新高考数学一轮复习考点探究与题型突破训练第05讲 基本不等式（2份，原卷版+解析版）

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1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中eq \f(a＋b,2)称为正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)称为正数a，b的几何平均数．
2．利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p)．(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(s2,4)．(简记：和定积最大)
常用结论
几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(3)eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(4)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
考点1 利用基本不等式求最值
[名师点睛]
1.通过配凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
2.常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．
3.消元法求最值的方法
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．
[典例]
1.（2022·河北·高三阶段练习）已知实数a，b满足条件，则的最小值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】D
【解析】因为，当且仅当，即时取等号，
所以，所以，，，当且仅当时等号成立，所以的最小值为2
故选：D.
2．（2022·湖南湖南·二模）函数的最小值为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】D
【解析】因为，所以，，利用基本不等式可得
，
当且仅当即时等号成立.
故选：D.
3．（多选）（2022·河北石家庄·二模）设正实数m，n满足，则下列说法正确的是（ ）
A．上的最小值为2B．的最大值为1
C．的最大值为4D．的最小值为
【答案】AB
【解析】∵，
∴，
当且仅当，即时等号成立，故A正确；
，∴，当且仅当时，等号成立，故B正确；
，，当且仅当时等号成立，最大值为2，故C错误；
，当且仅当时等号成立，故D错误．
故选：AB
4.[2021河南平顶山模拟]若对于任意x>0，不等式eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，＋∞)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，＋∞))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,5))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,5)))
[答案] A [解析] 由x>0，eq \f(x,x2＋3x＋1)＝eq \f(1,x＋\f(1,x)＋3)，
令t＝x＋eq \f(1,x)，则t≥2eq \r(x·\f(1,x))＝2，
当且仅当x＝1时，t取得最小值2.
eq \f(x,x2＋3x＋1)取得最大值eq \f(1,5)，所以对于任意的x>0，不等式eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a≥eq \f(1,5).
[举一反三]
1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数的最小值为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】D
【解析】因为，所以3x－1>0，
所以，
当且仅当，即x =1时等号成立，
故函数的最小值为5．
故选：D．
2．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知，，，则的最小值是（ ）
A．1B．2C．4D．6
【答案】C
【解析】解：因为，，，所以，当且仅当，即，时取等号；
故选：C
3．（2022·全国·模拟预测）已知a，b为非负数，且满足，则的最大值为（ ）
A．40B．C．42D．
【答案】D
【解析】
，
又，当且仅当时取“=”，则，
所以当时，的最大值为.
故选：D
4．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．6
【答案】B
【解析】由，得，
所以，
当且仅当，即取等号.
故选：B.
5．（多选）（2022·河北保定·一模）下面描述正确的是（ ）
A．已知，，且，则
B．函数，若，且，则的最小值是
C．已知，则的最小值为
D．已知，则的最小值为
【答案】AC
【解析】对于选项A，∵，，，∴，∴，当且仅当时取等号，∴，∴A正确；
对于选项B：因为，所以，又，所以由对勾函数的单调性可知函数在上单调递减，所以，即，故B不正确；
对于选项C，根据题意，已知，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，故C正确；
对于选项D，，令，所以，所以，此时无解，所以选项D不正确，
故选：AC．
6．（多选）（2022·重庆八中高三阶段练习）设，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】对于A：因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以成立.故A正确；
对于B：因为，所以，当且仅当时取等号.
所以成立.故B正确；
对于C：因为，所以，所以.
记，则，所以，所以
，即.故C错误；
对于D：因为所以.故D错误.
故选：AB
7．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知，为正实数，且，则的最小值为____________，此时____________．
【答案】
【解析】,为正实数, 且,
当且仅当 即，时取“=”
故答案为:
8．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知，则的最小值为___________.
【答案】9
【解析】，
当且仅当时等号成立，取等条件满足，所以的最小值为9.
故答案为：9
9．（2022·天津·大港一中高三阶段练习）设，那么的最小值是___________.
【答案】
【解析】解：，所以，当且仅当，即时取等号；
所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以，当且仅当、时取等号；
故答案为：
10．（2022·天津河北·一模）已知，，且，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】
.
因为，，且，
所以
，当且仅当即时取等.
所以.，即的最大值为.
故答案为：.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知，求 的最小值；
【答案】
【解析】由
.
所以≥，当且仅当时等号成立，
综上，的最小值为.
考点2 利用基本不等式证明不等式
[名师点睛]
证明不等式时，可依据待求证式两端的式子结构，合理选择重要不等式及其变形不等式来证．
先局部运用基本不等式，然后利用不等式的性质，通过不等式相加(有时相乘)综合推出要求证的不等式，这种证明方法在证明轮换对称不等式时具有一定的普遍性．
[典例]
（2022·全国·高三专题练习）已知都是正数，求证：
(1)；
(2)若，则.
【解】(1)
，
∵都是正数，∴，
当且仅当“”时等号成立，∴.
(2)
，
当且仅当“”时等号成立，∴.
[举一反三]
1．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a，b，c为正数.
(1)求的最小值；
(2)求证：.
【解】
(1)因为，当且仅当“”时等号成立，
所以当时，的最小值为.
(2)因为，同理，，
所以三式相加得，
所以，当且仅当“”时等号成立
2．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（文））已知.
(1)若，求的最小值；
(2)求证：.
【解】(1)因为，所以，
又，所以，所以
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.
(2)因为①，②，③，
所以，由①②③，同向不等式相加可得：
，当且仅当，即时取等号.
即成立.
3．（2022·河南开封·二模（文））已知，且abc=1.
(1)求证：；
(2)若a=b+c，求a的最小值.
【解】
(1)
，
当且仅当时等号成立.
(2)依题意，，
所以，当且仅当时等号成立.
所以，
所以的最小值为，此时.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知正数，，满足．
(1)求的最大值；
(2)证明：．
【解】(1)由，当且仅当时，取得等号．
又，所以．
故当且仅当时，取得最大值1．
(2)证明：要证，需证．
因为
，
即，当且仅当时取得等号．故．
考点3 基本不等式中的恒成立问题
[名师点睛]
1．已知不等式恒成立求参数范围的一般方法是分离参数法，且有a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max，a