浙江省杭州市2025_2026学年高一数学上学期12月阶段性测试试卷含解析

这是一份浙江省杭州市2025_2026学年高一数学上学期12月阶段性测试试卷含解析，共15页。试卷主要包含了考试结束后，只上交答题卷.等内容，欢迎下载使用。

考生须知：
1．本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2．答题前，请务必将自己的姓名、班级和准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在答
题纸的相应位置上，并用 2B 铅笔进行正确填涂.
3．答题时，请按答题纸上的“注意事项”要求进行答题，在答题纸相应的位置上规范作答，在
其他位置答题无效.
4．考试结束后，只上交答题卷.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用集合 交集运算求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
故选：C
2.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】分析：根据终边相同的角正弦值相等，将 的正弦化成 的正弦，，即可求出结果.
详解：由诱导公式可得 ， ， ，故选 A.
第 1页/共 15页
点睛：本题着重考查了终边相同的角、诱导公式，特殊角的三角函数值等知识，属于简单题.
3. 函数 的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据函数的单调性判断零点的个数，再求区间端点的函数值，利用函数零点存在定理判断零点
所在区间.
【详解】由复合函数的单调性知， 是增函数，
所以 至多有一个零点.
又 ， ， ，
， ，
所以 ，
由函数零点存在定理知， 在 上有唯一的一个零点，即 的零点所在的区间为 .
故选：D.
4. 已知扇形的圆心角为 1rad，面积为 8，则扇形的弧长为（ ）
A. 8 B. 4 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式，准确计算，即可求解.
【详解】设扇形所在圆的半径为 ，
因为扇形的圆心角为 ，其面积是 ，可得 ，解得 ，
又由扇形的弧长公式，可得 .
故选：B.
5. 已知点 是函数 图象的一个对称中心，则 a 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
第 2页/共 15页
【答案】C
【解析】
【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解.
【详解】根据正切函数的性质， 的对称中心横坐标满足 ，
即 的对称中心是 ，
即 ，
又 ，则 时 最小，最小值是 ，
即 .
故选：C.
6. 函数 大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
结合选项中函数图象的特征，利用函数的性质，采用排除法求解即可.
【详解】由题可知，函数 的定义域为 ， ，
所以函数 为奇函数，所以排除选项 BD；又 ，所以排除选项 A.
第 3页/共 15页
故选:C.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
7. 已知函数 在 上单调递增，则实数 m 取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用分段函数单调性得出不等关系，解不等式可得结果.
【详解】根据题意，若 为单调递增，可得 ，解得 ；
又 为单调递增，所以 ，解得 ；
且 ，解得 ；
综上可得， ，即实数 m 的取值范围为 .
故选：B
8. 已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦函数，对数函数单调性进行放缩，再来比较大小.
【详解】 ,
,
第 4页/共 15页
,
,
由上可得： ，
故选：A.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知 ， ，则下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对 A，将条件式平方化简得解；对 B，利用 与 的关系，结合 求
解判断；对 C，由选项 B，结合条件求出 得解；对 D，由平方差公式结合选项 B 求解.
【详解】对于 A，由 ，则 ，化简得 ，故 A 正确；
对于 B，由 ， ，则 ，即 ，
， ，故 B 正确；
对于 C，由 ，解得 ，所以 ，故 C 错误；
对于 D， ，故 D 正确.
故选：ABD.
10. 设正实数 a，b 满足 ，则（ ）
A. ab 有最大值 B. 有最小值 4
第 5页/共 15页
C. 有最大值 D. 有最大值
【答案】BC
【解析】
【分析】利用均值不等式计算判断 A、C、D，应用“1”的代换及基本不等式计算判断 B.
【详解】A：由 ，故 ，则 ，当且仅当 时取等号，错误；
B：由 ，当且仅当 时取等号，正确；
C：由 ，当且仅当 时取等号，正确；
D：由 ，当且仅当 时取等号，错误；
故选：BC
11. 设函数 的定义域为 ，满足 ，且 ，当 时，
，若 ，则以下正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由两个等式可得函数周期判断 A；根据周期结合 求出 a 判断 B；利用赋值法可得
b，再利用周期即可求出 判断 C；利用周期性求和判断 D.
【详解】因为 ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
所以 ，A 正确；
第 6页/共 15页
因为 ，
所以 ，B 错误；
在 中，令 ，得 ，
即 ，所以 ，解得 ，
，C 正确；
，又 ，
所以 ，
所以 ，D 正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 计算： __________.
【答案】5
【解析】
【分析】利用指数运算法则以及对数的换底公式计算可得结果.
【详解】依题意可得
故答案为：5
13. 已知 ，则 ________．
【答案】
【解析】
分析】利用诱导公式化简计算即得.
【详解】 .
故答案为： .
第 7页/共 15页
14. 已知正实数 a，b 满足 ， ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】将 两边取自然对数，整理后与 对照，可得 是方程 的两
根，构造函数 ，根据其单调性，得到 即可
【详解】由 两边取自然对数，得 ，即 ；
又由 可得 ，即 .
故 可看成方程 的根.
设 ，易得该函数在 上单调递增，故 ，即 .
故答案为：
四、解答题（本大题共 5 小题，共计 77 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 设全集 ，集合 ，集合 ，其中 ．
（1）若 ，求 a 的取值范围；
（2）若“ ”是“ ”的充分条件，求 a 的取值范围.
【答案】（1）
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据交集为空集列不等式求解即可.
（2）由题意 ，利用集合间的关系列不等式求解即可.
【小问 1 详解】
因为集合 ，集合 ，且 ，
所以 或 ，即 .
【小问 2 详解】
因为“ ”是“ ”的充分条件，所以 ，
集合 ，集合 ，
第 8页/共 15页
所以 ，解得 ，即 .
16. 已知角 顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1）7； （2） .
【解析】
【分析】（1）根据终边上一点由三角函数的定义可求得 的值，代入已知式可求值；（2）先利用
余弦的和差角公式及诱导公式化简，再求值.
【小问 1 详解】
因为角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 ，
所以 ．
代入已知式得 .
【小问 2 详解】
.
17. 某公司生产某种电子仪器的固定成本为 20000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总收入 (单
第 9页/共 15页
位：元)关于月产量 (单位：台)满足函数 .
（1）将利润 (单位：元)表示为月产量 的函数；(利润 总收入 总成本)
（2）若称 为月平均单件利润(单位：元)，当月产量 为何值时，公司所获月平均单件利润最
大？最大月平均单件利润为多少元？
【答案】（1） ；（2）当月产量为 时，月平均单件利润最大，
最大月平均单件利润为 元.
【解析】
【分析】
（1）本题可分为 、 两种情况，然后根据“利润 总收入 总成本”即可得出结果；
（2）本题首先可根据 得出 ，然后分为 、
两种情况进行讨论，依次求出最值，即可得出结果.
【详解】（1）当 时，利润 ；
当 时，利润 ，
故 .
（2）因为 ，所以 ，
当 时，
第 10页/共 15页
因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，当 时， 取最大值 ；
当 时， ， 为单调递减函数，
此时 ，
综上所述，当月产量为 时，月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为 元.
【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数在实际生活中的应用，能否根据题意确定每一段区间内对应的函
数解析式是解决本题的关键，考查基本不等式求最值，是中档题.
18. 已知函数 ．
（1）若 ，求 的定义域；
（2）若 在 上单调递增，求 的取值范围；
（3）设 ，若对任意 ，存在 ，使得不等式 成立，求 的
取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据基本初等函数定义域，列出一元二次不等式，求出解集即可；
（2）根据复合函数单调性，判断二次函数在区间上的单调性和值域，列出不等式，求出参数范围即可；
（3）根据双变量恒成立的问题，判断函数最值之间的关系，根据复合函数单调性求出函数最值，进而列出
不等式，求出参数范围.
【小问 1 详解】
由题意得 ，因式分解得 ，解得 或 ，
即函数定义域为 .
第 11页/共 15页
【小问 2 详解】
因为 在 上单调递增，所以当
在 上单调递增时，函数 在 单调递增且 ，
因为 是对称轴为直线 ，开口向上的二次函数，
则 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
【小问 3 详解】
对任意 ，存在 ，使得不等式 成立，即任意 ，
恒成立，
由 ，
当 时， ，则 ，所以 ，
可得任意 ， 恒成立，即 恒成立，
等价于 恒成立；
因为 在 上单调递增，即 在 恒成立即可，
即 在 恒成立，
由对勾函数可知 在 上单调递减，所以 ；
可得 时 在 恒成立；
所以 的取值范围为 .
19. 和 都是定义在 上的函数，若它们满足如下性质：① 为奇函数， 为偶函数；②
（ ， ）；则称 为类正弦函数， 为类余弦函数.
（1）求类正弦函数和类余弦函数的解析式；
第 12页/共 15页
（2）求证：
（ⅰ） ；
（ⅱ） ；
（3）解关于 的不等式： ，其中 为非零常数.
【答案】（1） ，
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性和 得到 ，联立求出答案；
（2）（ⅰ）由（1）所得解析式，求 ， 即可证明；
（ⅱ）根据函数 的解析式求 ， ，由此证明结论；
（3）令 ，原不等式可化为 ，分别在条件 ，
， ， ， 条件下，结合指数函数单调性求解不等式可得结论，
【小问 1 详解】
由性质②知 ，所以 ，
由性质①知 ， ，所以 ，
解得 ，
【小问 2 详解】
（ⅰ）证明：因为 ，
，
第 13页/共 15页
所以
（ⅱ）证明：因为 ，
，
所以 ，
【小问 3 详解】
由（2）知，原式等价于 ，
令
则原式等价于 ， ，
当 时，
① 时，无解；
② 时， ，又 ，所以 ，
即 ，
解得 ，
所以解集为 ；
③ 时， ，无解；
④ 时， ，无解；
⑤ 时， ，又 ，所以 ，即 ，
第 14页/共 15页
解得 ，
所以解集为 .
综上，若 ，则
当 或 时，无解；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 .
同理可得若 时，
当 或 时，无解；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 .
【点睛】关键点点睛：本题第三小问解决的关键在于根据不等式的结构特点通过换元将其转化为二次不等
式问题求解.
第 15页/共 15页