新高考数学一轮复习导学案第06讲 基本不等式及应用（2份打包，原卷版+解析版）

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1、基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．
2、几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)．
(3)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)．
(4)eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3、利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P).
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2.
注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
1、若x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
2、下列函数中最小值为4的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3、已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
1、在下列函数中，最小值为2的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
2、一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大．
3、（多选题）已知正数a，b满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
4、（多选题）已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .则下列选项正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
考向一 运用基本不等式求函数的最值
例1、 (1)已知0(2)已知x(3)函数y＝eq \f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值为________．
变式1、已知x>1，求y＝ eq \f(x2＋2,x－1) 的最小值．
变式2、 已知x≥1，求y＝ eq \f(x2＋2,x＋1) 的最小值．
变式3、（1）（多选题）下列函数中最小值为6的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
（2）函数 SKIPIF 1 < 0 有（ ）
A．最大值 SKIPIF 1 < 0 B．最小值 SKIPIF 1 < 0 C．最大值2D．最小值2
方法总结：
(1)应用基本不等式求值域一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．如果不满足等号的成立条件就用函数的单调性求解．
(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑（或换元）出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
考向二 基本不等式中1的运用
例2、若正数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
变式1、已知正实数x，y满足x＋y＝1，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为__________．
变式2、已知 SKIPIF 1 < 0 是正实数，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．9C． SKIPIF 1 < 0 D．2
变式3、正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，且存在两项 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．不存在
变式4、（多选题）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的可能取值有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
方法总结：
(1)利用常数“1”代换的方法构造积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．
(2)“1”代换的方法可以求解形如【问题2】中的“已知两正数之和为定值，求两数倒数和的最值”或“已知两正数倒数之和为定值，求两正数和的最值”问题,是直接求解二元函数值域的一种方法．
(3)解决问题时关注对已知条件和所求目标函数式的变形，使问题转化成可用“1”代换求解的模型
考向三 运用消参法解决不等式问题
例3、已知x＞0，y＞0，且x＋3y＝EQ \F(1,y)－EQ \F(1,x)，则y的最大值为( )
A．1 B．EQ \F(1,2) C．2 D．EQ \F(1,3)
变式1、已知正实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是______．
变式2、已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________．
方法总结：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值
考向四 运用基本不等式解决实际问题
例4、工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，另需投入成本C(x)(单位：万元)，当年产量不足80千件时，C(x)＝ eq \f(1,3)x2＋10x；当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋ eq \f(10 000,x)－1 450.已知每件商品的售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1) 写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2) 当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
变式1、某县一中计划把一块边长为20 m的等边三角形ABC的边角地开辟为植物新品种实验基地，图中DE把基地分成面积相等的两部分，点D在AB上，点E在AC上．
(1) 设AD＝x(x>10)，DE＝y，求y关于x的函数解析式；
(2) 若DE是灌溉输水管道的位置，为节约成本，希望它最短，确定DE的位置，并求出ED长的最小值．
变式2、设矩形 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，把它沿对角线 SKIPIF 1 < 0 对折后，设 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，此时点 SKIPIF 1 < 0 记作 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则△ SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值为______．
方法总结：利用基本不等式求解实际应用题的方法：
利用基本不等式解决实际问题，关键是把实际问题转化为代数问题，列出函数关系式，再利用基本不等式求最值．
1、已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2、已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．13B．19C．21D．27
3、（多选题）已知实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最小值为16
B． SKIPIF 1 < 0 的最大值为9
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值为9
D． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
4、（多选题）下面描述正确的是（ ）
A．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0
C．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
D．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
5、（多选题）已知正数a，b满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法一定正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6、（多选题）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7、（多选题）若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8、（多选题）已知实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．则下列不等式正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0