.
11. 如图，在棱长为 的正方体 中， 为线段 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
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A. 平面
B. 存在点 ，使得直线 与 共面
C. 最小值为
D. 若 为线段 上的动点，且 平面 ，则 的最小值为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知圆锥底面半径为 ，侧面展开图是圆心角为 的扇形，则此圆锥的母线长为______.
13. 已知 O 为 所在平面内一点，且点 P 满足 ， ，则
_______．
14. 复数 ， 满足 ， ，则 的最小值为______.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量 ， .
（1）求向量 与 的夹角 的大小；
（2）若向量 满足 ，求 的值.
16. 已知 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足 ，
， 是 的中点.
（1）求 ；
（2）若 ， ， ，求 的值.
17. 在某湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示.为考虑娱乐休闲的需求，在四边形 区域中，
将三角形 区域设立成花卉观赏区，三角形 区域设立成烧烤区，边 、 、 、 修建
观赏步道，边 修建隔离防护栏，其中 ， 米， .
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（1）要使得花卉观赏区的观赏步道的总长度最大， 、 的长度分别是多少？
（2）求烧烤区占地面积的最大值.
18. 如图，三棱锥 各棱长均为 ，侧棱上的 、 、 满足 ， ，线段
上的点 满足 平面 .
（1） 在 上， ，求证：平面 平面 ；
（2）若 ，且 ，求 值；
（3）求三棱锥 体积的最大值.
19. 设两个非零向量 、 ， ， ， 方向逆时针旋转到 方向所成的角为 .定义伪叉积：
.规定零向量与任意向量的伪叉积为零.已知对任意的 、 、 、 ，满足
， .
（1）设 ， ，计算 和 ；
（2）设 ， ，求证： ；
（3）设四边形 有外接圆，圆心为 ，半径为 ，对角线 、 相互垂直且交点为 ， ，
、 交于 ， 、 分别为 、 的中点，求三角形 的面积的最大值.
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