福建省莆田市城厢区砺成中学九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省莆田市城厢区砺成中学九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列事件中是不可能事件的是（ ）
A. 水滴石穿B. 瓮中捉鳖C. 水中捞月D. 守株待兔
【答案】C
【解析】
【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，依据定义即可判断．
【详解】解：A、水滴石穿，是必然事件；
B、瓮中捉鳖，是必然事件；
C、水中捞月，是不可能事件；
D、守株待兔，是随机事件；
故选C．
【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2. 一元二次方程的根为（ ）
A. B. C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：，
即，
解得：，，
故选：C．
3. 二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向下B. 对称轴为直线
C. 顶点坐标为D. 当时，随的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】将二次函数的顶点式化为一般式，确定二次函数的系数，由此即可求解．
【详解】解：，，，，
∴选项，开口向上，故选项错误；
选项，对称轴为，故选项错误；
选项，顶点坐标的横坐标为，纵坐标为，即顶点坐标为，故选项错误；
选项，开口向上，对称轴为，在对称轴坐标时，随的增大而减小，故选项正确．
故选：．
【点睛】本题主要考查二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数中图像的性质与系数的关系是解题的关键．
4. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是（ ）
A. -2B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由反比例函数的性质得，解得，即可做出判断．
【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限，
∴，
∴，
的取值可以是3，
故选：D
【点睛】此题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数经过的象限是解题的关键．
5. 一个不透明布袋中有2个红球，3个白球，这些球除颜色外无其他差别，摇匀后从中随机摸出一个小球，该小球是红色的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数即可求解．
详解】解：∵口袋中有2个红球，3个白球，
∴P（红球）．
故选D．
【点睛】本题考查了随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A），掌握随机事件概率的求法是解题关键．
6. 若关于的一元二次方程的一个根为2，则二次函数与轴的交点坐标为（ ）
A. 、B. 、
C. 、D. 、
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根为2，得出，利用对称性求出坐标即可．
【详解】解：二次函数与轴的交点坐标纵坐标为0，
即，
关于的一元二次方程的一个根为2，
所以，，
解得，，
二次函数的对称轴为直线，
所以，二次函数与轴的交点坐标为、，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，解题关键是根据一元二次方程的根确定二次函数与轴的交点坐标．
7. 在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做功率，即所做的功一定时，功率（）与做功所用的时间（）成反比例函数关系，图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）

A. P与t的函数关系式为B. 当时，
C. 当时，D. p随t的增大而减小
【答案】C
【解析】
【分析】求得解析式，进而根据反比例函数的图象，即可求解．
【详解】解：功率（）与做功所用的时间（）成反比例函数关系，
设解析式为，
∵过点，
∴，
∴解析式为，故A选项正确，不合题意，
当时，，故B选项正确，不合题意，
当时，，故C选项不正确，符合题意，
∵
∴在第一象限，p随t的增大而减小，故D选项正确，不符合题意，
故选：C．
【点睛】反比例函数的应用，关键是求得解析式．
8. 如图，在中，，分别过，两点作的切线，两切线相交于点，则的度数（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，首先根据圆周角定理求得，再结合切线的性质可得，然后根据四边形内角和为，求解即可．
【详解】解：如下图，连接，
∵，
∴，
∵均为的切线，
∴，
∵在四边形中，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、多边形内角和等知识，利用圆周角定理确定是解题关键．
9. 如图，在纸片中，，点分别在上，连结，将沿翻折，使点A的对应点F落在的延长线上，若平分，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出AB，再根据折叠性质得出∠DAE=∠DFE，AD=DF，然后根据角平分线的定义证得∠BFD=∠DFE=∠DAE，进而证得∠BDF=90°，证明Rt△ABC∽Rt△FBD，可求得AD的长．
【详解】解：∵，
∴=5，
由折叠性质得：∠DAE=∠DFE，AD=DF，则BD=5﹣AD，
∵平分，
∴∠BFD=∠DFE=∠DAE，
∵∠DAE+∠B=90°，
∴∠BDF+∠B=90°，即∠BDF=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△FBD，
∴即，
解得：AD=，
故选：D．
【点睛】本题考查折叠性质、角平分线的定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．
10. 发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点是直线与的交点；当点A运动到时，点到达；当点A运动到时，点到达．若，则下列结论正确的是（ ）

A. B.
C. 当与相切时，D. 当时，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质定理和勾股定理，由题意可得从而可判断A、B选项，如图：当AB与⊙O相切时，求解，可得，可判断C；当时，如图，可得，，，可判断D；从而可得答案．理解题意并熟练的运用数形结合的方法解题是关键．
【详解】解：如图，由题意可得：

∴，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
如图，当AB与⊙O相切时，

∴，
∴，
∴，故C符合题意；
如图：当时，

∴
∴，，
∴，故D不符合题意；
故选：C．
二、填空题（24分）
11. 已知圆锥的母线长是，侧面展开图的面积是，则此圆锥的底面半径是_____．
【答案】3
【解析】
【分析】此题考查了圆锥侧面展开图的面积，设底面半径为，则底面周长，根据圆锥的侧面展开图的面积列方程求解即可．解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面展开图的面积公式．
【详解】解：设底面半径为，则底面周长，
圆锥的侧面展开图的面积，
，
故答案为：3．
12. 从某小麦新品种的种子中抽取6批，在相同条件下进行发芽实验，数据统计如表：
据此可知，该种子发芽的概率为 _____（精确到0.1）．
【答案】
【解析】
【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，从而得到结论．
【详解】解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，
∴该小麦种子发芽概率为0.9，
故答案为：0.9．
【点睛】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
13. 已知P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣4x+1上．那么x1+x2＝_____．
【答案】4
【解析】
【分析】根据P、Q两点坐标可知，P、Q两点关于对称轴对称，根据轴对称的性质求解即可．
【详解】解：P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣4x+1上，纵坐标相等，
∴P、Q两点关于对称轴x=2对称，
∴x1+x2=4，
故答案为：4．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意，找到P、Q两点关于对称轴对称求解．
14. 若，且，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据可得y＝﹣2x+1，k＝﹣2＜0进而得出，当y＝0时，x取得最大值，当y＝1时，x取得最小值，将y＝0和y＝1代入解析式，可得答案．
【详解】解：根据可得y＝﹣2x+1，
∴k＝﹣2＜0
∵，
∴当y＝0时，x取得最大值，且最大值为，
当y＝1时，x取得最小值，且最小值为0，
∴
故答案为：．
【点睛】此题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
15. 如图①是用杠杆撬石头示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图②中，杠杆的端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点），要把这块石头翘起，至少要将杠杆的点向下压______．

【答案】
【解析】
【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点向下压的长度．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴至少要将杠杆的点向下压，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确地构造相似三角形是解题的关键．
16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点．为抛物线的顶点．若直线交直线于点，且为线段的中点，则的值为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】先根据抛物线解析式求出点坐标和其对称轴，再根据对称性求出点坐标，利用点为线段中点，得出点坐标；用含的式子表示出点坐标，写出直线的解析式，再将点坐标代入即可求解出的值．
【详解】解：∵抛物线与轴交于点，
∴，抛物线的对称轴为
∴顶点坐标为，点坐标为
∵点为线段的中点，
∴点坐标为
设直线解析式为（为常数，且）
将点代入得
∴
将点代入得
解得
故答案为2
【点睛】考核知识点:抛物线与坐标轴交点问题.数形结合分析问题是关键.
三、解答题
17. 解下列方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，利用配方法解一元二次方程即可；解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
【详解】解：
或
，．
18. 如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先根据等腰三角形的性质得∠C=∠BEC，又由对顶角相等可证得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出结论．
【详解】证明：∵
∴∠C=∠BEC，
∵∠BEC=∠AED，
∴∠AED=∠C，
∵AD⊥BD，
∴∠D=90°，
∵，
∴∠D=∠ABC，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理是解题的关键．
19. 在一个不透明的袋子里装有三个小球，球面上分别标注数字“1”，“2”，“3”，它们除数字不同外没有任何区别．萌萌先随机摸出一球，记下数字后，将小球放回袋中充分搅匀，再随机摸出一球．
（1）萌萌第一次摸到球恰好标注数字“3”的概率是______；
（2）请用树状图或列表法求萌萌两次摸到同一个球的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率公式直接计算即可；
（2）根据题意列出表格表示出所有等可能的情况，再找出萌萌两次摸到同一个球的情况，最后利用概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：萌萌第一次摸到球恰好标注数字“3”的概率是．
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意，可列出表格如下，
根据表格可知共有9种等可能的情况，其中萌萌两次摸到同一个球的情况有3种，
∴萌萌两次摸到同一个球的概率的概率为．
【点睛】本题考查简单的概率计算，列表或树状图法求概率．熟练掌握概率公式和正确的列出表格或画出树状图是解题关键．
20. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根大于2，求k的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先计算判别式的值，利用非负数的性质判断，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出，，根据方程有一根大于2，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【小问1详解】
证明：∵关于x的一元二次方程为，
∴，
∴此方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
解得，
∵此方程恰有一个根大于2，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
21. 已知是边长为8的等边三角形，点D是线段上的动点（不与点重合），将绕点A逆时针方向旋转得到，连接．
（1）求证： ；
（2）当点D运动到什么位置时的面积最大？请求出这个最大值．
【答案】（1）见解析 （2）点D运动时，的面积最大，这个最大值为
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质得到，可得出，根据边角边可证明；
（2）过点E作交的延长线于点F，设则求出S与x间的关系式，由二次函数的性质可得出答案．
【小问1详解】
证明：由旋转的性质可知，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴即 ，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
过点E作交的延长线于点F，
∵，
∴，
∴，
∴，
设则
∴
∴
∴时，S有最大值为．
∴点D运动时，的面积最大，这个最大值为．
【点睛】本题考查的是旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，二次函数的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
22. 尺规作图：已知：在中，，，
（1）在上求作点，使得点到的距离等于到边距离的倍．
（2）在（1）的条件下，若，求的面积．
【答案】（1）作图见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）以B为圆心，为半径作弧交于点D，点D即为所求；
（2）证明是等边三角形，可得结论．
【小问1详解】
解：如图，点即为所求；
理由：过点D作于E，于F，
∵，，
∴
由作图可知：，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴在中，∵，
∴
∴，
由勾股定理，得
∴，即点到的距离等于到边距离的倍．
【小问2详解】
解：在中，，，，
，
由作图可知，，，
．
【点睛】本题考查尺规作图，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23. 某水果批发店推出一款拼盘水果（盒装），经市场调查表明，若售价为45元/盒，日销售量为110盒，若售价每提高1元/盒，日销售量将减少2盒．设每盒售价为x元（，且为整数）．
（1）若某日销售量为90盒，求该日每盒的售价．
（2）设每日销售额为W元，求W关于x的函数表达式，并求W的最大值．
（3）该水果店每天支付店租m元后（m为正整数），发现最大日收入（日收入＝销售额－店租）不超过4880元，并有且只有5种不同的单价使日收入不少于4870元，请写出所有符合条件的m的值．
【答案】（1）55元 （2），最大值是5000
（3）120或121或122
【解析】
【分析】（1）售价每提高1元/盒，日销售量将减少2盒，某日销售量为90盒，销售量减少则销售价提高了，根据题意可以求出每盒提高多少元，再加上原售价，就可求出该日的售价；
（2）根据销售额等于销售价乘以销售量，列出函数关系式，根据二次函数的性质即可求出销售额的最大值；
（3）根据销售额与销售量的函数关系，以及支付租金等关系，列出关于租金的不等式关系，根据题意，即可求出符合条件的值．
【小问1详解】
解：，该日每盒的售价是55元．
小问2详解】
解：，
当时，W取到最大值是5000．
【小问3详解】
解：支付店租m元后的收入是，
∵最大日收入不超过4880元，
∴解得：，
∵只有5种不同的单价使日收入不少于4870元，
∴解得，
∴故符合条件的m的值是120或121或122．
【点睛】本题主要考查二次函数在销售问题中的运用．根据题意找出题意中的数量关系，列出方程或二次函数，再根据二次函数的性质即可求出答案．掌握销售问题中的数量关系，以及二次函数的性质是解题的关键．
24. 定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
图1 图2 图3
（1）如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数．
（2）在（1）的条件下，若的半径为．
①则的长是______．
②如图2，在四边形中，若平分，求证：．
（3）在（1）的条件下，如图，若是的直径，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）①，②证明见解析．
（3），理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查了四边形的性质，圆的性质，全等三角形的性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）根据圆美四边形的定义，四边形的性质，得到，，由此得到答案．
（2）①连接并延长，交圆于点，连接，则，，，由勾股定理得到的长．
②连接，根据已知条件，得到是等边三角形，延长到，使得，得到，由此得到为等边三角形，．
（3）延长和交于点，在（1）的条件下，，，由已知条件，得到，在中，根据勾股定理得到．
【小问1详解】
解：由题意得：
四边形是圆美四边形，
，
，
．
【小问2详解】
①如图，连接并延长，交圆于点，连接，
，，，
，
，，
．
故答案为：．
②如图，连接，在（1）的条件下，
，，
平分，
，
，
，
是等边三角形，延长到，使得，
又，，
，
，，
，
为等边三角形，
则，
即，
．
【小问3详解】
如图，延长和交于点，
在（1）的条件下，，，
是直径，
，，
，
，，
在中，
，
，
即，
解得：．
25. 已知抛物y＝ax2+bx．
（1）若抛物线与一次函数y＝﹣x﹣1有且只有一个公共点，求a、b满足的关系式；
（2）设点Q为抛物线上的顶点，点P为平面内一点，若点P坐标为(2，﹣2)，＝3，且OP＞OQ，抛物线经过点A(m，n)和点B(4﹣m，n)，直线PB与抛物线的另一交点为C．
①求抛物线的解析式；
②证明：对于任意实数m，直线AC必过一定点．
【答案】(1)，(2) ①，②证明见解析．
【解析】
【分析】(1)根据题意，列出一元二次方程后，根据根的判别式等于0，列方程即可；
(2)①由抛物线经过点A(m，n)和点B(4﹣m，n)，可求对称轴为x=2，根据＝3，可求Q点坐标，可求解析式；②用待定系数法和根与系数关系表示出AC解析式，根据解析式即可判断经过的定点．
【详解】解：(1)由题意得，方程ax2+bx＝﹣x﹣1有两个相等的实数根，
所以，（b+1）2-4a=0，即．
(2)①由抛物线经过点A(m，n)和点B(4﹣m，n)，则对称轴为，
设Q点坐标为（2，q）．点P坐标为(2，﹣2)，所以PQ∥y轴，
，
，
∵OP＞OQ，
∴Q点坐标为（2，1），
设抛物线解析式为，把（0,0）代入得，，
抛物线解析式为，即；
②设PB解析式为，把P (2，﹣2)代入得，，，
PB解析式为，与二次函数交于点B、点C，故，
化简得，，，；
设AC解析式为，与二次函数交于点A、点C，，
化简得，，，；
∵，
∴，
，，
，
，
AC解析式为，
当时，y=4，
所以，直线AC必过定点（2,4）．
【点睛】本题考查了求二次函数解析式、二次函数性质、二次函数与一元二次方程的联系，解题关键是熟练运用二次函数的性质和一元二次方程的关系以及待定系数法．
种子粒数
100
400
800
1000
2000
5000
发芽种子粒数
95
358
744
893
1804
4505
发芽频率
0.950
0.895
0.930
0.893
0.902
0.901
第一次
第二次
1
2
3
1
同一个球
不同球
不同球
2
不同球
同一个球
不同球
3
不同球
不同球
同一个球